कोटैंजेंट की आवधिकता. साइन, कोसाइन, स्पर्शज्या और कोटैंजेंट - वह सब कुछ जो आपको गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा में जानना आवश्यक है। परिभाषा और मूल्यों का क्षेत्र, चरम, वृद्धि, कमी

ग्राफ़ से यह स्पष्ट है कि:

साइन और कोसाइन ग्राफ़ -1 और 1 के बीच उतार-चढ़ाव करते हैं
कोज्या वक्र का आकार ज्या वक्र के समान होता है, लेकिन इसके सापेक्ष 90° स्थानांतरित हो जाता है
ज्या और कोज्या वक्र निरंतर होते हैं और 360 o की अवधि के साथ दोहराए जाते हैं, स्पर्शरेखा वक्र में असंततता होती है और 180 o की अवधि के साथ दोहराई जाती है।

चित्र में. बाईं ओर लंबवत अक्ष XX" और YY" हैं; निर्देशांक O के मूल पर प्रतिच्छेद करते हुए। ग्राफ़ के साथ काम करते समय, O से दाईं ओर और ऊपर की ओर के माप को सकारात्मक माना जाता है, O से बाईं ओर और नीचे की ओर के माप को नकारात्मक माना जाता है। OA को O के सापेक्ष स्वतंत्र रूप से घूमने दें। जब OA को वामावर्त घुमाया जाता है, तो मापा गया कोण सकारात्मक माना जाता है, और जब दक्षिणावर्त घुमाया जाता है, तो इसे नकारात्मक माना जाता है।

अनुसूची। सकारात्मक या नकारात्मक
एक वृत्त में घूमते समय दिशा।

मान लीजिए कि OA वामावर्त दिशा में इस प्रकार घूमता है कि Θ 1 पहले चतुर्थांश में कोई कोण है, और चित्र में समकोण त्रिभुज OAB प्राप्त करने के लिए एक लंबवत AB का निर्माण करें। बाएं। चूँकि त्रिभुज की तीनों भुजाएँ सकारात्मक हैं, पहले चतुर्थांश में त्रिकोणमितीय फलन साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा सकारात्मक होंगे। (ध्यान दें कि लंबाई OA हमेशा सकारात्मक होती है, क्योंकि यह वृत्त की त्रिज्या है।)
OA को आगे इस प्रकार घुमाएँ कि Θ 2 दूसरे चतुर्थांश में कोई कोण हो, और AC की रचना करें ताकि एक समकोण त्रिभुज OAC बन जाए। फिर पाप Θ 2 =+/+ = +; क्योंकि Θ 2 =+/- = -; tan Θ 2 =+/- = -. OA को आगे इस प्रकार घुमाएँ कि Θ 3 तीसरे चतुर्थांश में कोई कोण हो, और AD की रचना करें ताकि एक समकोण त्रिभुज OAD बने। तब पाप Θ 3 = -/+ = -; क्योंकि Θ 3 = -/+ = -; tan Θ 3 = -/- =+ .

अनुसूची। में कोणों का निर्माण
विभिन्न चतुर्थांश.

OA को आगे इस प्रकार घुमाएँ कि Θ 4 चौथे चतुर्थांश में कोई कोण हो, और AE की रचना करें ताकि एक समकोण त्रिभुज OAE बने। तब पाप Θ 4 = -/+= -; क्योंकि Θ 4 =+/+=+; tan Θ 4 = -/+= -.

पहले चतुर्थांश में, सभी त्रिकोणमितीय फलनों का मान धनात्मक है, दूसरे में, केवल ज्या धनात्मक है, तीसरे में, केवल स्पर्शरेखा, चौथे में, केवल कोज्या है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। बाएं।

उदाहरण के लिए, 0 o और 360 o के बीच के सभी कोण, जिनकी ज्या, मान लीजिए, 0.3261 है, ज्ञात करते समय मनमाने परिमाण के कोणों का ज्ञान आवश्यक है। यदि आप कैलकुलेटर में 0.3261 दर्ज करते हैं और साइन -1 बटन दबाते हैं, तो हमें उत्तर 19.03 o मिलता है। हालाँकि, 0 o और 360 o के बीच एक दूसरा कोण है जो कैलकुलेटर नहीं दिखाएगा। दूसरे चतुर्थांश में भी ज्या धनात्मक है। चित्र में एक अन्य कोण दिखाया गया है। नीचे कोण Θ के रूप में, जहां Θ=180 o - 19.03 o = 160.97 o. इस प्रकार, 19.03 o और 160.97 o 0 o से 360 o तक के कोण हैं, जिनकी ज्या 0.3261 है।

ध्यान से! कैलकुलेटर इनमें से केवल एक मान देता है। दूसरा मान मनमाने कोणों के सिद्धांत के अनुसार निर्धारित किया जाना चाहिए।

उदाहरण 1

0 o से 360 o तक की सीमा में सभी कोण ज्ञात करें, जिनकी ज्या -0.7071 है

समाधान:
जिन कोणों की ज्या -0.7071 o है, वे तीसरे और चौथे चतुर्थांश में हैं, क्योंकि इन चतुर्थांशों में ज्या ऋणात्मक है (बाईं ओर का चित्र देखें)।

अनुसूची। द्वारा सभी कोण ज्ञात करना
दिया गया साइन मान (उदाहरण)

निम्नलिखित चित्र से Θ = आर्कसिन 0.7071 = 45 o. 0 o से 360 o तक की सीमा में दो कोण, जिनकी ज्या -0.7071 है, 180 o +45 o = 225 o और 360 o - 45 o = 315 o हैं।

टिप्पणी।कैलकुलेटर केवल एक ही उत्तर देता है.
अनुसूची। द्वारा सभी कोण ज्ञात करना
दिया गया साइन मान (उदाहरण)

उदाहरण 2

0 o और 360 o के बीच के सभी कोण ज्ञात करें जिनकी स्पर्शरेखा 1.327 है।

समाधान:
पहले और तीसरे चतुर्थांश में स्पर्शरेखा धनात्मक है - चित्र। बाएं।
अनुसूची। द्वारा सभी कोण ज्ञात करना

नीचे दिए गए चित्र से Θ = arctan1.327= 53 o.
0 o से 360 o तक की सीमा में दो कोण, जिनकी स्पर्शरेखा 1.327 है, 53 o और 180 o + 53 o हैं, अर्थात। 233 ओ.
अनुसूची। द्वारा सभी कोण ज्ञात करना
दिया गया स्पर्शरेखा मान (उदाहरण)

