តាមទស្សនៈជាក់ស្តែង ការចាប់អារម្មណ៍បំផុតគឺការប្រើប្រាស់ដេរីវេដើម្បីស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារមួយ។ តើវាភ្ជាប់ជាមួយអ្វី? ប្រាក់ចំណេញអតិបរមា កាត់បន្ថយការចំណាយ កំណត់ការផ្ទុកដ៏ល្អប្រសើរនៃឧបករណ៍... និយាយម្យ៉ាងទៀត ក្នុងវិស័យជាច្រើននៃជីវិត មនុស្សម្នាក់ត្រូវតែដោះស្រាយបញ្ហានៃការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយចំនួន។ ហើយនេះគឺជាបញ្ហានៃការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានស្វែងរកជាធម្មតានៅលើចន្លោះពេល X មួយចំនួន ដែលជាដែនទាំងមូលនៃមុខងារ ឬផ្នែកនៃដែន។ ចន្លោះពេល X ខ្លួនវាអាចជាផ្នែកបន្ទាត់ ដែលជាចន្លោះពេលបើកចំហ ចន្លោះពេលគ្មានកំណត់។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងនិយាយអំពីការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យយ៉ាងច្បាស់នៃអថេរមួយ y=f(x) ។

ការរុករកទំព័រ។

តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារ - និយមន័យ រូបភាព។

ចូរយើងរស់នៅដោយសង្ខេបលើនិយមន័យសំខាន់ៗ។

តម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារ ដែលសម្រាប់ណាមួយ។ វិសមភាពគឺជាការពិត។

តម្លៃតូចបំផុតនៃមុខងារ y = f (x) នៅលើចន្លោះពេល X ត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃបែបនេះ ដែលសម្រាប់ណាមួយ។ វិសមភាពគឺជាការពិត។

និយមន័យទាំងនេះមានលក្ខណៈវិចារណញាណ៖ តម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត) នៃអនុគមន៍គឺជាតម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត) ដែលទទួលយកនៅចន្លោះពេលដែលកំពុងពិចារណាជាមួយ abscissa ។

ចំណុចស្ថានីគឺជាតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ដែលដេរីវេនៃមុខងារបាត់។

ហេតុអ្វី​បាន​ជា​យើង​ត្រូវ​ការ​ចំណុច​ស្ថានី​ពេល​រក​តម្លៃ​ធំ​បំផុត​និង​តូច​បំផុត? ចម្លើយចំពោះសំណួរនេះត្រូវបានផ្តល់ដោយទ្រឹស្តីបទរបស់ Fermat ។ វាធ្វើតាមទ្រឹស្ដីនេះថា ប្រសិនបើមុខងារអាចខុសគ្នាមានកម្រិតខ្លាំង (អប្បរមាក្នុងស្រុក ឬអតិបរមាក្នុងស្រុក) នៅចំណុចខ្លះ នោះចំណុចនេះគឺនៅស្ថានី។ ដូច្នេះ មុខងារនេះច្រើនតែយកតម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត) របស់វានៅលើចន្លោះ X នៅចំណុចស្ថានីមួយពីចន្លោះពេលនេះ។

ដូចគ្នានេះផងដែរ មុខងារមួយអាចទទួលយកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៅចំណុចដែលដេរីវេទី 1 នៃអនុគមន៍នេះមិនមាន ហើយមុខងារនេះត្រូវបានកំណត់។

ចូរយើងឆ្លើយភ្លាមៗនូវសំណួរទូទៅបំផុតមួយលើប្រធានបទនេះ៖ "តើវាតែងតែអាចកំណត់តម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត) នៃមុខងារ" ដែរឬទេ? ទេមិនមែនជានិច្ចទេ។ ពេលខ្លះព្រំដែននៃចន្លោះពេល X ស្របគ្នានឹងព្រំដែននៃដែននៃអនុគមន៍ ឬចន្លោះពេល X គឺគ្មានកំណត់។ ហើយមុខងារមួយចំនួននៅភាពគ្មានកំណត់ និងនៅលើព្រំដែននៃដែននិយមន័យអាចយកទាំងតម្លៃធំ និងតូចគ្មានកំណត់។ នៅក្នុងករណីទាំងនេះ គ្មានអ្វីអាចនិយាយបានអំពីតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារនោះទេ។

សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ យើងផ្តល់រូបភាពក្រាហ្វិក។ មើលរូបភាព - ហើយច្រើននឹងច្បាស់។

នៅលើផ្នែក

នៅក្នុងតួលេខទីមួយ មុខងារយកតម្លៃធំបំផុត (អតិបរមា y) និងតូចបំផុត (នាទី y) នៅចំណុចស្ថានីក្នុងផ្នែក [-6;6] ។

ពិចារណាករណីដែលបង្ហាញក្នុងរូបទីពីរ។ ផ្លាស់ប្តូរផ្នែកទៅជា . ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ តម្លៃតូចបំផុតនៃមុខងារត្រូវបានសម្រេចនៅចំណុចស្ថានី ហើយធំបំផុត - នៅចំណុចដែលមាន abscissa ដែលត្រូវគ្នានឹងព្រំដែនខាងស្តាំនៃចន្លោះពេល។

នៅក្នុងរូបភាពទី 3 ចំណុចព្រំដែននៃផ្នែក [-3; 2] គឺជា abscissas នៃចំនុចដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍។

នៅក្នុងជួរបើកចំហ

នៅក្នុងតួលេខទី 4 អនុគមន៍យកតម្លៃធំបំផុត (អតិបរមា y) និងតូចបំផុត (នាទី y) នៅចំណុចស្ថានីក្នុងចន្លោះពេលបើក (-6;6) ។

នៅចន្លោះពេល គ្មានការសន្និដ្ឋានណាមួយអាចត្រូវបានទាញអំពីតម្លៃធំបំផុតនោះទេ។

នៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់

ក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបង្ហាញក្នុងរូបទីប្រាំពីរ អនុគមន៍យកតម្លៃធំបំផុត (អតិបរមា y) នៅចំណុចស្ថានីជាមួយ abscissa x=1 ហើយតម្លៃតូចបំផុត (min y) ត្រូវបានឈានដល់នៅព្រំដែនខាងស្តាំនៃចន្លោះពេល។ នៅ​ដក​គ្មាន​កំណត់ តម្លៃ​នៃ​អនុគមន៍​ទៅ​ជិត y=3។

នៅចន្លោះពេល មុខងារមិនឈានដល់តម្លៃតូចបំផុត ឬតម្លៃធំបំផុតនោះទេ។ ដោយសារ x=2 ទំនោរទៅខាងស្ដាំ តម្លៃអនុគមន៍មានទំនោរទៅជាដកគ្មានដែនកំណត់ (បន្ទាត់ត្រង់ x=2 គឺជា asymptote បញ្ឈរ) ហើយដូចដែល abscissa ទំនោរទៅបូកនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់ តម្លៃនៃមុខងារគឺចូលទៅជិត y=3 . រូបភាពក្រាហ្វិកនៃឧទាហរណ៍នេះត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 8 ។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារបន្តមួយនៅលើផ្នែក។

យើងសរសេរក្បួនដោះស្រាយដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកមួយ។

1. យើងរកឃើញដែននៃមុខងារ ហើយពិនិត្យមើលថាតើវាមានផ្នែកទាំងមូលឬអត់។
2. យើងរកឃើញចំណុចទាំងអស់ដែលដេរីវេទី 1 មិនមាន ហើយដែលមាននៅក្នុងផ្នែក (ជាធម្មតាចំនុចបែបនេះកើតឡើងនៅក្នុងមុខងារដែលមានអាគុយម៉ង់នៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល និងនៅក្នុងអនុគមន៍ថាមពលជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគ)។ បើ​គ្មាន​ចំណុច​បែប​នេះ​ទេ សូម​ទៅ​ចំណុច​បន្ទាប់។
3. យើងកំណត់ចំណុចស្ថានីទាំងអស់ដែលធ្លាក់ចូលទៅក្នុងផ្នែក។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងយកវាទៅសូន្យ ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល ហើយជ្រើសរើសឫសដែលសមស្រប។ ប្រសិនបើ​គ្មាន​ចំណុច​នៅ​ស្ថានី ឬ​គ្មាន​ចំណុច​ណាមួយ​ធ្លាក់​ក្នុង​ផ្នែក​នោះ សូម​ទៅ​ជំហាន​បន្ទាប់។
4. យើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំនុចស្ថានីដែលបានជ្រើសរើស (ប្រសិនបើមាន) នៅចំណុចដែលដេរីវេទី 1 មិនមាន (ប្រសិនបើមាន) ហើយក៏នៅ x=a និង x=b ផងដែរ។
5. ពីតម្លៃដែលទទួលបាននៃមុខងារ យើងជ្រើសរើសធំបំផុត និងតូចបំផុត - ពួកគេនឹងក្លាយជាតម្លៃអតិបរមាដែលចង់បាន និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍រៀងគ្នា។

