Периодичность котангенса. Cинус, косинус, тангенс и котангенс - все, что нужно знать на ЕГЭ по математике. Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Из графиков видно что:

1. Графики синуса и косинуса колеблются в пределах между -1 и 1
2. Кривая косинуса имеет ту же форму, что и кривая синуса, но сдвинута относительно нее на 90 o
3. Кривые синуса и косинуса непрерывны и повторяются с периодом 360 o , кривая тангенса имеет разрывы и повторяется с периодом 180 o .

На рис. слева показаны перпендикулярные оси ХХ" и YY"; пересекающиеся в начале координат О. При работе с графиками измерения вправо и вверх от О считаются положительными, влево и вниз от О - отрицательными. Пусть ОА свободно вращается относительно О. При повороте ОА против часовой стрелки измеряемый угол считается положительным, а при повороте по часовой стрелке - отрицательным.

График. Положительное или отрицательное
направление при движении по окружности.

Пусть ОА вращается против часовой стрелки таким образом, что Θ 1 - любой угол в первом квадранте, и построим перпендикуляр АВ для получения прямоугольного треугольника ОАВ на рис. слева. Поскольку все три стороны треугольника положительны, тригонометрические функции синус, косинус и тангенс в первом квадранте будут положительны. (Отметим, что длина ОА всегда положительна, поскольку является радиусом круга.)
Пусть ОА вращается дальше таким образом, что Θ 2 - любой угол во втором квадранте, и построим АС так, чтобы образовался прямоугольный треугольник ОАС. Тогда sin Θ 2 =+/+ = +; cos Θ 2 =+/- = -; tg Θ 2 =+/- = -. Пусть ОА вращается дальше таким образом, что Θ 3 - любой угол в третьем квадранте, и построим АD так, чтобы образовался прямоугольный треугольник ОАD. Тогда sin Θ 3 = -/+ = -; cos Θ 3 = -/+ = -; tg Θ 3 = -/- =+ .

График. Поcтроение углов в
различных квадрантах.

Пусть ОА вращается дальше таким образом, что Θ 4 - любой угол в четвертом квадранте, и построим АЕ так, чтобы образовался прямоугольный треугольник ОАЕ. Тогда sin Θ 4 = -/+= -; cos Θ 4 =+/+=+; tg Θ 4 = -/+= -.

В первом квадранте все тригонометрические функции имеют положительные значения, во втором положителен только синус, в третьем - только тангенс, в четвертом только косинус, что и показано на рис. слева.

Знание углов произвольной величины необходимо при нахождении, например, всех углов между 0 o и 360 o , синус которых равен, скажем, 0,3261. Если ввести в калькулятор 0,3261 и нажать кнопку sin -1 , получим ответ 19,03 o . Однако существует второй угол между 0 o и 360 o , который калькулятор не покажет. Синус также положителен во втором квадранте. Другой угол показан на рис. ниже как угол Θ, где Θ=180 o - 19,03 o = 160,97 o . Таким образом, 19,03 o и 160,97 o - это углы в диапазоне от 0 o до 360 o , синус которых равен 0,3261.

Будьте внимательны! Калькулятор дает только одно из этих значений. Второе значение следует определить согласно теории углов произвольной величины.

Пример 1

Найти все углы в диапазоне от 0 o до 360 o , синус которых равен -0,7071

Решение:
Углы, синус которых равен -0,7071 o находятся в третьем и четвертом квадранте, поскольку синус отрицателен в этих квадрантах (смотри рис. слева).

График. Нахождение всех углов по
заданному значению синуса (пример)

Из следующего рисунка Θ = arcsin 0,7071 = 45 o . Два угла в диапазоне от 0 o до 360 o , синус которых равен -0,7071, это 180 o +45 o =225 o и 360 o - 45 o = 315 o .

Примечание. Калькулятор дает только один ответ.
График. Нахождение всех углов по
заданному значению синуса (пример)

Пример 2

Найти все углы между 0 o и 360 o , тангенс которых равен 1, 327.

Решение:
Тангенс положителен в первом и третьем квадрантах - рис. слева.
График. Нахождение всех углов по

Из рис ниже Θ = arctg1,327= 53 o .
Два угла в диапазоне от 0 o до 360 o , тангенс которых равен 1,327, это 53 o и 180 o + 53 o , т.е. 233 o .
График. Нахождение всех углов по
заданному значению тангенса (пример)

Пусть ОR на рис. слева- это вектор единичной длины, свободно вращающийся против часовой стрелки вокруг О. За один оборот получается круг, показанный на рис. и разделенный секторами по 15 o . Каждый радиус имеет горизонтальную и вертикальную составляющую. Например, для 30 o вертикальная составляющая - это ТS, а горизонтальная - ОS.