मान लीजिए OR चित्र में है। बाईं ओर इकाई लंबाई का एक वेक्टर है, जो O के चारों ओर स्वतंत्र रूप से वामावर्त घूम रहा है। एक क्रांति चित्र में दिखाए गए वृत्त का निर्माण करती है। और 15o के सेक्टरों में विभाजित किया गया है। प्रत्येक त्रिज्या में एक क्षैतिज और एक ऊर्ध्वाधर घटक होता है। उदाहरण के लिए, 30 o के लिए ऊर्ध्वाधर घटक TS है, और क्षैतिज घटक OS है।

त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषा से
पाप30 o =TS/TO=TS/1, यानी। टीएस= पाप30 ओऔर cos30 o =OS/TO=OS/1, यानी। ओएस=cos30 ओ

ऊर्ध्वाधर घटक टीएस को टी"एस" के रूप में प्लॉट किया जा सकता है, जो कि वाई बनाम कोण एक्स के ग्राफ पर 30 ओ के कोण के अनुरूप मूल्य के बराबर है। यदि टीएस जैसे सभी ऊर्ध्वाधर घटकों को ग्राफ में स्थानांतरित किया जाता है, तो आपको चित्र में दिखाया गया एक साइनसॉइड मिलेगा। उच्चतर.

यदि सभी क्षैतिज घटकों, जैसे OS, को y बनाम कोण x के ग्राफ़ पर प्रक्षेपित किया जाता है, तो परिणाम एक कोसाइन तरंग होता है। इन प्रक्षेपणों को त्रिज्या OR और ऊर्ध्वाधर से कोणों की उत्पत्ति के साथ एक वृत्त को फिर से बनाकर कल्पना करना आसान है, जैसा कि बाईं ओर के चित्र में दिखाया गया है।
चित्र से. बायीं ओर आप देख सकते हैं कि साइन तरंग का आकार कोसाइन तरंग के समान है, लेकिन 90 डिग्री पर स्थानांतरित हो गया है।

आवधिक कार्य और अवधि
प्रत्येक फ़ंक्शन ग्राफ़ चार चित्रों में दिखाया गया है। उपरोक्त, कोण A के बढ़ने पर दोहराया जाता है, यही कारण है कि उन्हें कहा जाता है आवधिक कार्य.
फ़ंक्शन y=sinA और y=cosA प्रत्येक 360 o (या 2π रेडियन) पर दोहराए जाते हैं, इसलिए 360 o को कहा जाता है अवधिये कार्य. फलन y=sin2A और y=cos2A प्रत्येक 180 o (या π रेडियन) पर दोहराए जाते हैं, इसलिए 180 o इन फलनों की अवधि है।
सामान्य तौर पर, यदि y=sinpA और y=cospA (जहाँ p एक स्थिरांक है), तो फ़ंक्शन की अवधि 360 o /p (या 2π/p रेडियन) है। इसलिए, यदि y=sin3A, तो इस फ़ंक्शन की अवधि 360 o /3= 120 o के बराबर है, यदि y=cos4A, तो इस फ़ंक्शन की अवधि 360 o /4= 90 o के बराबर है।

आयाम
आयामसाइनसॉइड का अधिकतम मान कहलाता है। ग्राफ़ 1-4 में से प्रत्येक का आयाम +1 है (अर्थात् वे +1 और -1 के बीच उतार-चढ़ाव करते हैं)। हालाँकि, यदि y=4sinA, प्रत्येक synA मान को 4 से गुणा किया जाता है, तो अधिकतम आयाम मान 4 है। इसी प्रकार y=5cos2A के लिए आयाम 5 है और अवधि 360 o /2 = 180 o है।

उदाहरण 3.
A=0 o से A=360 o तक की सीमा में y=3sin2A की रचना करें।

समाधान:
आयाम =3, अवधि = 360 o /2 =180 o.

उदाहरण 4.
x=0 o से x=360 o तक की सीमा में y=4cos2x का एक ग्राफ बनाएं

समाधान:
आयाम = 4. अवधि = 360 o /2 =180 o.

अंतराल और अग्रिम कोण
साइन और कोसाइन वक्र हमेशा 0 o पर शुरू नहीं होते हैं। इस परिस्थिति को ध्यान में रखने के लिए, आवधिक फ़ंक्शन को y=sin(A± α) के रूप में दर्शाया जाता है, जहां α y=sinA और y=cosA के सापेक्ष चरण बदलाव है।

मानों की एक तालिका संकलित करने के बाद, आप चित्र में दिखाए गए फ़ंक्शन y=sin(A-60 o) का एक ग्राफ़ बना सकते हैं। बाएं। यदि y=sinA वक्र 0 o पर शुरू होता है, तो y=sin(A-60 o) वक्र 60 o पर शुरू होता है (यानी, इसका शून्य मान दाईं ओर 60 o है)। इस प्रकार, वे कहते हैं कि y=sin(A-60 o) देर है y=sinA के सापेक्ष 60 o तक।
अनुसूची। y=sin(A-60 o) (साइनसॉइड)।

मानों की एक तालिका संकलित करने के बाद, आप चित्र में दिखाए गए फ़ंक्शन y=cos(A+45 o) का एक ग्राफ़ बना सकते हैं। नीचे।
यदि y=cosA वक्र 0 o से शुरू होता है, तो y=cos(A+45 o) वक्र बाईं ओर 45 o से शुरू होता है (अर्थात इसका शून्य मान 45 o पहले है)।
इस प्रकार, ग्राफ को y=cos(A+45 o) कहा जाता है आगेग्राफ y=cosA 45 o पर।
अनुसूची। y=cos(A+45 o) (कोसाइन तरंग)।

सामान्य तौर पर, ग्राफ y=sin(A-α) कोण α से y=sinA के सापेक्ष पिछड़ जाता है।
कोसाइन तरंग का आकार साइन तरंग के समान होता है, लेकिन यह 90 o बाईं ओर शुरू होती है, अर्थात। 90 बजे तक उससे आगे। इसलिए, cosA=sin(A+90 o).

