ബഹുപദങ്ങളെ സാധാരണ രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കാൻ ഞങ്ങൾ പഠിക്കുന്നു. ബഹുപദങ്ങൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലുള്ള ഒരു ബഹുപദം എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്?

ഈ പാഠത്തിൽ, ഈ വിഷയത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കുകയും ചില സാധാരണ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യും, അതായത്, ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുകയും വേരിയബിളുകളുടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങൾക്കായി ഒരു സംഖ്യാ മൂല്യം കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. വിവിധ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിലേക്കുള്ള കുറയ്ക്കൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കും.

വിഷയം:ബഹുപദങ്ങൾ. മോണോമിയലുകളിലെ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ

പാഠം:ഒരു പോളിനോമിയലിനെ സാധാരണ രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു. സാധാരണ ജോലികൾ

നമുക്ക് അടിസ്ഥാന നിർവചനം ഓർമ്മിക്കാം: ഒരു ബഹുപദം എന്നത് മോണോമിയലുകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്. ഒരു പദമായി ഒരു പോളിനോമിയലിന്റെ ഭാഗമായ ഓരോ മോണോമിയലും അതിന്റെ അംഗം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്:

ബൈനോമിയൽ;

പോളിനോമിയൽ;

ബൈനോമിയൽ;

ഒരു പോളിനോമിയലിൽ മോണോമിയലുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതിനാൽ, ഒരു പോളിനോമിയലുമായുള്ള ആദ്യ പ്രവർത്തനം ഇവിടെ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു - നിങ്ങൾ എല്ലാ മോണോമിയലുകളെയും ഒരു സാധാരണ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന് നിങ്ങൾ എല്ലാ സംഖ്യാ ഘടകങ്ങളും ഗുണിക്കണമെന്ന് ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കാം - ഒരു സംഖ്യാ ഗുണകം നേടുക, അനുബന്ധ ശക്തികൾ ഗുണിക്കുക - അക്ഷരത്തിന്റെ ഭാഗം നേടുക. കൂടാതെ, ശക്തികളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തത്തിലേക്ക് നമുക്ക് ശ്രദ്ധ നൽകാം: ശക്തികളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ ഘാതങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു.

നമുക്ക് ഒരു പ്രധാന പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കാം - ഒരു പോളിനോമിയലിനെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുക. ഉദാഹരണം:

അഭിപ്രായം: ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ, നിങ്ങൾ അതിന്റെ കോമ്പോസിഷനിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ മോണോമിയലുകളും ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരേണ്ടതുണ്ട്, അതിനുശേഷം സമാന മോണോമിയലുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ - ഇവ ഒരേ അക്ഷര ഭാഗമുള്ള മോണോമിയലുകളാണ് - അവ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുക .

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തെ സാധാരണ പ്രശ്നം നോക്കി - ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഒരു സാധാരണ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു.

അതിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന വേരിയബിളുകളുടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങൾക്കായി ഒരു പോളിനോമിയലിന്റെ നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നതാണ് അടുത്ത സാധാരണ പ്രശ്നം. നമുക്ക് മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണം നോക്കുന്നത് തുടരാം, വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ സജ്ജമാക്കുക:

അഭിപ്രായം: ഏതെങ്കിലും പ്രകൃതിശക്തിയിലേക്കുള്ള ഒന്ന് ഒന്നിന് തുല്യമാണെന്നും ഏതെങ്കിലും പ്രകൃതിശക്തിക്ക് പൂജ്യം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്നും നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം, കൂടാതെ, ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയെ പൂജ്യത്താൽ ഗുണിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് പൂജ്യം ലഭിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു.

ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഒരു സാധാരണ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നതിനും അതിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നതിനുമുള്ള സാധാരണ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

ഉദാഹരണം 1 - സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക:

അഭിപ്രായം: മോണോമിയലുകൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക എന്നതാണ് ആദ്യപടി, നിങ്ങൾ ഒന്നാമത്തേതും രണ്ടാമത്തേതും ആറാമത്തെതും കൊണ്ടുവരേണ്ടതുണ്ട്; രണ്ടാമത്തെ പ്രവർത്തനം - ഞങ്ങൾ സമാന പദങ്ങൾ കൊണ്ടുവരുന്നു, അതായത്, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ അവയിൽ ചെയ്യുന്നു: ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തേത് അഞ്ചാമത്തേത്, രണ്ടാമത്തേത് മൂന്നാമത്തേത് ചേർക്കുന്നു, ബാക്കിയുള്ളവ മാറ്റങ്ങളില്ലാതെ വീണ്ടും എഴുതുന്നു, കാരണം അവയ്ക്ക് സമാനതകളൊന്നുമില്ല.

ഉദാഹരണം 2 - വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നൽകിയ ഉദാഹരണം 1 ൽ നിന്ന് പോളിനോമിയലിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക:

അഭിപ്രായം: കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഒരു യൂണിറ്റ് ഒന്നാണെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കണം; രണ്ടിന്റെ ശക്തികൾ കണക്കാക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ശക്തികളുടെ പട്ടിക ഉപയോഗിക്കാം.

ഉദാഹരണം 3 - ഒരു നക്ഷത്രചിഹ്നത്തിന് പകരം, ഫലത്തിൽ ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത തരത്തിൽ ഒരു മോണോമിയൽ ഇടുക:

അഭിപ്രായം: ചുമതല പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ, ആദ്യ പ്രവർത്തനം എല്ലായ്പ്പോഴും സമാനമാണ് - പോളിനോമിയലിനെ ഒരു സാധാരണ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഈ പ്രവർത്തനം സമാന നിബന്ധനകൾ കൊണ്ടുവരുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു. ഇതിനുശേഷം, നിങ്ങൾ വീണ്ടും അവസ്ഥ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുകയും മോണോമിയലിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ രക്ഷപ്പെടാമെന്ന് ചിന്തിക്കുകയും വേണം. വ്യക്തമായും, ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അതിലേക്ക് അതേ മോണോമിയൽ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്, പക്ഷേ വിപരീത ചിഹ്നത്തോടെ - . അടുത്തതായി, ഈ മോണോമിയൽ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ നക്ഷത്രചിഹ്നം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും ഞങ്ങളുടെ പരിഹാരം ശരിയാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

നിർവ്വചനം 3.3. മോണോമിയൽ സ്വാഭാവിക ഘാതം ഉള്ള സംഖ്യകൾ, വേരിയബിളുകൾ, ശക്തികൾ എന്നിവയുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഓരോ പദപ്രയോഗങ്ങളും,
,
ഒരു മോണോമിയൽ ആണ്.

