n үл мэдэгдэх m шугаман тэгшитгэлийн системхэлбэрийн систем гэж нэрлэдэг
Хаана a ijТэгээд б би (би=1,…,м; б=1,…,n) зарим мэдэгдэж байгаа тоонууд ба x 1 ,…,x n- үл мэдэгдэх. Коэффициентийг тодорхойлохдоо a ijэхний индекс битэгшитгэлийн дугаарыг илэрхийлж, хоёр дахь нь j– энэ коэффициент байгаа үл мэдэгдэх тоо.
Бид үл мэдэгдэхийн коэффициентийг матриц хэлбэрээр бичнэ 
, бид үүнийг дуудах болно системийн матриц.
Тэгшитгэлийн баруун талд байгаа тоонууд нь байна b 1 ,…,b мгэж нэрлэдэг чөлөөт гишүүд.
Нийтлэг байдал nтоо c 1 ,…,c nдуудсан шийдвэрХэрэв системийн тэгшитгэл бүр тоонуудыг орлуулсны дараа тэгшитгэл болж байвал тухайн системийн c 1 ,…,c nхаргалзах үл мэдэгдэхийн оронд x 1 ,…,x n.
Бидний даалгавар бол системийн шийдлийг олох явдал юм. Энэ тохиолдолд гурван нөхцөл байдал үүсч болно:
Дор хаяж нэг шийдэлтэй шугаман тэгшитгэлийн системийг гэнэ хамтарсан. Үгүй бол, өөрөөр хэлбэл. Хэрэв системд шийдэл байхгүй бол үүнийг дуудна хамтарсан бус.
Системийн шийдлийг олох арга замыг авч үзье.
Шугаман тэгшитгэлийн СИСТЕМИЙГ ШИЙДЭХ МАтрицын АРГА
Матрицууд нь шугаман тэгшитгэлийн системийг товч бичих боломжийг олгодог. Гурван үл мэдэгдэх 3 тэгшитгэлийн системийг өгье.
Системийн матрицыг авч үзье 
үл мэдэгдэх ба чөлөөт нөхцлийн матрицын багана 
Ажлаа олъё
тэдгээр. Бүтээгдэхүүний үр дүнд бид энэ системийн тэгшитгэлийн зүүн талыг олж авдаг. Дараа нь матрицын тэгш байдлын тодорхойлолтыг ашиглан энэ системийг хэлбэрээр бичиж болно
эсвэл богино А∙X=B.
Энд матрицууд байна АТэгээд Бмэдэгдэж байгаа ба матриц Xүл мэдэгдэх. Үүнийг олох хэрэгтэй, учир нь ... түүний элементүүд нь энэ системийн шийдэл юм. Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг матрицын тэгшитгэл.
Матрицын тодорхойлогч тэгээс ялгаатай байг | А| ≠ 0. Тэгвэл матрицын тэгшитгэлийг дараах байдлаар шийднэ. Зүүн талд байгаа тэгшитгэлийн хоёр талыг матрицаар үржүүл А-1, матрицын урвуу А: . Учир нь A -1 A = EТэгээд Э∙X = X, дараа нь бид матрицын тэгшитгэлийн шийдийг хэлбэрээр олж авна X = A -1 B .
Урвуу матрицыг зөвхөн квадрат матрицад л олох боломжтой тул матрицын арга нь зөвхөн ийм системийг шийдэж чадна гэдгийг анхаарна уу. тэгшитгэлийн тоо үл мэдэгдэх тоотой давхцаж байна. Гэсэн хэдий ч тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү биш тохиолдолд матрицын системийг бүртгэх боломжтой. Адөрвөлжин биш тул системийн шийдлийг хэлбэрээр олох боломжгүй юм X = A -1 B.
Жишээ.Тэгшитгэлийн системийг шийдэх.
КРАМЕРИЙН ДҮРЭМ
Гурван үл мэдэгдэх 3 шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье.
Системийн матрицад тохирох гуравдахь эрэмбийн тодорхойлогч, i.e. үл мэдэгдэх коэффициентүүдээс бүрдэх,
дуудсан системийн тодорхойлогч.
Дараах байдлаар өөр гурван тодорхойлогчийг зохиоё: D тодорхойлогчийн 1, 2, 3 баганыг чөлөөт нөхцлийн баганаар солино.
Дараа нь бид дараах үр дүнг баталж чадна.
Теорем (Крамерын дүрэм).Хэрэв системийн тодорхойлогч Δ ≠ 0 бол авч үзэж буй систем нь нэг бөгөөд цорын ганц шийдэлтэй байна.