उदाहरण 5.
A=0 o से A=360 o तक की सीमा में एक ग्राफ y=5sin(A+30 o) बनाएं

समाधान:
आयाम = 5, अवधि = 360 o /1 = 360 o.
5sin(A+30 o) 5sinA से 30 o आगे है अर्थात 30 बजे पहले शुरू होता है।
ग्राफ़ y=5sin(A+30 o) (साइनसॉइड)।

उदाहरण 6.
A=0 o से A=360 o तक की सीमा में एक ग्राफ y=7sin(2A-π/3) बनाएं।

समाधान:
आयाम = 7, आवर्त =2π/2= π रेडियन
सामान्य रूप में y=sin(pt-α) y=sinpt के सापेक्ष α/p से पीछे है, इसलिए 7sin(2A-π/3) 7sin2A से (π/3)/2 से पीछे है, यानी। π/6 रेडियन या 30 o द्वारा

असिन (ωt±α) रूप का साइनसॉइड। अवस्था कोण। चरण में बदलाव।

मान लीजिए OR चित्र में है। बाईं ओर एक वेक्टर है जो O के चारों ओर ω रेडियन/सेकंड की गति से वामावर्त दिशा में स्वतंत्र रूप से घूम रहा है। घूमने वाला वेक्टर कहलाता है चरण वेक्टर. टी सेकंड के समय के बाद, OR एक कोण ωt रेडियंस के माध्यम से घूमेगा (बाईं ओर की आकृति में यह कोण TOR है)। यदि हम OR पर लंबवत ST बनाते हैं, तो synωt=ST/OT, यानी। ST=OTsinωt.
यदि ऐसे सभी ऊर्ध्वाधर घटकों को y बनाम ωt के ग्राफ पर प्रक्षेपित किया जाता है, तो आयाम OR वाला एक साइनसॉइड प्राप्त होता है।

यदि चरण वेक्टर OR T सेकंड में एक क्रांति (यानी 2π रेडियन) करता है, तो कोणीय वेग ω=2π/T रेड/एस, जहां से
T=2π/ ω (s), जहां
टी है अवधि
1 सेकंड में गुजरने वाली पूर्ण अवधियों की संख्या कहलाती है आवृत्तिएफ।
आवृत्ति = (अवधि की संख्या)/(सेकंड) = 1/ टी = ω/2π हर्ट्ज,वे। एफ= ω/2π हर्ट्ज
इसलिए, कोणीय वेग
ω=2πf रेड/एस.

यदि सामान्य तौर पर साइनसोइडल फ़ंक्शन y=sin(ωt± α) जैसा दिखता है, तो
ए - आयाम
ω - कोणीय वेग
2π/ ω - अवधि टी, एस
ω/2π - आवृत्ति एफ, हर्ट्ज
α रेडियन में अग्रिम या मंदता कोण (y=Аsinωt के सापेक्ष) है, इसे चरण कोण भी कहा जाता है।

उदाहरण 7.
प्रत्यावर्ती धारा i=20sin(90πt+0.26) एम्पीयर के रूप में दी गई है। आयाम, अवधि, आवृत्ति और चरण कोण निर्धारित करें (डिग्री में)

समाधान:
i=20sin(90πt+0.26)और, इसलिए,
आयाम है 20 ए
कोणीय वेग ω=90π, इसलिए,
अवधि टी= 2π/ ω = 2π/ 90π = 0.022 s = 22ms
आवृत्ति एफ= 1/टी = 1/0.022 = 45.46 हर्ट्ज़
चरण कोण α= 0.26 रेड. = (0.26*180/π) ओ = 14.9 ओ.

उदाहरण 8.
दोलन तंत्र में अधिकतम विस्थापन 3 मीटर और आवृत्ति 55 हर्ट्ज है। समय t=0 पर विस्थापन 100 सेमी है। विस्थापन को सामान्य रूप Аsin(ωt± α) में व्यक्त करें।

समाधान
आयाम = अधिकतम विस्थापन = 3 मी
कोणीय वेग ω=2πf = 2π(55) = 110 πrad/s
इसलिए, विस्थापन 3sin(110πt + α) m है।
t=0 पर विस्थापन = 100cm=1m.
इसलिए, 1= 3sin(0 + α), यानी। पापα=1/3=0.33
इसलिए α=arcsin0.33=19 o
तो ऑफसेट 3sin(110 πt + 0.33) है।

उदाहरण 9.
किसी भी t सेकंड पर एक प्रत्यावर्ती धारा परिपथ में तात्कालिक वोल्टेज का मान v=350sin(40πt-0.542)V के रूप में दिया जाता है। खोजो:
ए) आयाम, अवधि, आवृत्ति और चरण कोण (डिग्री में)
b) t = 0 पर वोल्टेज मान
ग) टी = 10 एमएस पर वोल्टेज मान
d) वह समय जिसके दौरान वोल्टेज पहली बार 200 V तक पहुंचता है।
समाधान:
a) आयाम 350 V है, कोणीय वेग ω=40π है
इस तरह,
अवधि T=2π/ ω=2π/40π=0.05 s =50ms
आवृत्ति f=1/T=1/0.05=20 हर्ट्ज
चरण कोण = 0.542 रेड (0.542*180/π) = 31 o v=350sin(40πt) के सापेक्ष विलंब के साथ
बी) यदि t =0, तो v=350sin(0-0.542)=350sin(-31 o)=-180.25 V
सी) यदि t =10 एमएस, तो v=350sin(40π10/10 3 -0.542)=350sin(0.714)=350sin41 o =229.6 V
d) यदि v=200 I, तो 200=350sin(40πt-0.542) 200/350=sin(40πt-0.542)

अनुसूची। दोलन तंत्र
(उदाहरण, साइन तरंग).

v=350sin(40πt-0.542) इसलिए, (40πt-0.542)=arcsin200/350=35 o या 0.611 रेड।
40πt= 0.611+0.542=1.153.
इसलिए, यदि v=200V, तो समय t=1.153/40π=9.179 ms

ज्या और कोज्या की ज्यामितीय परिभाषा

\(\sin \alpha = \dfrac(|BC|)(|AB|) \), \(\cos \alpha = \dfrac(|AC|)(|AB|) \)

α - कोण रेडियन में व्यक्त किया गया।

साइन (पाप α)एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैर के बीच के कोण α का एक त्रिकोणमितीय फलन है, जो विपरीत पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर है |BC| कर्ण की लंबाई तक |AB|

कोसाइन (cos α)एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैर के बीच के कोण α का एक त्रिकोणमितीय फलन है, जो आसन्न पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर है |AC| कर्ण की लंबाई तक |AB|

त्रिकोणमितीय परिभाषा

उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके, आप न्यून कोण की ज्या और कोज्या ज्ञात कर सकते हैं। लेकिन आपको यह सीखना होगा कि मनमाने आकार के कोण की ज्या और कोज्या की गणना कैसे करें। एक समकोण त्रिभुज ऐसा अवसर प्रदान नहीं करता है (उदाहरण के लिए, इसमें अधिक कोण नहीं हो सकता); इसलिए, हमें साइन और कोसाइन की अधिक सामान्य परिभाषा की आवश्यकता है, जिसमें ये सूत्र एक विशेष मामले के रूप में शामिल हों।

त्रिकोणमितीय वृत्त बचाव के लिए आता है। कोई कोण दे दो; यह त्रिकोणमितीय वृत्त पर उसी नाम के बिंदु से मेल खाता है।

चावल। 2. ज्या और कोज्या की त्रिकोणमितीय परिभाषा

किसी कोण की कोज्या एक बिंदु का भुज है। किसी कोण की ज्या एक बिंदु की कोटि होती है।