Из определения тригонометрических функций
sin30 o =TS/TO=TS/1, т.е. TS= sin30 o и cos30 o =OS/TO=OS/1, т.e. OS=cos30 o

Вертикальную составляющую TS можно перенести на график в виде T"S", что равно значению, соответствующему углу 30 o на графике зависимости y от угла х. Если все вертикальные составляющие, подобно TS, перенести на график, то получится синусоида, показанная на рис. выше.

Если все горизонтальные составляющие, подобные OS, спроецировать на график зависимости у от угла х, получится косинусоида. Эти проекции легко визуализировать, перерисовывая круг с радиусом OR и началом отсчета углов от вертикали, как показано на рисунке слева.
Из рис. слева видно, что синусоида имеет ту же форму, что и косинусоида, но смещенная на 90 o .

Периодические функции и период
Каждый из графиков функций, показанных на четырех рис. выше, повторяется при увеличении угла А, поэтому их называют периодическими функциями .
Функции y=sinA и y=cosA повторяются через каждые 360 o (или 2π радиан), поэтому 360 o называется периодом этих функций. Функции y=sin2A и y=cos2A повторяются через каждые 180 o (или π радиан),поэтому 180 o - это период для данных функций.
В общем случае если y=sinpA и y=cospA (где р - константа), то период функции равен 360 o /p (или 2π/p радиан). Следовательно, если y=sin3A, то период этой функции равен 360 o /3= 120 o , если y=cos4A, то период этой функции равен 360 o /4= 90 o .

Амплитуда
Амплитудой называется максимальное значение синусоиды. Каждый из графиков 1-4 имеет амплитуду +1 (т.е. они колеблются между +1 и -1). Однако, если y=4sinA, каждая из величин sinA умножается на 4, таким образом, максимальная величина амплитуды - 4. Аналогично для y=5cos2A амплитуда равна 5, а период - 360 o /2= 180 o .

Пример 3.
Построить y=3sin2A в диапазоне от А= 0 o до А=360 o .

Решение:
Амплитуда =3, период = 360 o /2 =180 o .

Пример 4.
Построить график y=4cos2x в диапазоне от х=0 o до х=360 o

Решение:
Амплитуда = 4. период = 360 o /2 =180 o .

Углы запаздывания и опережения
Кривые синуса и косинуса не всегда начинаются в 0 o . Чтобы учесть это обстоятельство, периодическая функция представляется в виде y=sin(A± α), где α - сдвиг фазы относительно y=sinA и y=cosA.

Составив таблицу значений, можно построить график функции y=sin(A-60 o), показанный на рис. слева. Если кривая y=sinA начинается в 0 o , то кривая y=sin(A-60 o) начинается в 60 o (т.е. ее нулевое значение на 60 o правее). Таким образом, говорят, что y=sin(A-60 o) запаздывает относительно y=sinA на 60 o .
График. y=sin(A-60 o) (синусоида).

Составив таблицу значений, можно построить график функции y=cos(A+45 o), показанный на рис. ниже.
Если кривая y=cosA начинается в 0 o , то кривая y=cos(A+45 o) начинается на 45 o левее (т.е. ее нулевая величина находится на 45 o раньше).
Таким образом, говорят, что график y=cos(A+45 o) опережает график y=cosA на 45 o .
График. y=cos(A+45 o) (косинусоида).

В общем виде, график y=sin(A-α) запаздывает относительно y=sinAна угол α.
Косинусоида имеет ту же форму, что и синусоида, но начинается на 90 o левее, т.е. опережает ее на 90 o . Следовательно, cosA=sin(A+90 o).

Пример 5.
Построить график y=5sin(A+30 o) в диапазоне от А=0 o до А=360 o

Решение:
Амплитуда = 5, период = 360 o /1 = 360 o .
5sin(A+30 o) опережает 5sinA на 30 o т.е. начинается на 30 o раньше.
График y=5sin(A+30 o) (синусоида).

Пример 6.
Построить график y=7sin(2A-π/3) в диапазоне от А=0 o до А=360 o .

Решение:
Амплитуда = 7, период =2π/2= π радиан
В общем случае y=sin(pt-α) запаздывает относительно y=sinpt на α/p , следовательно 7sin(2A-π/3) запаздывает относительно 7sin2A на (π/3)/2, т.е. на π/6 радиан или на 30 o

Синусоида вида Asin(ωt±α). Фазовый угол. Сдвиг по фазе.