മോണോമിയൽ ഉണ്ടെന്ന് അവർ പറയുന്നു സാധാരണ കാഴ്ച , അതിൽ ആദ്യം ഒരു സംഖ്യാ ഘടകം മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ എങ്കിൽ, അതിൽ സമാനമായ വേരിയബിളുകളുടെ ഓരോ ഉൽപ്പന്നവും ഒരു ഡിഗ്രി കൊണ്ട് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിൽ എഴുതിയ ഒരു മോണോമിയലിന്റെ സംഖ്യാ ഘടകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു മോണോമിയലിന്റെ ഗുണകം . മോണോമിയലിന്റെ ശക്തിയാൽ അതിന്റെ എല്ലാ വേരിയബിളുകളുടെയും എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുടെ ആകെത്തുക എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 3.4. ബഹുപദം മോണോമിയലുകളുടെ ആകെത്തുക എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ബഹുപദം രചിക്കപ്പെട്ട മോണോമിയലുകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നുബഹുപദത്തിലെ അംഗങ്ങൾ .

സമാനമായ പദങ്ങൾ - ഒരു ബഹുപദത്തിലെ മോണോമിയലുകൾ - വിളിക്കുന്നു ബഹുപദത്തിന്റെ സമാന പദങ്ങൾ .

നിർവ്വചനം 3.5. ബഹുപദം സാധാരണ കാഴ്ച എല്ലാ പദങ്ങളും സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിൽ എഴുതുകയും സമാന പദങ്ങൾ നൽകുകയും ചെയ്യുന്ന ഒരു ബഹുപദം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിന്റെ ബഹുപദത്തിന്റെ ബിരുദം അതിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന മോണോമിയലുകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ ശക്തി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, നാലാം ഡിഗ്രിയുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിന്റെ ഒരു ബഹുപദമാണ്.

മോണോമിയലുകളിലും പോളിനോമിയലുകളിലും ഉള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ

പോളിനോമിയലുകളുടെ ആകെത്തുകയും വ്യത്യാസവും സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിന്റെ ഒരു ബഹുപദമായി പരിവർത്തനം ചെയ്യാവുന്നതാണ്. രണ്ട് പോളിനോമിയലുകൾ ചേർക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും എഴുതുകയും സമാന പദങ്ങൾ നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു. കുറയ്ക്കുമ്പോൾ, കുറയ്ക്കുന്ന പോളിനോമിയലിന്റെ എല്ലാ പദങ്ങളുടെയും അടയാളങ്ങൾ വിപരീതമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്:

ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ നിബന്ധനകൾ ഗ്രൂപ്പുകളായി വിഭജിച്ച് പരാൻതീസിസിൽ ഉൾപ്പെടുത്താം. ഇത് പരാൻതീസിസിന്റെ ഓപ്പണിംഗിന്റെ വിപരീതമായ ഒരു പരിവർത്തനമായതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്നവ സ്ഥാപിക്കപ്പെടുന്നു ബ്രാക്കറ്റിംഗ് നിയമം: ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് മുമ്പായി ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നം സ്ഥാപിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ നിബന്ധനകളും അവയുടെ അടയാളങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എഴുതപ്പെടും; ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് മുമ്പായി ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം സ്ഥാപിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ നിബന്ധനകളും വിപരീത ചിഹ്നങ്ങളാൽ എഴുതപ്പെടും.

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഒരു ബഹുപദം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം: ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഒരു പോളിനോമിയൽ കൊണ്ട് ഗുണിക്കാൻ, ഒരു പോളിനോമിയലിന്റെ ഓരോ പദത്തെയും മറ്റൊരു പോളിനോമിയലിന്റെ ഓരോ പദവും കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ചേർത്താൽ മതി.

ഉദാഹരണത്തിന്,

നിർവ്വചനം 3.6. ഒരു വേരിയബിളിൽ പോളിനോമിയൽ ഡിഗ്രികൾ രൂപത്തിന്റെ ഒരു ആവിഷ്കാരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു

എവിടെ
- വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഏതെങ്കിലും നമ്പറുകൾ ബഹുപദ ഗുണകങ്ങൾ , ഒപ്പം
,- നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യ.

എങ്കിൽ
, പിന്നെ ഗുണകം വിളിച്ചു ബഹുപദത്തിന്റെ മുൻനിര ഗുണകം
, മോണോമിയൽ
- അദ്ദേഹത്തിന്റെ മുതിര്ന്ന അംഗം , ഗുണകം – സ്വതന്ത്ര അംഗം .

ഒരു വേരിയബിളിന് പകരം ആണെങ്കിൽ ഒരു ബഹുപദത്തിലേക്ക്
യഥാർത്ഥ സംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക , അപ്പോൾ ഫലം ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയായിരിക്കും
എന്ന് വിളിക്കുന്നത് ബഹുപദത്തിന്റെ മൂല്യം
ചെയ്തത്
.

നിർവ്വചനം 3.7. നമ്പർ വിളിച്ചുബഹുപദത്തിന്റെ റൂട്ട്
, എങ്കിൽ
.

ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഒരു പോളിനോമിയൽ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് പരിഗണിക്കുക
ഒപ്പം - പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ. പോളിനോമിയൽ ഡിവിഡന്റ് ഡിഗ്രി ആണെങ്കിൽ ഡിവിഷൻ സാധ്യമാണ്
ഡിവിസർ പോളിനോമിയലിന്റെ ഡിഗ്രിയിൽ കുറവല്ല
, അതാണ്
.

ഒരു ബഹുപദം വിഭജിക്കുക
ഒരു ബഹുപദത്തിലേക്ക്
,
, അത്തരത്തിലുള്ള രണ്ട് ബഹുപദങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്
ഒപ്പം
, ലേക്ക്

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ബഹുപദം
ഡിഗ്രികൾ
വിളിച്ചു ബഹുപദ-ഘടകം ,
– ബാക്കി ,
.

പരാമർശം 3.2. വിഭജനം ആണെങ്കിൽ
–പൂജ്യം ബഹുപദമല്ല, പിന്നെ വിഭജനം
ഓൺ
,
, എല്ലായ്‌പ്പോഴും സാധ്യമാണ്, കൂടാതെ ഘടകവും ബാക്കിയും അദ്വിതീയമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

പരാമർശം 3.3. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ
എല്ലാവരുടെയും മുന്നിൽ , അതാണ്

അതൊരു ബഹുപദമാണെന്ന് അവർ പറയുന്നു
പൂർണ്ണമായും വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു(അല്ലെങ്കിൽ ഓഹരികൾ)ഒരു ബഹുപദത്തിലേക്ക്
.