चित्र में. 2, कोण को न्यून कोण माना जाता है, और यह समझना आसान है कि यह परिभाषा सामान्य ज्यामितीय परिभाषा से मेल खाती है। वास्तव में, हम एक समकोण त्रिभुज देखते हैं जिसका एक इकाई कर्ण O और एक न्यूनकोण है। इस त्रिभुज का आसन्न पैर कॉस है (चित्र 1 से तुलना करें) और साथ ही बिंदु का भुज है; विपरीत पक्ष पाप है (जैसा कि चित्र 1 में है) और साथ ही बिंदु की कोटि भी है।

लेकिन अब हम पहली तिमाही तक सीमित नहीं हैं और हमारे पास इस परिभाषा को किसी भी कोण तक विस्तारित करने का अवसर है। चित्र में. चित्र 3 दर्शाता है कि दूसरे, तीसरे और चौथे क्वार्टर में किसी कोण की ज्या और कोज्या क्या हैं।

चावल। 3. द्वितीय, तृतीय और चतुर्थ तिमाही में ज्या और कोज्या

साइन और कोसाइन के तालिका मान

शून्य कोण \(\बड़ा 0^(\circ ) \)

बिंदु 0 का भुज 1 के बराबर है, बिंदु 0 की कोटि 0 के बराबर है। इस तरह,

क्योंकि 0 = 1 पाप 0 = 0

चित्र 4. शून्य कोण

कोण \(\बड़ा \frac(\pi)(6) = 30^(\circ )\)

हम एक इकाई कर्ण और 30° के न्यूनकोण वाला एक समकोण त्रिभुज देखते हैं। जैसा कि आप जानते हैं, 30° कोण के विपरीत स्थित पैर कर्ण 1 के आधे के बराबर है; दूसरे शब्दों में, ऊर्ध्वाधर पैर 1/2 के बराबर है और इसलिए,

\[ \sin \frac(\pi)(6) =\frac(1)(2) \]

हम पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके क्षैतिज पैर पाते हैं (या, जो समान है, हम मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके कोसाइन पाते हैं):

\[ \cos \frac(\pi)(6) = \sqrt(1 - \left(\frac(1)(2) \right)^(2) ) =\frac(\sqrt(3) )(2 ) \]

1 ऐसा क्यों होता है? एक समबाहु त्रिभुज को उसकी ऊंचाई के अनुदिश भुजा 2 के साथ काटें! यह 2 के कर्ण, 30° के न्यूनकोण और 1 के छोटे पाद वाले दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित हो जाएगा।

चित्र 5. कोण π/6

कोण \(\बड़ा \frac(\pi)(4) = 45^(\circ )\)

इस मामले में, समकोण त्रिभुज समद्विबाहु है; 45° के कोण की ज्या और कोज्या एक दूसरे के बराबर होती हैं। आइए अभी के लिए उन्हें x से निरूपित करें। हमारे पास है:

\[ x^(2) + x^(2) = 1 \]

जहां से \(x=\frac(\sqrt(2) )(2) \). इस तरह,

\[ \cos \frac(\pi)(4) = \sin \frac(\pi)(4) =\frac(\sqrt(2) )(2) \]

चित्र 5. कोण π/4

साइन और कोसाइन के गुण

स्वीकृत नोटेशन

\(\sin^2 x \equiv (\sin x)^2; \)\(\quad \sin^3 x \equiv (\sin x)^3; \)\(\quad \sin^n x \equiv (\sin x)^n \)\(\sin^(-1) x \equiv \arcsin x \)\((\sin x)^(-1) \equiv \dfrac1(\sin x) \equiv \cosec x \).

\(\cos^2 x \equiv (\cos x)^2; \)\(\quad \cos^3 x \equiv (\cos x)^3; \)\(\quad \cos^n x \equiv (\cos x)^n \)\(\cos^(-1) x \equiv \arccos x \)\((\cos x)^(-1) \equiv \dfrac1(\cos x) \equiv \sec x \).

दौरा

फलन y = syn x और y = cos x 2π की अवधि के साथ आवर्त हैं।

\(\sin(x + 2\pi) = \sin x; \quad \)\(\cos(x + 2\pi) = \cos x \)

समानता

साइन फलन विषम है. कोज्या फलन सम है।

\(\sin(-x) = - \sin x; \quad \)\(\cos(-x) = \cos x \)

परिभाषा और मूल्यों के क्षेत्र, चरम, वृद्धि, कमी

साइन और कोसाइन के मूल गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं ( एन- साबुत)।

	\(\छोटा< x < \)	\(\छोटा -\pi + 2\pi n \) \(\छोटा< x < \) \(\small 2\pi n \)
अवरोही	\(\छोटा \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)\(\छोटा< x < \) \(\छोटा \dfrac(3\pi)2 + 2\pi n \)	\(\छोटा 2\pi n \) \(\छोटा< x < \) \(\pi + \small 2\pi n \)
मैक्सिमा, \(\छोटा x = \) \(\छोटा \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)	\(\छोटा x = 2\pi n\)
न्यूनतम, \(\छोटा x = \) \(\छोटा -\dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)	\(\छोटा x = \) \(\छोटा \pi + 2\pi n \)
शून्य, \(\छोटा x = \pi n\)	\(\छोटा x = \dfrac(\pi)2 + \pi n \)
Y-अक्ष प्रतिच्छेदन बिंदु, x = 0	आप = 0	आप = 1

साइन और कोसाइन युक्त मूल सूत्र

वर्गों का योग

\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)

योग और अंतर के लिए ज्या और कोज्या सूत्र

\(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)
\(\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
\(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)
\(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)

\(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \)
\(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \)\(2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x \)
\(\cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \sin x \) ; \(\sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \cos x \)
\(\cos(x + \pi) = - \cos x \) ; \(\sin(x + \pi) = - \sin x \)

ज्या और कोज्या के गुणनफल के लिए सूत्र

\(\sin x \cos y = \) \(\dfrac12 (\बड़ा [) \sin(x - y) + \sin(x + y) (\बड़ा ]) \)
\(\sin x \sin y = \) \(\dfrac12 (\बड़ा [) \cos(x - y) - \cos(x + y) (\बड़ा ]) \)
\(\cos x \cos y = \) \(\dfrac12 (\बड़ा [) \cos(x - y) + \cos(x + y) (\बड़ा ]) \)

\(\sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \)
\(\sin^2 x = \dfrac12 (\बड़ा [) 1 - \cos 2x (\बड़ा ]) \)
\(\cos^2 x = \dfrac12 (\बड़ा [) 1 + \cos 2x (\बड़ा ]) \)

योग और अंतर सूत्र

\(\sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\sin x - \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x-y)2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \)
\(\cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\cos x - \cos y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \sin \dfrac(y-x)2 \)

साइन को कोसाइन के माध्यम से व्यक्त करना

\(\sin x = \cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \)\(\cos\left(x - \dfrac(\pi)2 \right) = - \cos\left(x + \dfrac(\pi)2 \right) \)\(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) \(\sin x = \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \) \)\(\sin x = - \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \) \).