Пусть OR на рис. слева представляет собой вектор, свободно вращающийся против часовой стрелки вокруг О со скоростью ω радиан/с. Вращающийся вектор называется фазовым вектором . Через время t секунд OR повернется на угол ωt радиан (на рис. слева это угол TOR). Если перпендикулярно к OR построить ST, то sinωt=ST/OT, т.e. ST=OTsinωt.
Если все подобные вертикальные составляющие спроецировать на график зависимости у от ωt, получится синусоида с амплитудой OR.

Если фазовый вектор OR делает один оборот (т.е. 2π радиан) за Т секунд, то угловая скорость ω=2π/Т рад/с, откуда
Т=2π/ ω (с), где
Т - это период
Число полных периодов, проходящих за 1 секунду, называется частотой f.
Частота = (количество периодов)/(секунда) = 1/ T = ω/2π Гц, т.е. f= ω/2π Гц
Следовательно, угловая скорость
ω=2πf рад/с.

Если в общем виде синусоидальная функция выглядит, как y=sin(ωt± α), то
А - амплитуда
ω - угловая скорость
2π/ ω - период Т, с
ω/2π - частота f, Гц
α - угол опережения или запаздывания (относительно y=Аsinωt) в радианах, он называется также фазовым углом.

Пример 7.
Переменный ток задается как i=20sin(90πt+0,26) ампер. Определить амплитуду, период, частоту и фазовый угол (в градусах)

Решение:
i=20sin(90πt+0,26)А, следовательно,
амплитуда равна 20 А
угловая скорость ω =90π, следовательно,
период Т = 2π/ ω = 2π/ 90π = 0,022 с = 22мс
частота f = 1/Т = 1/0,022 = 45,46 Гц
фазовый угол α = 0,26 рад. = (0,26*180/π) o = 14,9 o .

Пример 8.
Колебательный механизм имеет максимальное смещение 3 м и частоту 55 Гц. Во время t=0 смещение составляет 100см. Выразить смещение в общем виде Аsin(ωt± α).

Решение
Амплитуда = максимальное смещение = 3м
Угловая скорость ω=2πf = 2π(55) = 110 πрад./с
Следовательно, смещение 3sin(110πt + α) м.
При t=0 смещение = 100см=1м.
Следовательно, 1= 3sin(0 + α), т.е. sinα=1/3=0,33
Следовательно α=arcsin0,33=19 o
Итак, смещение равно 3sin(110 πt + 0,33).

Пример 9.
Значение мгновенного напржения в схеме переменного тока в любые t секунд задается в виде v=350sin(40πt-0,542)В. Найти:
а) Амплитуду, период, частоту и фазовый угол (в градусах)
б) значение напряжения при t =0
в) значение напряжения при t =10 мс
г) время, за которое напряжение впервые достигнет значения 200 В.
Решение :
а) Амплитуда равна 350 В, угловая скорость равна ω=40π
Следовательно,
период Т=2π/ ω=2π/40π=0,05 с =50мс
частота f=1/Т=1/0,05=20 Гц
фазовый угол = 0,542 рад (0,542*180/π) = 31 o с запаздыванием относительно v=350sin(40πt)
б) Если t =0, то v=350sin(0-0,542)=350sin(-31 o)=-180,25 В
в) Если t =10 мс, то v=350sin(40π10/10 3 -0,542)=350sin(0,714)=350sin41 o =229,6 В
г) Если v=200 И, то 200=350sin(40πt-0,542) 200/350=sin(40πt-0,542)

График. Колебательный механизм
(пример, синусоида).

v=350sin(40πt-0,542) Следовательно, (40πt-0,542)=arcsin200/350=35 o или 0,611 рад.
40πt= 0,611+0,542=1,153.
Следовательно, если v=200В, то время t=1,153/40π=9,179 мс

Геометрическое определение синуса и косинуса

\(\sin \alpha = \dfrac{|BC|}{|AB|} \) , \(\cos \alpha = \dfrac{|AC|}{|AB|} \)

α - угол, выраженный в радианах.

Синус (sin α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AB|.

Косинус (cos α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AC| к длине гипотенузы |AB|.

Тригонометрическое определение

С помощью формул, указанных выше, можно найти синус и косинус острого угла. Но нужно научиться вычислять синус и косинус угла произвольной величины. Прямоугольный треугольник не даёт такой возможности (тупого угла, например, в нём быть не может); следовательно, нужно более общее определение синуса и косинуса, содержащее указанные формулы как частный случай.

На помощь приходит тригонометрическая окружность. Пусть дан некоторый угол; ему отвечает одноимённая точка на тригонометрической окружности.

Рис. 2. Тригонометрическое определение синуса и косинуса

Косинус угла - это абсцисса точки. Синус угла - это ордината точки.