Баталгаа. Ингээд гурван үл мэдэгдэх 3 тэгшитгэлийн системийг авч үзье. Системийн 1-р тэгшитгэлийг алгебрийн нэмэлтээр үржүүлье А 11бүрэлдэхүүн а 11, 2-р тэгшитгэл – асаалттай А 21ба 3-т - дээр А 31:
Эдгээр тэгшитгэлийг нэмье:
Энэ тэгшитгэлийн хаалт болон баруун талд тус бүрийг харцгаая. 1-р баганын элементүүд дэх тодорхойлогчийн тэлэлтийн тухай теоремоор
Үүнтэй адилаар, мөн гэдгийг харуулж болно.
Эцэст нь хэлэхэд үүнийг анзаарахад хялбар байдаг 
Тиймээс бид тэгш байдлыг олж авна: .
Тиймээс, .
Тэнцүү байдал нь ижил төстэй үүсэлтэй бөгөөд үүнээс теоремын мэдэгдэл гарна.
Тиймээс, хэрэв системийн тодорхойлогч нь Δ ≠ 0 бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй ба эсрэгээр гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Хэрэв системийн тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцүү бол систем нь төгсгөлгүй тооны шийдэлтэй эсвэл шийдэлгүй, өөрөөр хэлбэл. нийцэхгүй.
Жишээ.Тэгшитгэлийн системийг шийд
ГАЗСЫН АРГА
Өмнө нь авч үзсэн аргуудыг зөвхөн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой давхцаж байгаа системийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болох бөгөөд системийн тодорхойлогч нь тэгээс өөр байх ёстой. Гауссын арга нь илүү түгээмэл бөгөөд ямар ч тооны тэгшитгэлтэй системд тохиромжтой. Энэ нь системийн тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх зүйлийг тууштай арилгахад оршино.
Гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийг дахин авч үзье.
.
Бид эхний тэгшитгэлийг хэвээр үлдээж, 2, 3-аас эхлэн дараахь зүйлийг агуулсан нөхцөлийг хасах болно. x 1. Үүнийг хийхийн тулд хоёр дахь тэгшитгэлийг хуваана А 21 ба үржүүлэх - А 11, дараа нь 1-р тэгшитгэлд нэмнэ. Үүний нэгэн адил бид гурав дахь тэгшитгэлийг хуваана А 31 ба үржүүлэх - А 11, дараа нь эхнийхтэй нь нэмнэ үү. Үүний үр дүнд анхны систем нь дараах хэлбэртэй болно.
Одоо сүүлчийн тэгшитгэлээс бид агуулсан нэр томъёог хасч байна x 2. Үүнийг хийхийн тулд гурав дахь тэгшитгэлийг хувааж, үржүүлж, хоёр дахь нь нэмнэ. Дараа нь бид тэгшитгэлийн системтэй болно:
Эндээс, сүүлчийн тэгшитгэлээс олоход хялбар байдаг x 3, дараа нь 2-р тэгшитгэлээс x 2эцэст нь 1-ээс - x 1.
Гауссын аргыг ашиглах үед шаардлагатай бол тэгшитгэлүүдийг сольж болно.
Ихэнхдээ шинэ тэгшитгэлийн системийг бичихийн оронд системийн өргөтгөсөн матрицыг бичихээр хязгаарладаг.
дараа нь энгийн хувиргалтыг ашиглан гурвалжин эсвэл диагональ хэлбэрт оруулна.
TO анхан шатны өөрчлөлтүүдМатрицууд нь дараах хувиргалтыг агуулдаг.
- мөр, баганыг дахин зохион байгуулах;
- мөрийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх;
- нэг мөрөнд бусад мөрүүдийг нэмэх.
Жишээ нь:Гауссын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд.
Тиймээс систем нь хязгааргүй олон тооны шийдлүүдтэй байдаг.
Бид шугаман тэгшитгэлийн системтэй үргэлжлүүлэн харьцаж байна. Одоогоор бид өвөрмөц шийдэлтэй системүүдийг авч үзсэн. Ийм системийг ямар ч аргаар шийдэж болно: орлуулах аргаар("сургууль"), Крамерын томъёоны дагуу матрицын арга, Гауссын арга. Гэсэн хэдий ч практик дээр өөр хоёр тохиолдол өргөн тархсан байна.
1) систем нь тогтворгүй (шийдэл байхгүй);
2) систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй.