कोज्या को ज्या के माध्यम से व्यक्त करना

\(\cos x = \sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \)\(- \sin\left(x - \dfrac(\pi)2 \right) = \sin\left(x + \dfrac(\pi)2 \right) \)\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) \(\cos x = \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \) \)\(\cos x = - \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \) \).

स्पर्शरेखा के माध्यम से अभिव्यक्ति

\(\sin^2 x = \dfrac(\tg^2 x)(1+\tg^2 x) \)\(\cos^2 x = \dfrac1(1+\tg^2 x) \).

पर \(- \dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \) \(\sin x = \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).

पर \(\dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n \) :
\(\sin x = - \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = - \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).

साइन और कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की तालिका

यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए साइन और कोसाइन के मान दिखाती है।
[img style='अधिकतम-चौड़ाई:500px;अधिकतम-ऊंचाई:1080px;' src='tablitsa.png' alt='साइन और कोसाइन की तालिका" title="ज्या और कोज्या की तालिका" ]!}

जटिल चरों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ

\(i^2 = -1\)
\(\sin z = \dfrac(e^(iz) - e^(-iz))(2i) \)\(\cos z = \dfrac(e^(iz) + e^(-iz))(2) \)

यूलर का सूत्र

\(e^(iz) = \cos z + i \sin z \)

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ

\(\sin iz = i \sh z \) \(\cos iz = \ch z \)
\(\sh iz = i \sin z \) \(\ch iz = \cos z \)

संजात

\((\sin x)" = \cos x \) \((\cos x)" = - \sin x \) . सूत्र व्युत्पन्न करना > > >

nवें क्रम के व्युत्पन्न:
\(\left(\sin x \right)^((n)) = \sin\left(x + n\dfrac(\pi)2 \right) \)\(\left(\cos x \right)^((n)) = \cos\left(x + n\dfrac(\pi)2 \right) \).

अभिन्न

\(\int \sin x \, dx = - \cos x + C \)\(\int \cos x \, dx = \sin x + C \)
अनुभाग अनिश्चितकालीन समाकलनों की तालिका >>> भी देखें

शृंखला विस्तार

\(\sin x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n+1) )( (2n+1)! ) = \)\(x - \dfrac(x^3)(3 + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ... \) !} \(\(- \infty< x < \infty \} \)
\(\cos x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n) )( (2n)! ) = \)\(1 - \dfrac(x^2)(2 + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \) !} \(\( - \infty< x < \infty \} \)

सेकेंट, कोसेकेंट

\(\sec x = \dfrac1( \cos x ) ; \) \(\cosec x = \dfrac1( \sin x ) \)

उलटा कार्य

साइन और कोसाइन के व्युत्क्रम फलन क्रमशः आर्कसाइन और आर्ककोसाइन हैं।

आर्क्सिन, आर्क्सिन

\(y = \arcsin x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; - \dfrac(\pi)2 \leqslant y \leqslant \dfrac(\pi)2 \right\) \)
\(\sin(\arcsin x) = x\)
\(\arcsin(\sin x) = x\) \(\left\( - \dfrac(\pi)2 \leqslant x \leqslant \dfrac(\pi)2 \right\) \)

आर्ककोसाइन, आर्ककोस

\(y = \arccos x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \right\) \)
\(\cos(\arccos x) = x \) \(\( -1 \leqslant x \leqslant 1 \) \)
\(\arccos(\cos x) = x\) \(\( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) \)

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

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यह आलेख त्रिकोणमितीय कार्यों के तीन बुनियादी गुणों पर गौर करेगा: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट।

पहला गुण फ़ंक्शन का चिह्न है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि कोण α यूनिट सर्कल के किस तिमाही से संबंधित है। दूसरा गुण है आवधिकता. इस संपत्ति के अनुसार, जब कोण क्रांतियों की पूर्णांक संख्या से बदलता है तो टिगोनोमेट्रिक फ़ंक्शन अपना मान नहीं बदलता है। तीसरी संपत्ति यह निर्धारित करती है कि फ़ंक्शन पाप, कॉस, टीजी, सीटीजी के मान विपरीत कोण α और - α पर कैसे बदलते हैं।

Yandex.RTB R-A-339285-1

अक्सर गणितीय पाठ में या किसी समस्या के संदर्भ में आप वाक्यांश पा सकते हैं: "पहले, दूसरे, तीसरे या चौथे समन्वय तिमाही का कोण।" यह क्या है?

आइए यूनिट सर्कल की ओर मुड़ें। इसे चार भागों में विभाजित किया गया है। आइए वृत्त पर प्रारंभिक बिंदु A 0 (1, 0) को चिह्नित करें और, इसे बिंदु O के चारों ओर एक कोण α से घुमाते हुए, हम बिंदु A 1 (x, y) पर पहुंचेंगे। बिंदु A 1 (x, y) किस तिमाही में स्थित है, इसके आधार पर कोण α को क्रमशः पहली, दूसरी, तीसरी और चौथी तिमाही का कोण कहा जाएगा।

स्पष्टता के लिए, यहां एक उदाहरण दिया गया है।

कोण α = 30° पहली तिमाही में स्थित है। कोण - 210° दूसरा चतुर्थांश कोण है। 585° कोण तृतीय चतुर्थांश कोण है। कोण - 45° चतुर्थ चतुर्थांश कोण है।

इस मामले में, कोण ± 90 °, ± 180 °, ± 270 °, ± 360 ° किसी भी तिमाही से संबंधित नहीं हैं, क्योंकि वे समन्वय अक्षों पर स्थित हैं।

अब उन चिह्नों पर विचार करें जो साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट लेते हैं, यह इस पर निर्भर करता है कि कोण किस चतुर्थांश में स्थित है।

ज्या के चिन्हों को चौथाई भाग द्वारा निर्धारित करने के लिए, परिभाषा को याद करें। साइन बिंदु A 1 (x, y) की कोटि है। आंकड़े से पता चलता है कि पहली और दूसरी तिमाही में यह सकारात्मक है, और तीसरी और चौथी तिमाही में यह नकारात्मक है।

कोसाइन बिंदु A 1 (x, y) का भुज है। इसके अनुसार, हम वृत्त पर कोसाइन के चिह्न निर्धारित करते हैं। पहली और चौथी तिमाही में कोसाइन सकारात्मक है, और दूसरी और तीसरी तिमाही में नकारात्मक है।

तिमाहियों द्वारा स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के चिह्नों को निर्धारित करने के लिए, हम इन त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को भी याद करते हैं। स्पर्शरेखा एक बिंदु की कोटि और भुज के बीच का अनुपात है। इसका मतलब यह है कि संख्याओं को अलग-अलग चिन्हों से विभाजित करने के नियम के अनुसार, जब कोटि और भुज के चिन्ह समान हों, तो वृत्त पर स्पर्शरेखा का चिन्ह धनात्मक होगा, और जब कोटि और भुज के अलग-अलग चिन्ह हों, तो यह ऋणात्मक होगा। . क्वार्टरों के लिए कोटैंजेंट चिह्न इसी प्रकार निर्धारित किए जाते हैं।

याद रखना महत्वपूर्ण है!