На рис. 2 угол взят острым, и легко понять, что данное определение совпадает с общим геометрическим определением. В самом деле, мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой O и острым углом. Прилежащий катет этого треугольника есть cos (сравните с рис. 1) и одновременно абсцисса точки; противолежащий катет есть sin (как на рис. 1) и одновременно ордината точки.

Но теперь мы уже не стеснены первой четвертью и получаем возможность распространить данное определение на любой угол. На рис. 3 показано, что такое синус и косинус угла во второй, третьей и четвёртой четвертях.

Рис. 3. Синус и косинус во II, III и IV четвертях

Табличные значения синуса и косинуса

Нулевой угол \(\LARGE 0^{\circ } \)

Абсцисса точки 0 равна 1 , ордината точки 0 равна 0 . Следовательно,

cos 0 = 1 sin 0 = 0

Рис 4. Нулевой угол

Угол \(\LARGE \frac{\pi}{6} = 30^{\circ } \)

Мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой и острым углом 30° . Как известно, катет, лежащий напротив угла 30° , равен половине гипотенузы 1 ; иными словами, вертикальный катет равен 1/2 и, стало быть,

\[ \sin \frac{\pi}{6} =\frac{1}{2} \]

Горизонтальный катет находим по теореме Пифагора (или, что то же самое, находим косинус по основному тригонометрическому тождеству):

\[ \cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2} \right)^{2} } =\frac{\sqrt{3} }{2} \]

1 Почему так получается? Разрежьте равносторонний треугольник со стороной 2 вдоль его высоты! Он распадётся на два прямоугольных треугольника с гипотенузой 2, острым углом 30° и меньшим катетом 1.

Рис 5. Угол π / 6

Угол \(\LARGE \frac{\pi}{4} = 45^{\circ } \)

В данном случае прямоугольный треугольник является равнобедренным; синус и косинус угла 45° равны друг другу. Обозначим их пока через x . Имеем:

\[ x^{2} + x^{2} = 1 \]

откуда \(x=\frac{\sqrt{2} }{2} \). Следовательно,

\[ \cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} =\frac{\sqrt{2} }{2} \]

Рис 5. Угол π / 4

Свойства синуса и косинуса

Принятые обозначения

\(\sin^2 x \equiv (\sin x)^2; \) \(\quad \sin^3 x \equiv (\sin x)^3; \) \(\quad \sin^n x \equiv (\sin x)^n \) \(\sin^{-1} x \equiv \arcsin x \) \((\sin x)^{-1} \equiv \dfrac1{\sin x} \equiv \cosec x \) .

\(\cos^2 x \equiv (\cos x)^2; \) \(\quad \cos^3 x \equiv (\cos x)^3; \) \(\quad \cos^n x \equiv (\cos x)^n \) \(\cos^{-1} x \equiv \arccos x \) \((\cos x)^{-1} \equiv \dfrac1{\cos x} \equiv \sec x \) .

Периодичность

Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2π.

\(\sin(x + 2\pi) = \sin x; \quad \) \(\cos(x + 2\pi) = \cos x \)

Четность

Функция синус – нечетная. Функция косинус – четная.

\(\sin(-x) = - \sin x; \quad \) \(\cos(-x) = \cos x \)

Области определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Основные свойства синуса и косинуса представлены в таблице (n - целое).

	\(\small < x < \)	\(\small -\pi + 2\pi n \) \(\small < x < \) \(\small 2\pi n \)
Убывание	\(\small \dfrac{\pi}2 + 2\pi n \) \(\small < x < \) \(\small \dfrac{3\pi}2 + 2\pi n \)	\(\small 2\pi n \) \(\small < x < \) \(\pi + \small 2\pi n \)
Максимумы, \(\small x = \) \(\small \dfrac{\pi}2 + 2\pi n \)	\(\small x = 2\pi n \)
Минимумы, \(\small x = \) \(\small -\dfrac{\pi}2 + 2\pi n \)	\(\small x = \) \(\small \pi + 2\pi n \)
Нули, \(\small x = \pi n \)	\(\small x = \dfrac{\pi}2 + \pi n \)
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	y = 1

Основные формулы, содержащие синус и косинус

Сумма квадратов

\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)

Формулы синуса и косинуса суммы и разности

\(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)
\(\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
\(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)
\(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)

\(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \)
\(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \) \(2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x \)
\(\cos\left(\dfrac{\pi}2 - x \right) = \sin x \) ; \(\sin\left(\dfrac{\pi}2 - x \right) = \cos x \)
\(\cos(x + \pi) = - \cos x \) ; \(\sin(x + \pi) = - \sin x \)