ബഹുപദങ്ങളുടെ വിഭജനം ഒന്നിലധികം അക്ക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിന് സമാനമായി നടപ്പിലാക്കുന്നു: ആദ്യം, ഡിവിഡന്റ് പോളിനോമിയലിന്റെ മുൻനിര പദത്തെ ഡിവിസർ പോളിനോമിയലിന്റെ മുൻനിര പദത്താൽ ഹരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഈ പദങ്ങളുടെ വിഭജനത്തിൽ നിന്നുള്ള ഘടകാംശം ഘടക പോളിനോമിയലിന്റെ മുൻനിര പദത്തെ, ഡിവിസർ പോളിനോമിയൽ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നം ഡിവിഡന്റ് പോളിനോമിയലിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. തൽഫലമായി, ഒരു പോളിനോമിയൽ ലഭിക്കുന്നു - ആദ്യത്തെ അവശിഷ്ടം, അതിനെ ഡിവൈസർ പോളിനോമിയൽ സമാനമായ രീതിയിൽ ഹരിക്കുകയും ഘടക ബഹുപദത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ പദം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു. ഒരു പൂജ്യം ശേഷിക്കുന്നത് വരെ അല്ലെങ്കിൽ ബാക്കിയുള്ള പോളിനോമിയലിന്റെ ഡിഗ്രി ഡിവിസർ പോളിനോമിയലിന്റെ ഡിഗ്രിയേക്കാൾ കുറവാകുന്നതുവരെ ഈ പ്രക്രിയ തുടരുന്നു.

ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ബൈനോമിയൽ കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഹോർണറുടെ സ്കീം ഉപയോഗിക്കാം.

ഹോർണർ സ്കീം

നമുക്ക് ഒരു ബഹുപദം വിഭജിക്കണമെന്ന് കരുതുക

ബൈനാമിയാൽ
. വിഭജനത്തിന്റെ ഘടകത്തെ നമുക്ക് ഒരു ബഹുപദമായി സൂചിപ്പിക്കാം

ബാക്കി - . അർത്ഥം , ബഹുപദ ഗുണകങ്ങൾ
,
ബാക്കിയുള്ളവയും നമുക്ക് ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം:

ഈ സ്കീമിൽ, ഓരോ ഗുണകങ്ങളും
,
,
, …,സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ താഴെയുള്ള വരിയിലെ മുമ്പത്തെ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നു ആവശ്യമുള്ള ഗുണകത്തിന് മുകളിലുള്ള മുകളിലെ വരിയിൽ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫലത്തിലേക്ക് അനുബന്ധ നമ്പർ ചേർക്കുന്നു. ഏതെങ്കിലും ബിരുദം ഉണ്ടെങ്കിൽ പോളിനോമിയലിൽ ഇല്ല, അപ്പോൾ അനുബന്ധ ഗുണകം പൂജ്യമാണ്. തന്നിരിക്കുന്ന സ്കീമിന് അനുസൃതമായി ഗുണകങ്ങൾ നിർണ്ണയിച്ച ശേഷം, ഞങ്ങൾ ഘടകം എഴുതുന്നു

എങ്കിൽ വിഭജനത്തിന്റെ ഫലവും
,

അഥവാ ,

എങ്കിൽ
,

സിദ്ധാന്തം 3.1. കുറയ്ക്കാനാകാത്ത ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് വേണ്ടി (

,

)ബഹുപദത്തിന്റെ മൂലമായിരുന്നു
പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങളോടൊപ്പം, സംഖ്യ ആവശ്യമാണ് സ്വതന്ത്ര പദത്തിന്റെ വിഭജനമായിരുന്നു , ഒപ്പം നമ്പർ - മുൻനിര ഗുണകത്തിന്റെ വിഭജനം .

സിദ്ധാന്തം 3.2. (ബെസൗട്ടിന്റെ സിദ്ധാന്തം ) ബാക്കിയുള്ളത് ഒരു ബഹുപദത്തെ വിഭജിക്കുന്നതിൽ നിന്ന്
ബൈനാമിയാൽ
ബഹുപദത്തിന്റെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്
ചെയ്തത്
, അതാണ്
.

ഒരു ബഹുപദം വിഭജിക്കുമ്പോൾ
ബൈനാമിയാൽ
ഞങ്ങൾക്ക് സമത്വമുണ്ട്

ഇത് സത്യമാണ്, പ്രത്യേകിച്ചും, എപ്പോൾ
, അതാണ്
.

ഉദാഹരണം 3.2.വിഭജിക്കുക
.

പരിഹാരം.നമുക്ക് ഹോർണറുടെ സ്കീം പ്രയോഗിക്കാം:

അതിനാൽ,

ഉദാഹരണം 3.3.വിഭജിക്കുക
.

പരിഹാരം.നമുക്ക് ഹോർണറുടെ സ്കീം പ്രയോഗിക്കാം:

അതിനാൽ,

,

ഉദാഹരണം 3.4.വിഭജിക്കുക
.

പരിഹാരം.

അതിന്റെ ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

ഉദാഹരണം 3.5.വീതിക്കുക
ഓൺ
.

പരിഹാരം.നമുക്ക് പോളിനോമിയലുകൾ കോളം കൊണ്ട് ഹരിക്കാം:

അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും

.

രണ്ടോ അതിലധികമോ പോളിനോമിയലുകളുടെ തുല്യ ഉൽപ്പന്നമായി ഒരു പോളിനോമിയലിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് ചിലപ്പോൾ ഉപയോഗപ്രദമാണ്. അത്തരമൊരു സ്വത്വ പരിവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു ഒരു പോളിനോമിയൽ ഫാക്റ്ററിംഗ് . അത്തരം വിഘടനത്തിന്റെ പ്രധാന രീതികൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കൽ. ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് കോമൺ ഫാക്ടർ എടുത്ത് ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഫാക്ടർ ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യണം:

1) പൊതുവായ ഘടകം കണ്ടെത്തുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, പോളിനോമിയലിന്റെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, പോളിനോമിയലിന്റെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളുടെയും ഏറ്റവും വലിയ മൊഡ്യൂളോ കോമൺ ഡിവൈസർ പൊതു ഘടകത്തിന്റെ ഗുണകമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ പോളിനോമിയലിന്റെ എല്ലാ പദങ്ങളിലും ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഓരോ വേരിയബിളും ഏറ്റവും വലുത് ഉപയോഗിച്ച് എടുക്കുന്നു. ഈ ബഹുപദത്തിൽ അതിന്റെ ഘാതം;

2) നൽകിയിരിക്കുന്ന പോളിനോമിയലിനെ ഒരു പൊതു ഘടകം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന്റെ ഘടകം കണ്ടെത്തുക;

3) പൊതു ഘടകത്തിന്റെയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഘടകത്തിന്റെയും ഉൽപ്പന്നം എഴുതുക.

അംഗങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പിംഗ്. ഗ്രൂപ്പിംഗ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഫാക്‌ടർ ചെയ്യുമ്പോൾ, അതിന്റെ നിബന്ധനകൾ രണ്ടോ അതിലധികമോ ഗ്രൂപ്പുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു, അങ്ങനെ അവ ഓരോന്നും ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടും, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നങ്ങൾക്ക് ഒരു പൊതു ഘടകം ഉണ്ടായിരിക്കും. ഇതിനുശേഷം, പുതുതായി രൂപാന്തരപ്പെട്ട പദങ്ങളുടെ പൊതുവായ ഘടകം ബ്രാക്കറ്റുചെയ്യുന്ന രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ പ്രയോഗം. ബഹുപദം വിപുലീകരിക്കേണ്ട സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഘടകങ്ങളിലേക്ക്, ഏതെങ്കിലും ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ വലതുവശത്തെ രൂപമുണ്ട്; മറ്റൊരു ക്രമത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്ന അനുബന്ധ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് അതിന്റെ ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ കൈവരിക്കുന്നത്.

അനുവദിക്കുക

, എങ്കിൽ താഴെ പറയുന്നവ ശരിയാണ് ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ:

വേണ്ടി :
എങ്കിൽ വിചിത്രമായ ( ):
ന്യൂട്ടൺ ദ്വിപദം: എവിടെ - കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം എഴുതിയത് .

പുതിയ സഹായ അംഗങ്ങളുടെ ആമുഖം. രണ്ട് വിപരീത പദങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെയോ അല്ലെങ്കിൽ ഏതെങ്കിലും പദത്തിന് പകരം ഒരേ തുല്യമായ മോണോമിയലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഏതെങ്കിലും പദത്തെ മാറ്റി പകരം വയ്ക്കുന്നതിലൂടെയോ ഒരു പോളിനോമിയലിനെ അതിന് തുല്യമായ മറ്റൊരു പോളിനോമിയൽ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതാണ് ഈ രീതി. പദങ്ങളെ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുന്ന രീതി ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പോളിനോമിയലിൽ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയുന്ന തരത്തിലാണ് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത്.

ഉദാഹരണം 3.6..

പരിഹാരം.ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ എല്ലാ നിബന്ധനകളിലും ഒരു പൊതു ഘടകം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു
. അതിനാൽ,.

ഉത്തരം: .

ഉദാഹരണം 3.7.

പരിഹാരം.ഗുണകം അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന നിബന്ധനകൾ ഞങ്ങൾ പ്രത്യേകം ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുന്നു , അടങ്ങുന്ന നിബന്ധനകൾ . ഗ്രൂപ്പുകളുടെ പൊതുവായ ഘടകങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുത്താൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

.

ഉത്തരം:
.

ഉദാഹരണം 3.8.ഒരു ബഹുപദ ഘടകം
.

പരിഹാരം.ഉചിതമായ ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഉത്തരം: .

ഉദാഹരണം 3.9.ഒരു ബഹുപദ ഘടകം
.

പരിഹാരം.ഗ്രൂപ്പിംഗ് രീതിയും അനുബന്ധ ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യവും ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

.

ഉത്തരം: .

ഉദാഹരണം 3.10.ഒരു ബഹുപദ ഘടകം
.

പരിഹാരം.ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കും ഓൺ
, നിബന്ധനകൾ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുക, ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുക:

.

ഉത്തരം:
.

ഉദാഹരണം 3.11.ഒരു ബഹുപദ ഘടകം

പരിഹാരം.കാരണം,
,
, അത്

ഉദാഹരണത്തിന്, പദപ്രയോഗങ്ങൾ:

എ - ബി + സി, x 2 - വൈ 2 , 5x - 3വൈ - z- ബഹുപദങ്ങൾ.

ഒരു പോളിനോമിയൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന മോണോമിയലുകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു ബഹുപദത്തിലെ അംഗങ്ങൾ. ബഹുപദം പരിഗണിക്കുക:

7എ + 2ബി - 3സി - 11

പദപ്രയോഗങ്ങൾ: 7 എ, 2ബി, -3സി-11 എന്നിവ ബഹുപദത്തിന്റെ നിബന്ധനകളാണ്. -11 പദം ശ്രദ്ധിക്കുക. അതിൽ ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ല. നമ്പറുകൾ മാത്രമുള്ള അത്തരം അംഗങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു സൗ ജന്യം.

ഏതൊരു മോണോമിയലും ആണെന്ന് പൊതുവെ അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു പ്രത്യേക കേസ്ഒരു അംഗം അടങ്ങുന്ന ഒരു ബഹുപദം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു പദമുള്ള ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ പേരാണ് മോണോമിയൽ. രണ്ടും മൂന്നും പദങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന പോളിനോമിയലുകൾക്ക് പ്രത്യേക പേരുകളും ഉണ്ട് - യഥാക്രമം ബൈനോമിയലും ട്രൈനോമിയലും:

7എ- മോണോമിയൽ

7എ + 2ബി- ദ്വിപദം

7എ + 2ബി - 3സി- ട്രൈനോമിയൽ

സമാന അംഗങ്ങൾ

സമാന അംഗങ്ങൾ- ഒരു പോളിനോമിയലിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന മോണോമിയലുകൾ, ഗുണകം, ചിഹ്നം എന്നിവയാൽ മാത്രം പരസ്പരം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസമില്ലാത്തവ (എതിർവശത്തുള്ള മോണോമിയലുകളെ സമാനമായി വിളിക്കാം). ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ബഹുപദത്തിൽ:

3എ 2 ബി

+

5abc 2

+

2എ 2 ബി

-

7abc 2

-

2എ 2 ബി

അംഗങ്ങൾ 3 എ 2 ബി, 2എ 2 ബികൂടാതെ 2 എ 2 ബി, അതുപോലെ അംഗങ്ങൾ 5 abc 2 ഉം -7 ഉം abc 2 സമാന പദങ്ങളാണ്.