कोण α की ज्या में पहली और दूसरी तिमाही में धन चिह्न होता है, तीसरी और चौथी तिमाही में ऋण चिह्न होता है।
कोण α की कोज्या में पहली और चौथी तिमाही में प्लस चिह्न होता है, दूसरी और तीसरी तिमाही में ऋण चिह्न होता है।
कोण α की स्पर्शरेखा में पहली और तीसरी तिमाही में प्लस चिह्न होता है, दूसरी और चौथी तिमाही में ऋण चिह्न होता है।
कोण α के कोटैंजेंट में पहली और तीसरी तिमाही में प्लस चिह्न होता है, दूसरी और चौथी तिमाही में ऋण चिह्न होता है।

आवधिकता संपत्ति

आवधिकता का गुण त्रिकोणमितीय फलनों के सबसे स्पष्ट गुणों में से एक है।

आवधिकता संपत्ति

जब कोण पूर्ण क्रांतियों की पूर्णांक संख्या से बदलता है, तो इस कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान अपरिवर्तित रहते हैं।

दरअसल, जब कोण क्रांतियों की पूर्णांक संख्या से बदलता है, तो हम हमेशा यूनिट सर्कल पर प्रारंभिक बिंदु ए से बिंदु ए 1 तक समान निर्देशांक के साथ पहुंचेंगे। तदनुसार, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान नहीं बदलेंगे।

गणितीय रूप से, यह गुण इस प्रकार लिखा गया है:

पाप α + 2 π z = पाप α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α

व्यवहार में इस संपत्ति का उपयोग कैसे किया जाता है? आवधिकता गुण, कमी सूत्रों की तरह, अक्सर बड़े कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल्यों की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है।

चलिए उदाहरण देते हैं.

पाप 13 π 5 = पाप 3 π 5 + 2 π = पाप 3 π 5

टी जी (- 689 डिग्री) = टी जी (31 डिग्री + 360 डिग्री (- 2)) = टी जी 31 डिग्री टी जी (- 689 डिग्री) = टी जी (- 329 डिग्री + 360 डिग्री (- 1)) = टी जी (- 329 डिग्री)

आइए यूनिट सर्कल पर फिर से नजर डालें।

बिंदु A 1 (x, y) प्रारंभिक बिंदु A 0 (1, 0) को वृत्त के केंद्र के चारों ओर कोण α द्वारा घुमाने का परिणाम है। बिंदु A 2 (x, - y) प्रारंभिक बिंदु को एक कोण - α द्वारा घुमाने का परिणाम है।

बिंदु A 1 और A 2 भुज अक्ष के बारे में सममित हैं। उस स्थिति में जब α = 0 °, ± 180 °, ± 360 ° बिंदु A 1 और A 2 संपाती होते हैं। माना कि एक बिंदु के निर्देशांक (x, y) हैं और दूसरे के निर्देशांक - (x, - y) हैं। आइए हम साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट की परिभाषाओं को याद करें और लिखें:

पाप α = y, cos α = x, t g α = y x, c t g α = x y पाप - α = - y, cos - α = x, t g - α = - y x, c t g - α = x - y

इसका तात्पर्य विपरीत कोणों की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की संपत्ति से है।

विपरीत कोणों की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की संपत्ति

पाप - α = - पाप α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α

इस गुण के अनुसार समानताएँ सत्य हैं

पाप - 48 ° = - पाप 48 °, c t g π 9 = - c t g - π 9, cos 18 ° = cos - 18 °

इस संपत्ति का उपयोग अक्सर उन मामलों में व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में किया जाता है जहां त्रिकोणमितीय कार्यों के तर्कों में नकारात्मक कोण संकेतों से छुटकारा पाना आवश्यक होता है।

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इस लेख में हम बताएंगे कि कैसे देना है त्रिकोणमिति में किसी कोण और संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट की परिभाषाएँ. यहां हम नोटेशन के बारे में बात करेंगे, प्रविष्टियों के उदाहरण देंगे और ग्राफिक चित्रण देंगे। निष्कर्ष में, आइए हम त्रिकोणमिति और ज्यामिति में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं के बीच एक समानांतर रेखा बनाएं।

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साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषा

आइए देखें कि स्कूली गणित पाठ्यक्रम में साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट का विचार कैसे बनता है। ज्यामिति पाठों में, एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट की परिभाषा दी जाती है। और बाद में त्रिकोणमिति का अध्ययन किया जाता है, जो घूर्णन कोण और संख्या के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बारे में बात करता है। आइए हम ये सभी परिभाषाएँ प्रस्तुत करें, उदाहरण दें और आवश्यक टिप्पणियाँ दें।

समकोण त्रिभुज में न्यूनकोण

ज्यामिति पाठ्यक्रम से हम एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट की परिभाषाएँ जानते हैं। इन्हें एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में दिया गया है। आइए हम उनके सूत्रीकरण दें।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्याकर्ण के विपरीत भुजा का अनुपात है।

परिभाषा।

एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की कोज्याआसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है।

परिभाषा।

एक समकोण त्रिभुज में न्यूनकोण की स्पर्शरेखा- यह विपरीत भुजा का आसन्न भुजा से अनुपात है।

परिभाषा।

एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण का कोटैंजेंट- यह आसन्न भुजा का विपरीत भुजा से अनुपात है।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के पदनाम भी वहां पेश किए गए हैं - क्रमशः पाप, कॉस, टीजी और सीटीजी।

उदाहरण के लिए, यदि ABC समकोण C वाला एक समकोण त्रिभुज है, तो न्यूनकोण A की ज्या विपरीत भुजा BC और कर्ण AB के अनुपात के बराबर है, अर्थात, syn∠A=BC/AB।

ये परिभाषाएँ आपको एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की ज्ञात लंबाई के साथ-साथ साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा के ज्ञात मूल्यों से एक तीव्र कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल्यों की गणना करने की अनुमति देती हैं। अन्य भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने के लिए कोटैंजेंट और एक भुजा की लंबाई। उदाहरण के लिए, यदि हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में पैर AC 3 के बराबर है और कर्ण AB 7 के बराबर है, तो हम परिभाषा के अनुसार न्यून कोण A की कोज्या के मान की गणना कर सकते हैं: cos∠A=AC/ एबी=3/7.