Формулы произведения синусов и косинусов

\(\sin x \cos y = \) \(\dfrac12 {\Large [} \sin(x - y) + \sin(x + y) {\Large ]} \)
\(\sin x \sin y = \) \(\dfrac12 {\Large [} \cos(x - y) - \cos(x + y) {\Large ]} \)
\(\cos x \cos y = \) \(\dfrac12 {\Large [} \cos(x - y) + \cos(x + y) {\Large ]} \)

\(\sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \)
\(\sin^2 x = \dfrac12 {\Large [} 1 - \cos 2x {\Large ]} \)
\(\cos^2 x = \dfrac12 {\Large [} 1 + \cos 2x {\Large ]} \)

Формулы суммы и разности

\(\sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac{x+y}2 \, \cos \dfrac{x-y}2 \)
\(\sin x - \sin y = 2 \, \sin \dfrac{x-y}2 \, \cos \dfrac{x+y}2 \)
\(\cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac{x+y}2 \, \cos \dfrac{x-y}2 \)
\(\cos x - \cos y = 2 \, \sin \dfrac{x+y}2 \, \sin \dfrac{y-x}2 \)

Выражение синуса через косинус

\(\sin x = \cos\left(\dfrac{\pi}2 - x \right) = \) \(\cos\left(x - \dfrac{\pi}2 \right) = - \cos\left(x + \dfrac{\pi}2 \right) \) \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) \(\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} \) \(\{ 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \} \) \(\sin x = - \sqrt{1 - \cos^2 x} \) \(\{ -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \} \) .

Выражение косинуса через синус

\(\cos x = \sin\left(\dfrac{\pi}2 - x \right) = \) \(- \sin\left(x - \dfrac{\pi}2 \right) = \sin\left(x + \dfrac{\pi}2 \right) \) \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) \(\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} \) \(\{ -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \} \) \(\cos x = - \sqrt{1 - \sin^2 x} \) \(\{ \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \} \) .

Выражение через тангенс

\(\sin^2 x = \dfrac{\tg^2 x}{1+\tg^2 x} \) \(\cos^2 x = \dfrac1{1+\tg^2 x} \) .

При \(- \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n < x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \) \(\sin x = \dfrac{\tg x}{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \) \(\cos x = \dfrac1{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \) .

При \(\dfrac{\pi}2 + 2 \pi n < x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n \) :
\(\sin x = - \dfrac{\tg x}{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \) \(\cos x = - \dfrac1{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \) .

Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.
[ img style="max-width:500px;max-height:1080px;" src="tablitsa.png" alt="Таблица синусов и косинусов" title="Таблица синусов и косинусов" ]

Выражения через комплексные переменные

\(i^2 = -1 \)
\(\sin z = \dfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \) \(\cos z = \dfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \)

Формула Эйлера

\(e^{iz} = \cos z + i \sin z \)

Выражения через гиперболические функции

\(\sin iz = i \sh z \) \(\cos iz = \ch z \)
\(\sh iz = i \sin z \) \(\ch iz = \cos z \)

Производные

\((\sin x)" = \cos x \) \((\cos x)" = - \sin x \) . Вывод формул > > >

Производные n-го порядка:
\(\left(\sin x \right)^{(n)} = \sin\left(x + n\dfrac{\pi}2 \right) \) \(\left(\cos x \right)^{(n)} = \cos\left(x + n\dfrac{\pi}2 \right) \) .

Интегралы

\(\int \sin x \, dx = - \cos x + C \) \(\int \cos x \, dx = \sin x + C \)
См. также раздел Таблица неопределенных интегралов >>>

Разложения в ряды

\(\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{ (-1)^n x^{2n+1} }{ (2n+1)! } = \) \(x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ... \) \(\{- \infty < x < \infty \} \)
\(\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{ (-1)^n x^{2n} }{ (2n)! } = \) \(1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \) \(\{ - \infty < x < \infty \} \)

Секанс, косеканс

\(\sec x = \dfrac1{ \cos x } ; \) \(\cosec x = \dfrac1{ \sin x } \)

Обратные функции

Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус, соответственно.

Арксинус, arcsin

\(y = \arcsin x \) \(\left\{ -1 \leqslant x \leqslant 1; \; - \dfrac{\pi}2 \leqslant y \leqslant \dfrac{\pi}2 \right\} \)
\(\sin(\arcsin x) = x \)
\(\arcsin(\sin x) = x \) \(\left\{ - \dfrac{\pi}2 \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}2 \right\} \)

Арккосинус, arccos

\(y = \arccos x \) \(\left\{ -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \right\} \)
\(\cos(\arccos x) = x \) \(\{ -1 \leqslant x \leqslant 1 \} \)
\(\arccos(\cos x) = x \) \(\{ 0 \leqslant x \leqslant \pi \} \)

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

В этой статье будут рассмотрены три основных свойства тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Первое свойство - знак функции в зависимости от того, какой четверти единичной окружности приналдежит угол α . Второе свойство - периодичность. Согласно этому свойству, тигонометрическая функция не меняет значения при изменении угла на целое число оборотов. Третье свойсто определяет, как меняются значения функций sin, cos, tg, ctg при противоположных углах α и - α .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Часто в математическом тексте или в контексте задачи можно встретить фразу: "угол первой, второй, третьей или четвертой координатной четверти". Что это такое?