ចូរយើងវិភាគក្បួនដោះស្រាយនៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍សម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកមួយ។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារមួយ។

• នៅលើផ្នែក;
• នៅចន្លោះពេល [-4;-1] ។

ដំណោះស្រាយ។

ដែននៃអនុគមន៍ គឺជាសំណុំនៃចំនួនពិតទាំងអស់ លើកលែងតែលេខសូន្យ ពោលគឺ . ផ្នែកទាំងពីរស្ថិតនៅក្នុងដែននៃនិយមន័យ។

យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារទាក់ទងនឹង៖

ជាក់ស្តែង ដេរីវេនៃអនុគមន៍មាននៅគ្រប់ចំណុចនៃផ្នែក និង [-4;-1] ។

ចំនុចស្ថានីត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ។ ឫសពិតតែមួយគត់គឺ x=2 ។ ចំណុចស្ថានីនេះធ្លាក់ចូលទៅក្នុងផ្នែកទីមួយ។

សម្រាប់ករណីទីមួយ យើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចុងផ្នែក និងនៅចំណុចស្ថានី នោះគឺសម្រាប់ x=1 , x=2 និង x=4 :

ដូច្នេះតម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារ ត្រូវបានឈានដល់ x = 1 ហើយតម្លៃតូចបំផុត។ - នៅ x = 2 ។

សម្រាប់ករណីទីពីរ យើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍តែនៅខាងចុងនៃផ្នែក [-4;-1] (ចាប់តាំងពីវាមិនមានចំនុចស្ថានីតែមួយ)៖

ដំណោះស្រាយ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងវិសាលភាពនៃមុខងារ។ trinomial ការេនៅក្នុងភាគបែងនៃប្រភាគមិនត្រូវបាត់ឡើយ៖

វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលថាចន្លោះពេលទាំងអស់ពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដែននៃមុខងារ។

តោះបែងចែកមុខងារ៖

ជាក់ស្តែង ដេរីវេមាននៅលើដែនទាំងមូលនៃមុខងារ។

ចូរយើងស្វែងរកចំណុចនៅស្ថានី។ ដេរីវេបានបាត់នៅ។ ចំណុចស្ថានីនេះធ្លាក់ក្នុងចន្លោះពេល (-3;1] និង (-3;2) ។

ហើយឥឡូវនេះអ្នកអាចប្រៀបធៀបលទ្ធផលដែលទទួលបាននៅចំណុចនីមួយៗជាមួយនឹងក្រាហ្វនៃមុខងារ។ បន្ទាត់ចំនុចពណ៌ខៀវបង្ហាញពី asymtotes ។

នេះអាចបញ្ចប់ដោយការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារ។ ក្បួនដោះស្រាយដែលបានពិភាក្សានៅក្នុងអត្ថបទនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានលទ្ធផលជាមួយនឹងសកម្មភាពអប្បបរមា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វាអាចមានប្រយោជន៍ក្នុងការកំណត់ចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងការថយចុះនៃមុខងារជាដំបូង ហើយបន្ទាប់ពីនោះទាញការសន្និដ្ឋានអំពីតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារនៅចន្លោះពេលណាមួយ។ នេះផ្តល់នូវរូបភាពកាន់តែច្បាស់ និងការបញ្ជាក់យ៉ាងម៉ត់ចត់នៃលទ្ធផល។

និយមន័យ. ប្រសិនបើមុខងារ f(x) ត្រូវបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល [ ក, ខ] គឺបន្តនៅគ្រប់ចំណុចនៃចន្លោះពេល ( ក, ខ), នៅចំណុច កបន្តនៅខាងស្តាំនៅចំណុចមួយ។ ខគឺបន្តនៅខាងឆ្វេង បន្ទាប់មកយើងនិយាយថាមុខងារ f(x) បន្តនៅលើផ្នែក [ក, ខ].