वर्तन कोण

त्रिकोणमिति में, वे कोण को अधिक व्यापक रूप से देखना शुरू करते हैं - वे घूर्णन कोण की अवधारणा का परिचय देते हैं। न्यून कोण के विपरीत, घूर्णन कोण का परिमाण 0 से 90 डिग्री तक सीमित नहीं है; घूर्णन कोण को डिग्री (और रेडियन में) में −∞ से +∞ तक किसी भी वास्तविक संख्या द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

इस प्रकाश में, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाएँ न्यून कोण की नहीं, बल्कि मनमाने आकार के कोण की दी गई हैं - घूर्णन का कोण। वे बिंदु A 1 के x और y निर्देशांक के माध्यम से दिए गए हैं, जिस पर तथाकथित प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) बिंदु O के चारों ओर एक कोण α द्वारा घूमने के बाद जाता है - आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की शुरुआत और यूनिट सर्कल का केंद्र।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की ज्याα बिंदु A 1 की कोटि है, अर्थात, synα=y.

परिभाषा।

घूर्णन कोण की कोज्याα को बिंदु A 1 का भुज कहा जाता है, अर्थात, cosα=x।

परिभाषा।

घूर्णन कोण का स्पर्शरेखाα बिंदु A 1 की कोटि और उसके भुज का अनुपात है, अर्थात tanα=y/x।

परिभाषा।

घूर्णन कोण का कोटैंजेंटα बिंदु A 1 के भुज और उसकी कोटि का अनुपात है, अर्थात ctgα=x/y।

ज्या और कोज्या को किसी भी कोण α के लिए परिभाषित किया गया है, क्योंकि हम हमेशा बिंदु का भुज और कोटि निर्धारित कर सकते हैं, जो कोण α द्वारा प्रारंभिक बिंदु को घुमाकर प्राप्त किया जाता है। लेकिन किसी भी कोण के लिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट परिभाषित नहीं हैं। कोण α के लिए स्पर्शरेखा को परिभाषित नहीं किया गया है, जिस पर प्रारंभिक बिंदु शून्य भुज (0, 1) या (0, −1) वाले बिंदु पर जाता है, और यह कोण 90°+180° k, k∈Z (π) पर होता है /2+π·k rad). वास्तव में, घूर्णन के ऐसे कोणों पर, अभिव्यक्ति tgα=y/x का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से विभाजन होता है। जहां तक कोटैंजेंट की बात है, यह कोण α के लिए परिभाषित नहीं है, जिस पर शुरुआती बिंदु शून्य कोटि (1, 0) या (−1, 0) वाले बिंदु पर जाता है, और यह 180° k, k ∈Z कोणों के लिए होता है। (π·k rad).

तो, साइन और कोसाइन को किसी भी घूर्णन कोण के लिए परिभाषित किया गया है, स्पर्शरेखा को 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) को छोड़कर सभी कोणों के लिए परिभाषित किया गया है, और कोटैंजेंट को 180°·k को छोड़कर सभी कोणों के लिए परिभाषित किया गया है। , k∈Z (π·k rad).

परिभाषाओं में वे पदनाम शामिल हैं जो हमें पहले से ही ज्ञात हैं पाप, कॉस, टीजी और सीटीजी, उनका उपयोग रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को निर्दिष्ट करने के लिए भी किया जाता है (कभी-कभी आप स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के अनुरूप पदनाम टैन और कॉट पा सकते हैं) . तो 30 डिग्री के घूर्णन कोण की ज्या को syn30° के रूप में लिखा जा सकता है, प्रविष्टियाँ tg(−24°17′) और ctgα घूर्णन कोण -24 डिग्री 17 मिनट की स्पर्शरेखा और घूर्णन कोण α के कोटैंजेंट के अनुरूप हैं . आइए याद रखें कि किसी कोण का रेडियन माप लिखते समय, पदनाम "रेड" अक्सर छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, तीन पाई रेड के घूर्णन कोण की कोज्या को आमतौर पर cos3·π दर्शाया जाता है।

इस बिंदु के निष्कर्ष में, यह ध्यान देने योग्य है कि जब रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के बारे में बात की जाती है, तो वाक्यांश "रोटेशन का कोण" या "रोटेशन" शब्द अक्सर छोड़ दिया जाता है। अर्थात्, वाक्यांश "रोटेशन कोण अल्फा की साइन" के बजाय, वाक्यांश "अल्फा कोण की साइन" या, इससे भी छोटा, "साइन अल्फा" आमतौर पर उपयोग किया जाता है। यही बात कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेंट पर भी लागू होती है।

हम यह भी कहेंगे कि एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाएँ 0 से 90 डिग्री तक के घूर्णन कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए दी गई परिभाषाओं के अनुरूप हैं। हम इसे उचित ठहराएंगे.

नंबर

परिभाषा।

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट t, t रेडियन में घूर्णन कोण की क्रमशः ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट के बराबर एक संख्या है।

उदाहरण के लिए, परिभाषा के अनुसार संख्या 8·π की कोज्या 8·π रेड के कोण की कोज्या के बराबर एक संख्या है। और 8·π रेड के कोण की कोज्या एक के बराबर होती है, इसलिए, संख्या 8·π की कोज्या 1 के बराबर होती है।

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट निर्धारित करने का एक और तरीका है। यह इस तथ्य में समाहित है कि प्रत्येक वास्तविक संख्या t आयताकार समन्वय प्रणाली के मूल में केंद्र के साथ इकाई वृत्त पर एक बिंदु से जुड़ी है, और साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट इस बिंदु के निर्देशांक के माध्यम से निर्धारित किए जाते हैं। आइए इसे और अधिक विस्तार से देखें।

आइए हम दिखाएँ कि किसी वृत्त पर वास्तविक संख्याओं और बिंदुओं के बीच पत्राचार कैसे स्थापित किया जाता है:

संख्या 0 को प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) दिया गया है;
सकारात्मक संख्या t यूनिट सर्कल पर एक बिंदु से जुड़ी हुई है, जिसे हम तब प्राप्त करेंगे जब हम शुरुआती बिंदु से सर्कल के साथ वामावर्त दिशा में आगे बढ़ेंगे और लंबाई t के पथ पर चलेंगे;
ऋणात्मक संख्या t इकाई वृत्त पर एक बिंदु से जुड़ी है, जो हमें तब मिलेगी जब हम वृत्त के साथ प्रारंभिक बिंदु से दक्षिणावर्त दिशा में आगे बढ़ेंगे और लंबाई के पथ पर चलेंगे |t| .