Обратимся к единичной окружности. Она разделена на четыре четверти. Отметим на окружности начальную точку A 0 (1 , 0) и, поворачивая ее вокруг точки O на угол α , попадем в точку A 1 (x , y) . В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка A 1 (x , y) , угол α будет называться углом первой, второй, третьей и четвертой четвети соответственно.

Для наглядности приведем иллюстрацию.

Угол α = 30 ° лежит в первой четверти. Угол - 210 ° является углом второй четверти. Угол 585 ° - угол третьей четверти. Угол - 45 ° - это угол четвертой четверти.

При этом углы ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на координатных осях.

Теперь рассмотрим знаки, которые принимают синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимости от того, в какой четверти лежит угол.

Чтобы определить знаки синуса по четвертям, вспомним опредение. Синус - это ордината точки A 1 (x , y) . Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной - отрицательна.

Косинус - это абсцисса точки A 1 (x , y) . В соответсии с этим, определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а отрицателен во второй и третьей четверти.

Для определения знаков тангенса и котангенса по четвертям также вспоминаем определения этих тригонометрических функций. Тангенс - отношение ординаты точки к абсциссе. Значит, по правилу деления чисел с разными знаками, когда ордината и абсцисса имеют одинаковые знаки, знак тангенса на окружности будет положительным, а когда ордината и абсцисса имеют разные знаки - отрицательным. Аналогично определяются знаки котангенса по четвертям.

Важно помнить!

1. Синус угла α имеет знак плюс в 1 и 2 четвертях, знак минус - в 3 и 4 четвертях.
2. Косинус угла α имеет знак плюс в 1 и 4 четвертях, знак минус - в 2 и 3 четвертях.
3. Тангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус - в 2 и 4 четвертях.
4. Котангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус - в 2 и 4 четвертях.

Свойство периодичности

Свойство периодичности - одно из самых очевидных свойств тригонометрических функций.

Свойство периодичности

При изменении угла на целое число полных оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла остаются неизменными.

Действительно, при изменении угла на целое число оборотов мы всегда будем попадать из начальной точки A на единичной окружности в точку A 1 с одними и теми же координатами. Соответственно, не будут меняться и значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Математически данное свойство записывается так:

sin α + 2 π · z = sin α cos α + 2 π · z = cos α t g α + 2 π · z = t g α c t g α + 2 π · z = c t g α

Какое применение на практике находит это свойство? Свойство периодичности, как и формулы приведения, часто используется для вычисления значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов больших углов.

Приведем примеры.

sin 13 π 5 = sin 3 π 5 + 2 π = sin 3 π 5

t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° · (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° · (- 1)) = t g (- 329 °)

Вновь обратимся к единичной окружности.

Точка A 1 (x , y) - результат поворота начальной точки A 0 (1 , 0) вокруг центра окружности на угол α . Точка A 2 (x , - y) - результат поворота начальной точки на угол - α .

Точки A 1 и A 2 симметричны относительно оси абсцисс. В случае, когда α = 0 ° , ± 180 ° , ± 360 ° точки A 1 и A 2 совпадают. Пусть одна точка имеет координаты (x , y) , а вторая - (x , - y) . Вспомним определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса и запишем:

sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y

Отсюда следует свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов.

Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов

sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α

Согласно этому свойству, справедливы равенства

sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °

Рассмотренное свойство часто используется при решении практических задач в случаях, когда нужно избавиться от отрицательных знаков углов в агрументах тригонометрических функций.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В этой статье мы покажем, как даются определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла и числа в тригонометрии . Здесь же мы поговорим об обозначениях, приведем примеры записей, дадим графические иллюстрации. В заключение проведем параллель между определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии и геометрии.

Навигация по странице.

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Проследим за тем, как формируются представление о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе в школьном курсе математики. На уроках геометрии дается определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. А позже изучается тригонометрия, где говорится о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе угла поворота и числа. Приведем все эти определения, приведем примеры и дадим необходимые комментарии.

Острого угла в прямоугольном треугольнике

Из курса геометрии известны определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Они даются как отношение сторон прямоугольного треугольника. Приведем их формулировки.