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតមុខងារ f(x) គឺបន្តនៅលើផ្នែក [ ក, ខ] ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌបីត្រូវបានបំពេញ៖

1) "x 0 Î( ក, ខ): f(x) = f(x 0);

2) f(x) = f(ក);

3) f(x) = f(ខ).

សម្រាប់មុខងារដែលបន្តនៅចន្លោះពេលមួយ យើងពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួន ដែលយើងបង្កើតជាទម្រង់នៃទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមដោយគ្មានភស្តុតាង។

ទ្រឹស្តីបទ ១. ប្រសិនបើមុខងារ f(x) គឺបន្តនៅលើផ្នែក [ ក, ខ] បន្ទាប់មកវាឈានដល់ទំហំតូចបំផុត និងតម្លៃធំបំផុតរបស់វានៅលើផ្នែកនេះ។

ទ្រឹស្តីបទនេះចែងថា (រូប ១.១៥) ថានៅចន្លោះ [ ក, ខ] មានចំណុចបែបនេះ x 1 នោះ។ f(x 1) £ f(x) សម្រាប់ណាមួយ។ xពី [ ក, ខ] ហើយថាមានចំណុចមួយ។ x 2 (x 2 អូ[ ក, ខ]) បែបនេះ " xÎ[ ក, ខ] (f(x 2) ³ f(x)).

អត្ថន័យ f(x 1) គឺធំបំផុតសម្រាប់មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើ [ ក, ខ], ក f(x 2) - តូចបំផុត។ បញ្ជាក់៖ f(x 1) = ម, f(x 2) =ម. ចាប់តាំងពី f(x) វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖ " xÎ[ ក, ខ] ម£ f(x) £ មបន្ទាប់មកយើងទទួលបានកូរ៉ូឡារីខាងក្រោមពីទ្រឹស្តីបទទី១។

ផលវិបាក. ប្រសិនបើមុខងារ f(x) គឺបន្តនៅលើផ្នែកមួយ បន្ទាប់មកវាត្រូវបានចងនៅលើផ្នែកនេះ។

ទ្រឹស្តីបទ ២. ប្រសិនបើមុខងារ f(x) គឺបន្តនៅលើផ្នែក [ ក, ខ] ហើយយកតម្លៃនៃសញ្ញាផ្សេងគ្នានៅចុងផ្នែក បន្ទាប់មកមានចំណុចខាងក្នុងបែបនេះ x 0 ផ្នែក [ ក, ខ] ដែលមុខងារប្រែទៅជា 0, i.e. $ x 0 Î ( ក, ខ) (f(x 0) = 0).

ទ្រឹស្តីបទនេះចែងថាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយ។ y=f(x), បន្តនៅលើផ្នែក [ ក, ខ] ឆ្លងកាត់អ័ក្ស គោយ៉ាងហោចណាស់ម្តងប្រសិនបើតម្លៃ f(ក) និង f(ខ) មានសញ្ញាផ្ទុយ។ ដូច្នេះ (រូបភាព ១.១៦) f(ក) > 0, f(ខ) < 0 и функция f(x) បាត់នៅចំណុច x 1 , x 2 , x 3 .

ទ្រឹស្តីបទ ៣. អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ f(x) គឺបន្តនៅលើផ្នែក [ ក, ខ], f(ក) = ក, f(ខ) = ខនិង ក¹ ខ. (រូបភាព 1.17) ។ បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខណាមួយ។ គ, បានបញ្ចប់រវាងលេខ កនិង ខមានចំណុចខាងក្នុងបែបនេះ x 0 ផ្នែក [ ក, ខ] អ្វី f(x 0) = គ.

ផលវិបាក. ប្រសិនបើមុខងារ f(x) គឺបន្តនៅលើផ្នែក [ ក, ខ], ម- តម្លៃតូចបំផុត។ f(x), ម- តម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារ f(x) នៅលើផ្នែក [ ក, ខ] បន្ទាប់មកអនុគមន៍យក (យ៉ាងហោចណាស់ម្តង) តម្លៃណាមួយ។ មរវាង មនិង មដូច្នេះហើយផ្នែក [ m, M] គឺជាសំណុំនៃតម្លៃទាំងអស់នៃអនុគមន៍ f(x) នៅលើផ្នែក [ ក, ខ].