സമാന അംഗങ്ങളെ കൊണ്ടുവരുന്നു

ഒരു പോളിനോമിയലിൽ സമാനമായ പദങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, സമാന പദങ്ങൾ ഒന്നായി സംയോജിപ്പിച്ച് അതിനെ ലളിതമായ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാം. ഈ പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു സമാന അംഗങ്ങളെ കൊണ്ടുവരുന്നു. ഒന്നാമതായി, അത്തരം എല്ലാ നിബന്ധനകളും ബ്രാക്കറ്റിൽ വെവ്വേറെ ഇടാം:

(3എ 2 ബി + 2എ 2 ബി - 2എ 2 ബി) + (5abc 2 - 7abc 2)

സമാനമായ നിരവധി മോണോമിയലുകൾ ഒന്നായി സംയോജിപ്പിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അവയുടെ ഗുണകങ്ങൾ ചേർക്കുകയും അക്ഷര ഘടകങ്ങൾ മാറ്റാതെ വിടുകയും വേണം:

((3 + 2 - 2)എ 2 ബി) + ((5 - 7)abc 2) = (3എ 2 ബി) + (-2abc 2) = 3എ 2 ബി - 2abc 2

സമാന പദങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നത്, സമാനമായ നിരവധി മോണോമിയലുകളുടെ ബീജഗണിത തുകയെ ഒരു മോണോമിയൽ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്ന പ്രവർത്തനമാണ്.

സാധാരണ രൂപത്തിന്റെ ബഹുപദം

സാധാരണ രൂപത്തിന്റെ ബഹുപദംഒരു ബഹുപദമാണ്, അതിന്റെ എല്ലാ പദങ്ങളും സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലുള്ള മോണോമിയലുകളാണ്, അവയിൽ സമാനമായ പദങ്ങളൊന്നുമില്ല.

ഒരു പോളിനോമിയലിനെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ, സമാനമായ പദങ്ങൾ കുറച്ചാൽ മതി. ഉദാഹരണത്തിന്, പദപ്രയോഗത്തെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിന്റെ ബഹുപദമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുക:

3xy + x 3 - 2xy - വൈ + 2x 3

ആദ്യം, നമുക്ക് സമാനമായ പദങ്ങൾ കണ്ടെത്താം:

ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോം പോളിനോമിയലിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ഒരേ വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതിലെ അംഗങ്ങൾ സാധാരണയായി ഏറ്റവും വലിയത് മുതൽ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഡിഗ്രി വരെ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. പോളിനോമിയലിന്റെ സ്വതന്ത്ര പദം, ഒന്നുണ്ടെങ്കിൽ, അവസാന സ്ഥാനത്ത് - വലതുവശത്ത്.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ബഹുപദം

3x + x 3 - 2x 2 - 7

ഇങ്ങനെ എഴുതണം:

x 3 - 2x 2 + 3x - 7

മോണോമിയലുകളുടെ ആകെത്തുകയാണ് ബഹുപദം. ഒരു പോളിനോമിയലിന്റെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിൽ എഴുതുകയും (ഖണ്ഡിക 51 കാണുക) സമാനമായ പദങ്ങൾ കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്താൽ, നിങ്ങൾക്ക് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിന്റെ ഒരു ബഹുപദം ലഭിക്കും.

ഏതൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യാ പദപ്രയോഗവും സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിന്റെ ബഹുപദമായി പരിവർത്തനം ചെയ്യാവുന്നതാണ് - ഇതാണ് പൂർണ്ണസംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ പരിവർത്തനങ്ങളുടെ (ലളിതമാക്കലുകൾ) ലക്ഷ്യം.

ഒരു മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കേണ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

പരിഹാരം. ആദ്യം, നമുക്ക് ബഹുപദത്തിന്റെ നിബന്ധനകൾ സാധാരണ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാം. സമാന പദങ്ങൾ കൊണ്ടുവന്നതിന് ശേഷം, നമുക്ക് സാധാരണ രൂപത്തിന്റെ ഒരു ബഹുപദം ലഭിക്കും

പരിഹാരം. ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് മുന്നിൽ ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നമുണ്ടെങ്കിൽ, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ പദങ്ങളുടെയും അടയാളങ്ങൾ സംരക്ഷിച്ച് ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഒഴിവാക്കാവുന്നതാണ്. പരാൻതീസിസുകൾ തുറക്കുന്നതിന് ഈ നിയമം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

പരിഹാരം. പരാൻതീസിസിന് മുമ്പായി മൈനസ് ചിഹ്നമുണ്ടെങ്കിൽ, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ പദങ്ങളുടെയും അടയാളങ്ങൾ മാറ്റിക്കൊണ്ട് പരാൻതീസിസുകൾ ഒഴിവാക്കാവുന്നതാണ്. പരാൻതീസിസുകൾ മറയ്ക്കുന്നതിന് ഈ നിയമം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

പരിഹാരം. ഒരു മോണോമിയലിന്റെയും പോളിനോമിയലിന്റെയും ഉൽപ്പന്നം, വിതരണ നിയമം അനുസരിച്ച്, ഈ മോണോമിയലിന്റെയും പോളിനോമിയലിന്റെ ഓരോ അംഗത്തിന്റെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

പരിഹാരം. നമുക്ക് ഉണ്ട്

പരിഹാരം. നമുക്ക് ഉണ്ട്

സമാനമായ പദങ്ങൾ നൽകാൻ അവശേഷിക്കുന്നു (അവ അടിവരയിട്ടിരിക്കുന്നു). നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

53. ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ.

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഒരു മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നത് ഐഡന്റിറ്റികൾ ഉപയോഗിച്ചാണ്:

ഈ ഐഡന്റിറ്റികളെ ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു,

നൽകിയിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗം മയോഗോക്ലിയ എന്ന സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടതിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 1. .

പരിഹാരം. ഫോർമുല (1) ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഉദാഹരണം 2. .

പരിഹാരം.

ഉദാഹരണം 3. .

പരിഹാരം. ഫോർമുല (3) ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഉദാഹരണം 4.

പരിഹാരം. ഫോർമുല (4) ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

54. ഫാക്‌ടറിംഗ് പോളിനോമിയലുകൾ.

ചിലപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പോളിനോമിയലിനെ പല ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമാക്കി മാറ്റാം - പോളിനോമിയലുകൾ അല്ലെങ്കിൽ ഉപനാമങ്ങൾ. അത്തരമൊരു ഐഡന്റിറ്റി പരിവർത്തനത്തെ പോളിനോമിയലിന്റെ ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പോളിനോമിയൽ ഈ ഓരോ ഘടകങ്ങളാലും ഹരിക്കാവുന്നതാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

പോളിനോമിയലുകൾ ഫാക്ടർ ചെയ്യാനുള്ള ചില വഴികൾ നോക്കാം,

1) ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കൽ. ഈ പരിവർത്തനം വിതരണ നിയമത്തിന്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ് (വ്യക്തതയ്ക്കായി, നിങ്ങൾ ഈ നിയമം "വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തേക്ക്" മാറ്റിയെഴുതേണ്ടതുണ്ട്):

ഉദാഹരണം 1: ഒരു ബഹുപദ ഘടകം

പരിഹാരം. .

സാധാരണയായി, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കുമ്പോൾ, പോളിനോമിയലിന്റെ എല്ലാ പദങ്ങളിലും ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഓരോ വേരിയബിളും ഈ പോളിനോമിയലിൽ ഉള്ള ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഉപയോഗിച്ച് എടുക്കും. പോളിനോമിയലിന്റെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, പോളിനോമിയലിന്റെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളുടെയും ഏറ്റവും വലിയ സമ്പൂർണ്ണ പൊതു വിഭജനത്തെ പൊതു ഘടകത്തിന്റെ ഗുണകമായി കണക്കാക്കുന്നു.

2) ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഫോർമുലകൾ (1) - (7) ഖണ്ഡിക 53 ൽ നിന്ന്, വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ട് വായിക്കുമ്പോൾ, പല കേസുകളിലും ബഹുപദങ്ങൾ ഫാക്റ്ററിംഗ് ചെയ്യുന്നതിന് ഉപയോഗപ്രദമാകും.

ഉദാഹരണം 2: ഘടകം .

പരിഹാരം. നമുക്ക് ഉണ്ട്. ഫോർമുല (1) പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ (സ്ക്വയറുകളുടെ വ്യത്യാസം), നമുക്ക് ലഭിക്കും . അപേക്ഷിച്ചുകൊണ്ട്

ഇപ്പോൾ ഫോർമുലകൾ (4), (5) (ക്യൂബുകളുടെ ആകെത്തുക, ക്യൂബുകളുടെ വ്യത്യാസം), നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 3. .

പരിഹാരം. ആദ്യം, നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, 4, 16, 16 ഗുണകങ്ങളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനവും ഈ പോളിനോമിയലിന്റെ ഘടക മോണോമിയലുകളിൽ a, b എന്നീ വേരിയബിളുകൾ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

3) ഗ്രൂപ്പിംഗ് രീതി. സങ്കലനത്തിന്റെ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ്, അസോസിയേറ്റീവ് നിയമങ്ങൾ ഒരു ബഹുപദത്തിലെ അംഗങ്ങളെ വിവിധ രീതികളിൽ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യാൻ അനുവദിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് ഇത്. സാധാരണ ഘടകങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുത്ത ശേഷം, ഓരോ ഗ്രൂപ്പിലെയും ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ഒരേ പോളിനോമിയൽ നിലനിൽക്കും, അത് ഒരു പൊതു ഘടകമെന്ന നിലയിൽ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാൻ കഴിയും. ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഫാക്‌ടറിംഗ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 4. .

പരിഹാരം. നമുക്ക് ഗ്രൂപ്പിംഗ് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ചെയ്യാം:

ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിൽ, നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തേതിലേക്ക് പൊതു ഘടകം എടുക്കാം - പൊതു ഘടകം 5. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു, ഇപ്പോൾ നമ്മൾ പോളിനോമിയലിനെ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് ഒരു പൊതു ഘടകമായി ഇടുന്നു: അങ്ങനെ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഉദാഹരണം 5.

പരിഹാരം. .

ഉദാഹരണം 6.

പരിഹാരം. ഇവിടെ, ഒരു ഗ്രൂപ്പിംഗും എല്ലാ ഗ്രൂപ്പുകളിലും ഒരേ ബഹുപദം പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നതിലേക്ക് നയിക്കില്ല. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, പോളിനോമിയലിലെ അംഗത്തെ ഒരു തുകയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് ചിലപ്പോൾ ഉപയോഗപ്രദമാണ്, തുടർന്ന് ഗ്രൂപ്പിംഗ് രീതി വീണ്ടും പരീക്ഷിക്കുക. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, അതിനെ ഒരു തുകയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് ഉചിതമാണ്

ഉദാഹരണം 7.

പരിഹാരം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന ഒരു മോണോമിയൽ ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുക

55. ഒരു വേരിയബിളിലെ പോളിനോമിയലുകൾ.

a, b എന്നിവ വേരിയബിൾ നമ്പറുകളാകുന്ന ഒരു ബഹുപദത്തെ ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ പോളിനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു; എ, ബി, സി എന്നിവ വേരിയബിൾ സംഖ്യകളാണ്, അതിനെ രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ പോളിനോമിയൽ അല്ലെങ്കിൽ സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു; a, b, c, d എന്നിവ സംഖ്യകളാകുന്ന ഒരു ബഹുപദം, വേരിയബിളിനെ മൂന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ പോളിനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പൊതുവേ, o ഒരു വേരിയബിൾ ആണെങ്കിൽ, അത് ഒരു ബഹുപദമാണ്

lsmogochnolenol ഡിഗ്രി എന്ന് വിളിക്കുന്നു (x ന് ആപേക്ഷികം); , ബഹുപദത്തിന്റെ m-പദങ്ങൾ, ഗുണകങ്ങൾ, ബഹുപദത്തിന്റെ മുൻനിര പദം, a എന്നത് മുൻനിര പദത്തിന്റെ ഗുണകമാണ്, ബഹുപദത്തിന്റെ സ്വതന്ത്ര പദം. സാധാരണഗതിയിൽ, ഒരു പോളിനോമിയൽ ഒരു വേരിയബിളിന്റെ അവരോഹണ ശക്തികളിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു, അതായത്, ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ശക്തികൾ ക്രമേണ കുറയുന്നു, പ്രത്യേകിച്ചും, മുൻനിര പദം ഒന്നാം സ്ഥാനത്തും സ്വതന്ത്ര പദം അവസാന സ്ഥാനത്തുമാണ്. ബഹുപദത്തിന്റെ ബിരുദം ഏറ്റവും ഉയർന്ന പദത്തിന്റെ ബിരുദമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, അഞ്ചാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദം, അതിൽ മുൻനിര പദമായ 1, ബഹുപദത്തിന്റെ സ്വതന്ത്ര പദമാണ്.