Определение.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Определение.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Определение.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Определение.

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к противолежащему.

Там же вводятся обозначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса – sin , cos , tg и ctg соответственно.

Например, если АВС – прямоугольный треугольник с прямым углом С , то синус острого угла A равен отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB , то есть, sin∠A=BC/AB .

Эти определения позволяют вычислять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла по известным длинам сторон прямоугольного треугольника, а также по известным значениям синуса, косинуса, тангенса, котангенса и длине одной из сторон находить длины других сторон. Например, если бы мы знали, что в прямоугольном треугольнике катет AC равен 3 , а гипотенуза AB равна 7 , то мы могли бы вычислить значение косинуса острого угла A по определению: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Угла поворота

В тригонометрии на угол начинают смотреть более широко - вводят понятие угла поворота . Величина угла поворота, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов, угол поворота в градусах (и в радианах) может выражаться каким угодно действительным числом от −∞ до +∞ .

В этом свете дают определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса уже не острого угла, а угла произвольной величины - угла поворота. Они даются через координаты x и y точки A 1 , в которую переходит так называемая начальная точка A(1, 0) после ее поворота на угол α вокруг точки O – начала прямоугольной декартовой системы координат и центра единичной окружности .

Определение.

Синус угла поворота α - это ордината точки A 1 , то есть, sinα=y .

Определение.

Косинусом угла поворота α называют абсциссу точки A 1 , то есть, cosα=x .

Определение.

Тангенс угла поворота α - это отношение ординаты точки A 1 к ее абсциссе, то есть, tgα=y/x .

Определение.

Котангенсом угла поворота α называют отношение абсциссы точки A 1 к ее ординате, то есть, ctgα=x/y .

Синус и косинус определены для любого угла α , так как мы всегда можем определить абсциссу и ординату точки, которая получается в результате поворота начальной точки на угол α . А тангенс и котангенс определены не для любого угла. Тангенс не определен для таких углов α , при которых начальная точка переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) или (0, −1) , а это имеет место при углах 90°+180°·k , k∈Z (π/2+π·k рад). Действительно, при таких углах поворота выражение tgα=y/x не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на нуль. Что же касается котангенса, то он не определен для таких углов α , при которых начальная точка переходит к в точку с нулевой ординатой (1, 0) или (−1, 0) , а это имеет место для углов 180°·k , k∈Z (π·k рад).

Итак, синус и косинус определены для любых углов поворота, тангенс определен для всех углов, кроме 90°+180°·k , k∈Z (π/2+π·k рад), а котангенс – для всех углов, кроме 180°·k , k∈Z (π·k рад).

В определениях фигурируют уже известные нам обозначения sin , cos , tg и ctg , они используются и для обозначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота (иногда можно встретить обозначения tan и cot , отвечающие тангенсу и котангенсу). Так синус угла поворота 30 градусов можно записать как sin30° , записям tg(−24°17′) и ctgα отвечают тангенс угла поворота −24 градуса 17 минут и котангенс угла поворота α . Напомним, что при записи радианной меры угла обозначение «рад» часто опускают. Например, косинус угла поворота в три пи рад обычно обозначают cos3·π .

В заключение этого пункта стоит заметить, что в разговоре про синус, косинус, тангенс и котангенс угла поворота часто опускают словосочетание «угол поворота» или слово «поворота». То есть, вместо фразы «синус угла поворота альфа» обычно используют фразу «синус угла альфа» или еще короче – «синус альфа». Это же касается и косинуса, и тангенса, и котангенса.

Также скажем, что определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике согласуются с только что данными определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота величиной от 0 до 90 градусов. Это мы обоснуем .

Числа

Определение.

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называют число, равное синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу угла поворота в t радианов соответственно.

Например, косинус числа 8·π по определению есть число, равное косинусу угла в 8·π рад. А косинус угла в 8·π рад равен единице, поэтому, косинус числа 8·π равен 1 .

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Он состоит в том, что каждому действительному числу t ставится в соответствие точка единичной окружности с центром в начале прямоугольной системы координат, и синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки. Остановимся на этом подробнее.

Покажем, как устанавливается соответствие между действительными числами и точками окружности:

• числу 0 ставится в соответствие начальная точка A(1, 0) ;
• положительному числу t ставится в соответствие точка единичной окружности, в которую мы попадем, если будем двигаться по окружности из начальной точки в направлении против часовой стрелки и пройдем путь длиной t ;
• отрицательному числу t ставится в соответствие точка единичной окружности, в которую мы попадем, если будем двигаться по окружности из начальной точки в направлении по часовой стрелке и пройдем путь длиной |t| .