ចំណាំថាប្រសិនបើមុខងារបន្តនៅចន្លោះពេល ( ក, ខ) ឬមាននៅលើផ្នែក [ ក, ខ] នៃចំណុចមិនបន្តបន្ទាប់ ទ្រឹស្តីបទ 1, 2, 3 ឈប់ជាការពិតសម្រាប់មុខងារបែបនេះ។

សរុបសេចក្តី សូមពិចារណាទ្រឹស្តីបទស្តីពីអត្ថិភាពនៃអនុគមន៍បញ្ច្រាសមួយ។

សូមចាំថាចន្លោះពេលគឺជាផ្នែក ចន្លោះពេល ឬចន្លោះពេលពាក់កណ្តាលកំណត់ ឬគ្មានកំណត់។

ទ្រឹស្តីបទ ៤. អនុញ្ញាតឱ្យ f(x) គឺបន្តនៅចន្លោះពេល Xកើនឡើង (ឬថយចុះ) ដោយ Xនិងមានជួរតម្លៃ យ. បន្ទាប់មកសម្រាប់មុខងារ y=f(x) មានមុខងារបញ្ច្រាស x= j(y) កំណត់នៅលើចន្លោះពេល យបន្តនិងបង្កើន (ឬថយចុះ) លើ យជាមួយនឹងអត្ថន័យជាច្រើន។ X.

មតិយោបល់. អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ x= j(y) គឺបញ្ច្រាសសម្រាប់មុខងារ f(x) ចាប់តាំងពីអាគុយម៉ង់ជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយ xនិងមុខងារតាមរយៈ yបន្ទាប់មកយើងសរសេរអនុគមន៍ច្រាសជា y=j(x).

ឧទាហរណ៍ ១. មុខងារ y=x 2 (រូបភព 1.8, ក) នៅលើសំណុំ X= ប្រសិន​បើ​វា​បន្ត​នៅ​ចន្លោះ​ពេល (a , b) បន្ត​នៅ​ខាង​ស្ដាំ​ត្រង់​ចំណុច a និង​បន្ត​នៅ​ខាង​ឆ្វេង​ត្រង់​ចំណុច b ។

មុខងារត្រូវបានគេហៅថា បន្តនៅលើផ្នែកប្រសិនបើវាបន្តក្នុងចន្លោះពេលបន្តនៅខាងស្តាំនៅចំណុចនោះគឺ និងបន្តនៅខាងឆ្វេងនៅចំណុចនោះគឺជា។

មតិយោបល់។មុខងារបន្តនៅលើផ្នែក [ a , b ] អាចមិនបន្តនៅចំណុច a និង b (រូបភាព 1)

សំណុំនៃមុខងារដែលបន្តនៅលើផ្នែក [a, b] ត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា C[a, b] ។

ទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានលើមុខងារបន្តនៅចន្លោះពេល។

ទ្រឹស្តីបទ ១(នៅលើព្រំដែននៃមុខងារបន្តមួយ) ។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ f (x) បន្តនៅលើផ្នែក [a, b] នោះវាត្រូវបានចងនៅលើផ្នែកនេះ i.e. មានលេខ C > 0 ដែល " x 0 [ a , b ] វិសមភាព | f (x)| ≤ C ។

ទ្រឹស្តីបទ ២(Weierstrass) ។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ f (x) បន្តនៅលើផ្នែក [a, b] នោះវាឈានដល់តម្លៃអតិបរមា M និងតម្លៃអប្បបរមារបស់វា m នៅចន្លោះពេលនេះ i.e. មានចំនុច α , β О [ a , b ] ដូចជា m = f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) = M សម្រាប់ x О [ a , b ] (រូបភាព 2) ។

តម្លៃធំបំផុតនៃ M ត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា max x អំពី [a, b] f (x) ហើយតម្លៃតូចបំផុតនៃ m គឺជានិមិត្តសញ្ញា min x អំពី [a, b] f(x)
ទ្រឹស្តីបទ ៣(នៅលើអត្ថិភាពនៃសូន្យ) ។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ f (x) បន្តនៅលើផ្នែក [ a , b ] ហើយយកតម្លៃមិនមែនសូន្យនៃសញ្ញាផ្សេងគ្នានៅចុងផ្នែក នោះចន្លោះពេល (a , b) យ៉ាងហោចណាស់មានចំណុចមួយ ξ ដែល f (ξ) = 0 ។
អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃទ្រឹស្តីបទគឺថាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទនឹងចាំបាច់ប្រសព្វអ័ក្ស OX(រូបទី 3) ។