പോളിനോമിയലിന്റെ റൂട്ട് പോളിനോമിയൽ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്ന മൂല്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, സംഖ്യ 2 എന്നത് ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ മൂലമാണ്

- ബഹുപദങ്ങൾ. ഈ ലേഖനത്തിൽ ബഹുപദങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രാഥമികവും ആവശ്യമായതുമായ എല്ലാ വിവരങ്ങളും ഞങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തും. ഒന്നാമതായി, പോളിനോമിയലിന്റെ പദങ്ങളുടെ നിർവചനങ്ങൾക്കൊപ്പം ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ നിർവചനം ഉൾപ്പെടുന്നു, പ്രത്യേകിച്ചും, സ്വതന്ത്ര പദവും സമാന പദങ്ങളും. രണ്ടാമതായി, ഞങ്ങൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിന്റെ പോളിനോമിയലുകളിൽ താമസിക്കുകയും അനുബന്ധ നിർവചനം നൽകുകയും അവയുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുകയും ചെയ്യും. അവസാനമായി, ഒരു പോളിനോമിയലിന്റെ ബിരുദത്തിന്റെ നിർവചനം ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കും, അത് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് കണ്ടെത്തുകയും പോളിനോമിയലിന്റെ പദങ്ങളുടെ ഗുണകങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുകയും ചെയ്യും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

ബഹുപദവും അതിന്റെ നിബന്ധനകളും - നിർവചനങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും

ഗ്രേഡ് 7 ൽ, മോണോമിയലുകൾക്ക് ശേഷം പോളിനോമിയലുകൾ പഠിക്കുന്നു, ഇത് മനസ്സിലാക്കാവുന്നതേയുള്ളൂ ബഹുപദ നിർവ്വചനംമോണോമിയലുകൾ വഴിയാണ് നൽകുന്നത്. ഒരു ബഹുപദം എന്താണെന്ന് വിശദീകരിക്കാൻ നമുക്ക് ഈ നിർവചനം നൽകാം.

നിർവ്വചനം.

ബഹുപദംമോണോമിയലുകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്; ഒരു മോണോമിയലിനെ ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ പ്രത്യേക കേസായി കണക്കാക്കുന്നു.

ലിഖിത നിർവ്വചനം നിങ്ങൾക്ക് ഇഷ്ടമുള്ളത്ര ബഹുപദങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. 5, 0, -1, x, 5 a b 3, x 2 0.6 x (−2) y 12, എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഏതെങ്കിലും മോണോമിയലുകൾ. ഒരു ബഹുപദമാണ്. കൂടാതെ, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, 1+x, a 2 +b 2 എന്നിവയും ബഹുപദങ്ങളാണ്.

പോളിനോമിയലുകൾ വിവരിക്കുന്നതിനുള്ള സൗകര്യത്തിനായി, ഒരു ബഹുപദ പദത്തിന്റെ ഒരു നിർവചനം അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം.

ബഹുപദ നിബന്ധനകൾഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ ഘടക മോണോമിയലുകൾ.

ഉദാഹരണത്തിന്, പോളിനോമിയൽ 3 x 4 -2 x y+3-y 3 നാല് പദങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: 3 x 4 , -2 x y , 3 ഒപ്പം −y 3 . ഒരു മോണോമിയൽ ഒരു പദം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ബഹുപദമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

നിർവ്വചനം.

രണ്ടും മൂന്നും പദങ്ങൾ അടങ്ങിയ ബഹുപദങ്ങൾക്ക് പ്രത്യേക പേരുകളുണ്ട് - ദ്വിപദംഒപ്പം ത്രിപദംയഥാക്രമം.

അതിനാൽ x+y ഒരു ദ്വിപദമാണ്, 2 x 3 q−q x x x+7 b ഒരു ത്രിപദമാണ്.

സ്കൂളിൽ, ഞങ്ങൾ മിക്കപ്പോഴും പ്രവർത്തിക്കേണ്ടതുണ്ട് രേഖീയ ദ്വിപദം a x+b , ഇവിടെ a, b എന്നിവ ചില സംഖ്യകളാണ്, x എന്നത് ഒരു വേരിയബിളാണ്, അതുപോലെ c ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രിപദം a·x 2 +b·x+c, ഇവിടെ a, b, c എന്നിവ ചില സംഖ്യകളാണ്, x എന്നത് ഒരു വേരിയബിളാണ്. ലീനിയർ ബൈനോമിയലുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ: x+1, x 7,2−4, കൂടാതെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രിപദങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ: x 2 +3 x−5 ഒപ്പം .

അവയുടെ നൊട്ടേഷനിലെ പോളിനോമിയലുകൾക്ക് സമാനമായ പദങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം. ഉദാഹരണത്തിന്, 1+5 x−3+y+2 x എന്ന പോളിനോമിയലിൽ സമാനമായ പദങ്ങൾ 1, -3, അതുപോലെ 5 x, 2 x എന്നിവയാണ്. അവർക്ക് അവരുടേതായ പ്രത്യേക നാമമുണ്ട് - ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ സമാന പദങ്ങൾ.

നിർവ്വചനം.

ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ സമാന പദങ്ങൾഒരു ബഹുപദത്തിലെ സമാന പദങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു.

മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ, 1, −3, ജോഡി 5 x, 2 x എന്നിവയും ബഹുപദത്തിന്റെ സമാന പദങ്ങളാണ്. സമാന പദങ്ങളുള്ള പോളിനോമിയലുകളിൽ, അവയുടെ രൂപം ലളിതമാക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് സമാന പദങ്ങൾ കുറയ്ക്കാം.

സാധാരണ രൂപത്തിന്റെ ബഹുപദം

പോളിനോമിയലുകൾക്ക്, മോണോമിയലുകൾക്ക്, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു രൂപമുണ്ട്. നമുക്ക് അനുയോജ്യമായ നിർവചനം നൽകാം.

ഈ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിന്റെ ബഹുപദങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് നൽകാം. അതിനാൽ പോളിനോമിയലുകൾ 3 x 2 -x y+1 ഒപ്പം സാധാരണ രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു. കൂടാതെ 5+3 x 2 -x 2 +2 x z, x+x y 3 x z 2 +3 z എന്നീ പദപ്രയോഗങ്ങൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിന്റെ ബഹുപദങ്ങളല്ല, കാരണം അവയിൽ ആദ്യത്തേതിൽ 3 x 2, −x 2 എന്നീ സമാന പദങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. രണ്ടാമത്തേത് - ഒരു മോണോമിയൽ x·y 3 ·x·z 2, ഇതിന്റെ രൂപം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഒന്നിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്.