अब हम संख्या t की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं की ओर बढ़ते हैं। आइए मान लें कि संख्या t वृत्त A 1 (x, y) पर एक बिंदु से मेल खाती है (उदाहरण के लिए, संख्या &pi/2; बिंदु A 1 (0, 1) से मेल खाती है)।

परिभाषा।

संख्या की ज्या t, संख्या t के संगत इकाई वृत्त पर बिंदु की कोटि है, अर्थात, synt=y।

परिभाषा।

संख्या की कोज्या t को संख्या t के संगत इकाई वृत्त के बिंदु का भुज कहा जाता है, अर्थात लागत=x।

परिभाषा।

संख्या का स्पर्शरेखा t, संख्या t के संगत इकाई वृत्त पर एक बिंदु के भुज की कोटि का अनुपात है, अर्थात, tgt=y/x। एक अन्य समतुल्य सूत्रीकरण में, किसी संख्या t की स्पर्श रेखा इस संख्या की ज्या और कोज्या का अनुपात है, अर्थात, tgt=sint/cost।

परिभाषा।

संख्या का कोटैंजेंट t, संख्या t के संगत इकाई वृत्त पर एक बिंदु की कोटि के भुज का अनुपात है, अर्थात, ctgt=x/y। एक अन्य सूत्रीकरण यह है: संख्या t की स्पर्शरेखा, संख्या t की कोज्या और संख्या t की ज्या का अनुपात है: ctgt=cost/sint।

यहां हम ध्यान दें कि दी गई परिभाषाएँ इस पैराग्राफ की शुरुआत में दी गई परिभाषा के अनुरूप हैं। दरअसल, यूनिट सर्कल पर संख्या t के अनुरूप बिंदु प्रारंभिक बिंदु को t रेडियन के कोण से घुमाने पर प्राप्त बिंदु से मेल खाता है।

यह बात अभी भी स्पष्ट करने लायक है। मान लीजिए कि हमारे पास प्रविष्टि पाप3 है। हम कैसे समझ सकते हैं कि हम संख्या 3 की ज्या की बात कर रहे हैं या 3 रेडियन के घूर्णन कोण की ज्या की? यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट है, अन्यथा संभवतः इसका मौलिक महत्व नहीं है।

कोणीय और संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्य

पिछले पैराग्राफ में दी गई परिभाषाओं के अनुसार, घूर्णन α का प्रत्येक कोण एक बहुत ही विशिष्ट मूल्य synα, साथ ही मूल्य cosα से मेल खाता है। इसके अलावा, 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad ) के अलावा अन्य सभी घूर्णन कोण tgα मानों के अनुरूप हैं, और 180°k, k∈Z (πk rad ) के अलावा अन्य मान - मान ctgα का। इसलिए synα, cosα, tanα और ctgα कोण α के फलन हैं। दूसरे शब्दों में, ये कोणीय तर्क के कार्य हैं।

हम संख्यात्मक तर्क के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के कार्यों के बारे में इसी तरह बात कर सकते हैं। दरअसल, प्रत्येक वास्तविक संख्या टी एक बहुत ही विशिष्ट मूल्य सिंत, साथ ही लागत से मेल खाती है। इसके अलावा, π/2+π·k, k∈Z के अलावा अन्य सभी संख्याएँ tgt मानों के अनुरूप हैं, और संख्याएँ π·k, k∈Z - ctgt मान हैं।

फलन sine, cosine, tangent और cotangent कहलाते हैं बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्य.

यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होता है कि क्या हम कोणीय तर्क या संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्यों से निपट रहे हैं। अन्यथा, हम स्वतंत्र चर को कोण के माप (कोणीय तर्क) और संख्यात्मक तर्क दोनों के रूप में सोच सकते हैं।

हालाँकि, स्कूल में हम मुख्य रूप से संख्यात्मक कार्यों का अध्ययन करते हैं, अर्थात्, ऐसे कार्य जिनके तर्क, साथ ही उनके संबंधित फ़ंक्शन मान, संख्याएँ हैं। इसलिए, यदि हम विशेष रूप से कार्यों के बारे में बात कर रहे हैं, तो त्रिकोणमितीय कार्यों को संख्यात्मक तर्कों के कार्यों के रूप में मानने की सलाह दी जाती है।

ज्यामिति और त्रिकोणमिति की परिभाषाओं के बीच संबंध

यदि हम 0 से 90 डिग्री तक के घूर्णन कोण α पर विचार करते हैं, तो त्रिकोणमिति के संदर्भ में घूर्णन कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाएं पूरी तरह से साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं के अनुरूप हैं। समकोण त्रिभुज में न्यूनकोण, जो ज्यामिति पाठ्यक्रम में दिए गए हैं। आइए इसे उचित ठहराएँ।

आइए हम आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली ऑक्सी में इकाई वृत्त को चित्रित करें। आइए प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) को चिह्नित करें। आइए इसे 0 से 90 डिग्री तक के कोण α से घुमाएं, हमें बिंदु A 1 (x, y) मिलता है। आइए हम बिंदु A 1 से ऑक्स अक्ष पर लंबवत A 1 H छोड़ें।

यह देखना आसान है कि एक समकोण त्रिभुज में, कोण A 1 OH घूर्णन कोण α के बराबर होता है, इस कोण से सटे पैर OH की लंबाई बिंदु A 1 के भुज के बराबर होती है, अर्थात |OH |=x, कोण के विपरीत पैर A 1 H की लंबाई बिंदु A 1 की कोटि के बराबर है, अर्थात |A 1 H|=y, और कर्ण OA 1 की लंबाई एक के बराबर है, चूँकि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है। फिर, ज्यामिति की परिभाषा के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज A 1 OH में न्यून कोण α की ज्या विपरीत पाद और कर्ण के अनुपात के बराबर है, अर्थात, synα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. और त्रिकोणमिति की परिभाषा के अनुसार, घूर्णन कोण α की ज्या बिंदु A 1 की कोटि के बराबर है, अर्थात, synα=y। इससे पता चलता है कि एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या का निर्धारण करना घूर्णन कोण α की ज्या निर्धारित करने के बराबर है जब α 0 से 90 डिग्री तक होता है।

इसी प्रकार, यह दिखाया जा सकता है कि न्यून कोण α की कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाएँ घूर्णन कोण α की कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं के अनुरूप हैं।

ग्रंथ सूची.

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