មតិយោបល់។ទ្រឹស្តីបទនេះគឺជាមូលដ្ឋានសម្រាប់វិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយប្រហាក់ប្រហែលនៃសមីការ

f(x) = 0,

(1)

ហៅថាវិធីសាស្ត្រ bisection (dichotomy) ឬវិធីសាស្ត្រ bisection ។

ទ្រឹស្តីបទ ៤(Bolzano-Cauchy) ។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ f (x) បន្តនៅលើចន្លោះពេល [a, b] នោះវាត្រូវចំណាយពេលលើ (a, b) តម្លៃមធ្យមទាំងអស់រវាង f (a) និង f (b) ។
អត្ថិភាពនៃមុខងារបញ្ច្រាសបន្ត
អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y = f (x) ត្រូវបានកំណត់ជា monotonic យ៉ាងតឹងរឹង និងបន្តនៅលើផ្នែក [a, b] ។ បន្ទាប់មកនៅចន្លោះពេល [ α , β ] (α = f (a), β = f (b)) មានអនុគមន៍ច្រាស x = g (y) ដែលជាម៉ូណូតូនិចយ៉ាងតឹងរ៉ឹង និងបន្តនៅចន្លោះពេល (α , β )

និយមន័យ 4. មុខងារមួយត្រូវបានគេហៅថាបន្តនៅលើផ្នែកមួយប្រសិនបើវាបន្តនៅគ្រប់ចំណុចនៃផ្នែកនេះ (នៅចំណុច a វាបន្តនៅខាងស្តាំ ពោលគឺ ហើយនៅចំណុច b វាបន្តនៅខាងឆ្វេង ឧ)។

មុខងារបឋមមូលដ្ឋានទាំងអស់គឺបន្តនៅក្នុងដែននៃនិយមន័យរបស់វា។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារបន្តលើផ្នែកមួយ៖

• 1) ប្រសិនបើមុខងារបន្តនៅលើផ្នែកមួយ នោះវាត្រូវបានចងនៅលើផ្នែកនេះ (ទ្រឹស្តីបទ Weierstrass ដំបូង)។
• 2) ប្រសិនបើមុខងារបន្តនៅលើផ្នែកមួយ នោះនៅលើផ្នែកនេះវាឈានដល់តម្លៃអប្បបរមា និងតម្លៃអតិបរមារបស់វា (ទ្រឹស្តីបទ Weierstrass ទីពីរ) (សូមមើលរូបទី 2)។
• 3) ប្រសិនបើមុខងារបន្តនៅលើផ្នែកមួយ ហើយយកតម្លៃនៃសញ្ញាផ្សេងគ្នានៅចុងរបស់វា នោះយ៉ាងហោចណាស់មានចំនុចមួយនៅក្នុងផ្នែកនោះ (ទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Cauchy)។

ចំណុចបំបែកមុខងារ និងការចាត់ថ្នាក់របស់វា។

ផ្នែកចំណុចបន្តមុខងារ

ចំណុច​ដែល​លក្ខខណ្ឌ​បន្ត​មិន​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ចំណុច​មិន​បន្ត​នៃ​អនុគមន៍​នេះ។ ប្រសិនបើជាចំណុចមិនបន្តនៃអនុគមន៍ នោះយ៉ាងហោចណាស់លក្ខខណ្ឌមួយក្នុងចំណោមលក្ខខណ្ឌទាំងបីសម្រាប់ការបន្តនៃមុខងារដែលបានបញ្ជាក់ក្នុងនិយមន័យ 1, 2 មិនពេញចិត្តនៅក្នុងវា ពោលគឺ៖

1) អនុគមន៍​ត្រូវ​បាន​កំណត់​នៅ​ជុំវិញ​ចំណុច ប៉ុន្តែ​មិន​បាន​កំណត់​នៅ​ចំណុច​ខ្លួន​វា​ទេ។ ដូច្នេះមុខងារដែលបានពិចារណាក្នុងឧទាហរណ៍ទី 2 ក) មានការសម្រាកនៅចំណុចមួយ ដោយសារវាមិនត្រូវបានកំណត់នៅចំណុចនេះ។