ആവശ്യമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും പോളിനോമിയൽ സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിന്റെ പോളിനോമിയലുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മറ്റൊരു ആശയം ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ ഒരു സ്വതന്ത്ര പദത്തിന്റെ ആശയമാണ്.

നിർവ്വചനം.

ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ സ്വതന്ത്ര പദംഅക്ഷരഭാഗം ഇല്ലാത്ത സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലുള്ള ഒരു ബഹുപദത്തിലെ അംഗമാണ്.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിന്റെ ഒരു പോളിനോമിയലിൽ ഒരു സംഖ്യ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ ഒരു സ്വതന്ത്ര അംഗം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 5 എന്നത് x 2 z+5 എന്ന ബഹുപദത്തിന്റെ സ്വതന്ത്ര പദമാണ്, എന്നാൽ 7 a+4 a b+b 3 എന്ന ബഹുപദത്തിന് ഒരു സ്വതന്ത്ര പദം ഇല്ല.

ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ ബിരുദം - അത് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

മറ്റൊരു പ്രധാന അനുബന്ധ നിർവചനം ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനമാണ്. ആദ്യം, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിന്റെ പോളിനോമിയലിന്റെ അളവ് ഞങ്ങൾ നിർവചിക്കുന്നു; ഈ നിർവചനം അതിന്റെ ഘടനയിലുള്ള മോണോമിയലുകളുടെ ഡിഗ്രികളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.

നിർവ്വചനം.

സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിന്റെ ബഹുപദത്തിന്റെ ബിരുദംഅതിന്റെ നൊട്ടേഷനിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന മോണോമിയലുകളുടെ ശക്തികളിൽ ഏറ്റവും വലുതാണ്.

നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാം. 5 x 3 -4 എന്ന ബഹുപദത്തിന്റെ അളവ് 3 ന് തുല്യമാണ്, കാരണം അതിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന 5 x 3, −4 എന്നിവയ്ക്ക് യഥാക്രമം 3 ഉം 0 ഉം ഡിഗ്രി ഉണ്ട്, ഈ സംഖ്യകളിൽ ഏറ്റവും വലുത് 3 ആണ്, ഇത് ബഹുപദത്തിന്റെ ഡിഗ്രിയാണ്. നിർവചനം പ്രകാരം. ഒപ്പം ബഹുപദത്തിന്റെ ബിരുദവും 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x 2+3=5, 4+1=5, 1, അതായത് 5 എന്നീ സംഖ്യകളിൽ ഏറ്റവും വലുതിന് തുല്യമാണ്.

ഏതെങ്കിലും രൂപത്തിന്റെ പോളിനോമിയലിന്റെ ബിരുദം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് ഇപ്പോൾ നോക്കാം.

നിർവ്വചനം.

അനിയന്ത്രിതമായ രൂപത്തിന്റെ ബഹുപദത്തിന്റെ അളവ്സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിന്റെ അനുബന്ധ ബഹുപദത്തിന്റെ ബിരുദം വിളിക്കുക.

അതിനാൽ, ഒരു പോളിനോമിയൽ സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിൽ എഴുതിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ അതിന്റെ ബിരുദം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ യഥാർത്ഥ പോളിനോമിയലിനെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുകയും തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പോളിനോമിയലിന്റെ ബിരുദം കണ്ടെത്തുകയും വേണം - അത് ആവശ്യമായ ഒന്നായിരിക്കും. ഉദാഹരണം പരിഹാരം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം.

ബഹുപദത്തിന്റെ ബിരുദം കണ്ടെത്തുക 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 -2 a 12 -a 12.

പരിഹാരം.

ആദ്യം നിങ്ങൾ പോളിനോമിയലിനെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 -2 a 12 -a 12 = =(3 a 12 -2 a 12 -a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിന്റെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പോളിനോമിയലിൽ രണ്ട് മോണോമിയലുകൾ −2·a 2 ·b 2 ·c 2, y 2 ·z 2 എന്നിവ ഉൾപ്പെടുന്നു. നമുക്ക് അവയുടെ ശക്തികൾ കണ്ടെത്താം: 2+2+2=6, 2+2=4. വ്യക്തമായും, ഈ ശക്തികളിൽ ഏറ്റവും വലുത് 6 ആണ്, ഇത് നിർവചനം അനുസരിച്ച് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിന്റെ ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ ശക്തിയാണ്. −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, അതിനാൽ യഥാർത്ഥ ബഹുപദത്തിന്റെ ബിരുദം., 2 x−0.5 x y+3 x+7 എന്ന ബഹുപദത്തിന്റെ 3 x, 7 എന്നിവ.

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

• ബീജഗണിതം:പാഠപുസ്തകം ഏഴാം ക്ലാസിന് പൊതു വിദ്യാഭ്യാസം സ്ഥാപനങ്ങൾ / [യു. എൻ.മക്കാരിച്ചേവ്, എൻ.ജി.മിൻഡ്യൂക്ക്, കെ.ഐ.നെഷ്കോവ്, എസ്.ബി.സുവോറോവ]; മാറ്റം വരുത്തിയത് എസ്.എ. ടെലിയാക്കോവ്സ്കി. - 17-ാം പതിപ്പ്. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2008. - 240 പേ. : അസുഖം. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി.ബീജഗണിതം. ഏഴാം ക്ലാസ്. ഉച്ചയ്ക്ക് 2 മണിക്ക് ഭാഗം 1. വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ/ എ.ജി. മൊർഡ്കോവിച്ച്. - 17-ാം പതിപ്പ്., ചേർക്കുക. - എം.: Mnemosyne, 2013. - 175 പേ.: അസുഖം. ISBN 978-5-346-02432-3.
• ബീജഗണിതംഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിന്റെ തുടക്കവും. പത്താം ക്ലാസ്: പാഠപുസ്തകം. പൊതുവിദ്യാഭ്യാസത്തിന് സ്ഥാപനങ്ങൾ: അടിസ്ഥാനവും പ്രൊഫൈലും. ലെവലുകൾ / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; മാറ്റം വരുത്തിയത് A. B. Zhizhchenko. - മൂന്നാം പതിപ്പ്. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2010.- 368 പേ. : അസുഖം. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• ഗുസെവ് വി.എ., മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി.ഗണിതശാസ്ത്രം (സാങ്കേതികവിദ്യാലയങ്ങളിൽ പ്രവേശിക്കുന്നവർക്കുള്ള ഒരു മാനുവൽ): Proc. അലവൻസ്.- എം.; ഉയർന്നത് സ്കൂൾ, 1984.-351 പി., അസുഖം.