Теперь переходим к определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа t . Допустим, что числу t соответствует точка окружности A 1 (x, y) (например, числу &pi/2; отвечает точка A 1 (0, 1) ).

Определение.

Синусом числа t называют ординату точки единичной окружности, соответствующей числу t , то есть, sint=y .

Определение.

Косинусом числа t называют абсциссу точки единичной окружности, отвечающей числу t , то есть, cost=x .

Определение.

Тангенсом числа t называют отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t , то есть, tgt=y/x . В другой равносильной формулировке тангенс числа t – это отношение синуса этого числа к косинусу, то есть, tgt=sint/cost .

Определение.

Котангенсом числа t называют отношение абсциссы к ординате точки единичной окружности, соответствующей числу t , то есть, ctgt=x/y . Другая формулировка такова: тангенс числа t – это отношение косинуса числа t к синусу числа t : ctgt=cost/sint .

Здесь отметим, что только что данные определения согласуются с определением, данным в начале этого пункта. Действительно, точка единичной окружности, соответствующая числу t , совпадает с точкой, полученной в результате поворота начальной точки на угол в t радианов.

Еще стоит прояснить такой момент. Допустим, перед нами запись sin3 . Как понять, о синусе числа 3 или о синусе угла поворота в 3 радиана идет речь? Обычно это ясно из контекста, в противном случае это скорее всего не имеет принципиального значения.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Согласно данным в предыдущем пункте определениям, каждому углу поворота α соответствуют вполне определенное значение sinα , как и значение cosα . Кроме того, всем углам поворота, отличным от 90°+180°·k , k∈Z (π/2+π·k рад) отвечают значения tgα , а отличным от 180°·k , k∈Z (π·k рад) – значения ctgα . Поэтому sinα , cosα , tgα и ctgα - это функции угла α . Другими словами – это функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить и про функции синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента. Действительно, каждому действительному числу t отвечает вполне определенное значение sint , как и cost . Кроме того, всем числам, отличным от π/2+π·k , k∈Z соответствуют значения tgt , а числам π·k , k∈Z - значения ctgt .

Функции синус, косинус, тангенс и котангенс называют основными тригонометрическими функциями .

Из контекста обычно понятно, с тригонометрическими функциями углового аргумента или числового аргумента мы имеем дело. В противном случае мы можем считать независимую переменную как мерой угла (угловым аргументом), так и числовым аргументом.

Однако, в школе в основном изучаются числовые функции, то есть, функции, аргументы которых, как и соответствующие им значения функции, являются числами. Поэтому, если речь идет именно о функциях, то целесообразно считать тригонометрические функции функциями числовых аргументов.

Связь определений из геометрии и тригонометрии

Если рассматривать угол поворота α величиной от 0 до 90 градусов, то данные в контексте тригонометрии определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота полностью согласуются с определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, которые даются в курсе геометрии. Обоснуем это.

Изобразим в прямоугольной декартовой системе координат Oxy единичную окружность. Отметим начальную точку A(1, 0) . Повернем ее на угол α величиной от 0 до 90 градусов, получим точку A 1 (x, y) . Опустим из точки А 1 на ось Ox перпендикуляр A 1 H .

Легко видеть, что в прямоугольном треугольнике угол A 1 OH равен углу поворота α , длина прилежащего к этому углу катета OH равна абсциссе точки A 1 , то есть, |OH|=x , длина противолежащего к углу катета A 1 H равна ординате точки A 1 , то есть, |A 1 H|=y , а длина гипотенузы OA 1 равна единице, так как она является радиусом единичной окружности. Тогда по определению из геометрии синус острого угла α в прямоугольном треугольнике A 1 OH равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то есть, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |=y/1=y . А по определению из тригонометрии синус угла поворота α равен ординате точки A 1 , то есть, sinα=y . Отсюда видно, что определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике эквивалентно определению синуса угла поворота α при α от 0 до 90 градусов.

Аналогично можно показать, что и определения косинуса, тангенса и котангенса острого угла α согласуются с определениями косинуса, тангенса и котангенса угла поворота α .

Список литературы.

1. Геометрия. 7-9 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. - 20-е изд. М.: Просвещение, 2010. - 384 с.: ил. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений/ А. В. Погорелов. - 2-е изд - М.: Просвещение, 2001. - 224 с.: ил. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Алгебра и элементарные функции : Учебное пособие для учащихся 9 класса средней школы / Е. С. Кочетков, Е. С. Кочеткова; Под редакцией доктора физико-математических наук О. Н. Головина.- 4-е изд. М.: Просвещение, 1969.
4. Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
5. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 4-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2007. - 424 с.: ил. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни /[Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - И.: Просвещение, 2010.- 368 с.: ил.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.