2) មុខងារត្រូវបានកំណត់នៅចំណុចមួយនិងសង្កាត់របស់វាមានដែនកំណត់ម្ខាងហើយប៉ុន្តែវាមិនស្មើគ្នាទេ: . ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍ពីឧទាហរណ៍ 2 ខ) ត្រូវបានកំណត់នៅចំណុចមួយ និងសង្កាត់របស់វា ប៉ុន្តែចាប់តាំងពី ក។

3) អនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់នៅចំណុច និងជុំវិញរបស់វា មានដែនកំណត់ម្ខាង ហើយពួកវាស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក ប៉ុន្តែមិនស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រង់ចំណុច : . ឧទាហរណ៍មុខងារ។ នេះគឺជាចំណុចបំបែក៖ នៅចំណុចនេះ មុខងារត្រូវបានកំណត់ មានដែនកំណត់ម្ខាង និងស្មើគ្នាទៅវិញទៅមក ប៉ុន្តែ ឧ.

ចំណុចបំបែកមុខងារត្រូវបានចាត់ថ្នាក់ដូចខាងក្រោម។

និយមន័យ 5. ចំនុចមួយត្រូវបានគេហៅថាចំនុចមិនបន្តនៃប្រភេទទីមួយនៃអនុគមន៍ប្រសិនបើមានដែនកំណត់កំណត់ហើយនៅចំណុចនេះ ប៉ុន្តែវាមិនស្មើគ្នាទេ: . បន្ទាប់មកបរិមាណត្រូវបានគេហៅថាលោតនៃអនុគមន៍នៅចំណុច។

និយមន័យ ៦. ចំណុចមួយត្រូវបានគេហៅថាជាចំណុចនៃភាពមិនដំណើរការដែលអាចដកចេញបាននៃអនុគមន៍ ប្រសិនបើនៅចំណុចនេះមានដែនកំណត់កំណត់ ហើយពួកវាស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក៖ ប៉ុន្តែមុខងារខ្លួនវាមិនត្រូវបានកំណត់នៅចំណុច ឬត្រូវបានកំណត់ ប៉ុន្តែ។

និយមន័យ 7. ចំណុចមួយត្រូវបានគេហៅថាចំណុចមិនបន្តនៃប្រភេទទីពីរនៃអនុគមន៍ ប្រសិនបើនៅចំណុចនេះយ៉ាងហោចណាស់មួយនៃដែនកំណត់ម្ខាង (ឬ) មិនមាន ឬស្មើនឹងគ្មានកំណត់។

ឧទាហរណ៍ 3. ស្វែងរកចំណុចបំបែកនៃមុខងារខាងក្រោម ហើយកំណត់ប្រភេទរបស់វា៖ ក) ខ)

ដំណោះស្រាយ។ ក) មុខងារត្រូវបានកំណត់ និងបន្តនៅលើចន្លោះពេល u ចាប់តាំងពីចន្លោះពេលនីមួយៗទាំងនេះត្រូវបានផ្តល់ដោយអនុគមន៍បឋមបន្ត។ ដូច្នេះ ចំនុចបំបែកនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យអាចជាចំណុចទាំងនោះដែលមុខងារផ្លាស់ប្តូរការចាត់តាំងវិភាគរបស់វា ពោលគឺឧ។ ពិន្ទុ i. ចូរយើងស្វែងរកដែនកំណត់ម្ខាងនៃមុខងារនៅចំណុច៖

ដោយសារដែនកំណត់ម្ខាងមាន ហើយមានកំណត់ ប៉ុន្តែមិនស្មើគ្នា ចំណុចនោះគឺជាចំណុចមិនបន្តនៃប្រភេទទីមួយ។ មុខងារលោត៖

សម្រាប់ចំណុចមួយដែលយើងរកឃើញ។

ការបន្តនៃមុខងារបឋម

ទ្រឹស្តីបទបន្តសម្រាប់អនុគមន៍ធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់ដែលត្រូវគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ។ផលបូក ផលិតផល និងគុណតម្លៃនៃអនុគមន៍បន្តពីរគឺជាអនុគមន៍បន្ត (សម្រាប់គុណតម្លៃ លើកលែងតែតម្លៃទាំងនោះនៃអាគុយម៉ង់ដែលផ្នែកចែកជាសូន្យ)។

ទ្រឹស្តីបទ។អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ យូ= φ (x) គឺបន្តនៅចំណុច X 0 និងមុខងារ y = f(យូ) គឺបន្តនៅចំណុច យូ 0 = φ (X 0). បន្ទាប់មក មុខងារស្មុគស្មាញ f(φ (x)) ដែលមានមុខងារបន្តគឺបន្តនៅចំណុច x 0 .

ទ្រឹស្តីបទ។ប្រសិនបើមុខងារ នៅ = f(X) គឺ​ជា​សំឡេង​ឯកតា​បន្ត​និង​តឹងរ៉ឹង​លើ [ ក; ខ] អ័ក្ស អូបន្ទាប់មកមុខងារបញ្ច្រាស នៅ = φ (X) ក៏បន្ត និងឯកតានៅលើចន្លោះពេលដែលត្រូវគ្នា [ គ;ឃ] អ័ក្ស អូ(គ្មានភស្តុតាង) ។

មុខងារបន្តនៅលើចន្លោះពេលមានលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗមួយចំនួន។ យើងបង្កើតវាតាមទម្រង់ទ្រឹស្តីបទ ដោយមិនផ្តល់ភស្តុតាង។

ទ្រឹស្តីបទ (Weierstrass). ប្រសិនបើមុខងារបន្តនៅលើផ្នែកមួយ នោះវាឈានដល់តម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមារបស់វានៅលើផ្នែកនេះ។

មុខងារបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 5 នៅ = f(x) គឺបន្តនៅលើផ្នែក [ ក; ខ] យកតម្លៃអតិបរមារបស់វា។ មនៅចំណុច x 1 និងតិចបំផុត។ ម-នៅចំណុច X២. សម្រាប់នរណាម្នាក់ X [ក; ខ] ម ≤ f(x) ≤ ម.

ផលវិបាក។ប្រសិនបើមុខងារបន្តនៅចន្លោះពេលមួយ នោះវាត្រូវបានចងនៅចន្លោះពេលនេះ។

ទ្រឹស្តីបទ (Bolzano - Cauchy) ។ប្រសិនបើមុខងារ នៅ= f(x) គឺបន្តនៅលើផ្នែក [ ក; ខ] ហើយយកតម្លៃមិនស្មើគ្នានៅចុងរបស់វា។ f(ក) = កនិង f(ខ) = =INបន្ទាប់មកនៅលើផ្នែកនេះ វាក៏ត្រូវចំណាយពេលលើតម្លៃមធ្យមទាំងអស់រវាង កនិង IN.

តាមធរណីមាត្រ ទ្រឹស្តីបទគឺជាក់ស្តែង (សូមមើលរូបទី ៦)។

សម្រាប់លេខណាមួយ។ ជាមួយបានបញ្ចប់រវាង កនិង IN, មានចំណុចមួយ។ ជាមួយនៅខាងក្នុងផ្នែកនេះ។ f(ជាមួយ) = ជាមួយ. ត្រង់ នៅ = ជាមួយប្រសព្វក្រាហ្វនៃអនុគមន៍យ៉ាងហោចណាស់នៅចំណុចមួយ។

ផលវិបាក។ប្រសិនបើមុខងារ នៅ = f(x) គឺបន្តនៅលើផ្នែក [ ក; ខ] ហើយយកតម្លៃនៃសញ្ញាផ្សេងគ្នានៅចុងរបស់វា បន្ទាប់មកនៅខាងក្នុងផ្នែក [ ក; ខ] យ៉ាងហោចណាស់មានចំណុចមួយ។ ជាមួយដែលនៅក្នុងមុខងារនេះ។ f(x) បាត់៖ f(ជាមួយ) = 0.

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃទ្រឹស្តីបទ៖ ប្រសិនបើក្រាហ្វនៃអនុគមន៍បន្តឆ្លងកាត់ពីផ្នែកម្ខាងនៃអ័ក្ស អូទៅមួយទៀត បន្ទាប់មកវាឆ្លងកាត់អ័ក្ស គោ(សូមមើលរូបភាពទី 7) ។

អង្ករ។ ៧.