Эдгээр системүүдийн хувьд бүх шийдлийн аргуудаас хамгийн түгээмэл нь ашиглагддаг - Гауссын арга. Үнэн хэрэгтээ "сургууль" арга нь хариултыг өгөх болно, гэхдээ дээд математикт үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах Гауссын аргыг ашигладаг. Гауссын аргын алгоритмыг мэдэхгүй хүмүүс эхлээд хичээлээ судлаарай Гауссын арга
Анхан шатны матрицын хувиргалтууд нь өөрөө яг адилхан, ялгаа нь шийдлийн төгсгөлд байх болно. Эхлээд системд ямар ч шийдэл байхгүй (зөрчил) байх хэд хэдэн жишээг авч үзье.
Жишээ 1
Энэ системийн талаар таны анхаарлыг юу шууд татдаг вэ? Тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчийн тооноос бага байна. Нэг теорем байдаг: “Хэрэв систем дэх тэгшитгэлийн тоо хувьсагчийн тооноос бага бол, тэгвэл систем нь нэг бол нийцэхгүй эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй болно."Тэгээд олж мэдэх л үлдлээ.
Шийдлийн эхлэл нь ердийн зүйл юм - бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулдаг.
(1). Зүүн дээд алхам дээр бид (+1) эсвэл (-1) авах хэрэгтэй. Эхний баганад ийм тоо байхгүй тул мөрүүдийг дахин байрлуулах нь юу ч өгөхгүй. Нэгж нь өөрөө зохион байгуулалттай байх ёстой бөгөөд үүнийг хэд хэдэн аргаар хийж болно. Бид үүнийг хийсэн. Эхний мөрөнд бид гурав дахь мөрийг нэмж (-1) үржүүлнэ.
(2). Одоо бид эхний баганад хоёр тэг авч байна. Хоёр дахь мөрөнд бид 3-аар үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ. Гурав дахь мөрөнд бид 5-аар үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ.
(3). Өөрчлөлт дууссаны дараа үүссэн мөрүүдийг хялбарчлах боломжтой эсэхийг үргэлж харахыг зөвлөж байна. Чадах. Бид хоёр дахь мөрийг 2-оор хувааж, хоёр дахь алхам дээр хүссэн нэгийг (-1) авна. Гурав дахь мөрийг (-3) хуваана.
(4). Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмнэ. Энгийн өөрчлөлтөөс үүдэлтэй муу зураасыг хүн бүр анзаарсан байх.
. Ийм байж болохгүй нь ойлгомжтой.
Үнэхээр бид үүссэн матрицыг дахин бичье
Шугаман тэгшитгэлийн систем рүү буцах:
Хэрэв энгийн хувиргалтуудын үр дүнд маягтын мөрийг олж авбал , Хаанаλ нь тэгээс өөр тоо бол систем нь нийцэхгүй байна (шийдэл байхгүй).
Даалгаврын төгсгөлийг хэрхэн бичих вэ? Та дараах хэллэгийг бичих хэрэгтэй.
"Эхний хувиргалтуудын үр дүнд маягтын мөрийг олж авсан λ ≠ 0 " Хариулт: "Системд шийдэл байхгүй (тогтворгүй)."
Энэ тохиолдолд Гауссын алгоритмыг буцаах арга байхгүй, шийдэл байхгүй, зүгээр л олох зүйл байхгүй гэдгийг анхаарна уу.
Жишээ 2
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд 
Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.
Таны шийдэл нь бидний шийдлээс ялгаатай байж магадгүй гэдгийг бид дахин сануулж байна; Гауссын арга нь хоёрдмол утгагүй алгоритмыг заагаагүй; үйлдлүүдийн дараалал, үйлдлүүдийг тухайн тохиолдол бүрт бие даан таах ёстой.
Өөр нэг техникийн шинж чанаршийдэл: энгийн хувиргалтыг зогсоож болно Нэг удаа, хаана гэх мэт мөр гармагц λ ≠ 0 . Нөхцөлтэй жишээг авч үзье: эхний хувиргалт хийсний дараа матрицыг олж авлаа гэж бодъё
.
Энэ матрицыг эшелон хэлбэрт хараахан бууруулаагүй байгаа боловч хэлбэрийн шугам гарч ирсэн тул цаашид энгийн хувиргалт хийх шаардлагагүй болно. λ ≠ 0 . Систем таарахгүй байна гэсэн хариултыг нэн даруй өгөх ёстой.
Шугаман тэгшитгэлийн систем ямар ч шийдэлгүй бол энэ нь бараг л оюутанд бэлэг болно. богино шийдэл, заримдаа шууд утгаараа 2-3 үйлдэлд. Гэхдээ энэ ертөнцийн бүх зүйл тэнцвэртэй бөгөөд систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй асуудал нь илүү урт юм.
Жишээ 3:
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд
4 тэгшитгэл, 4 үл мэдэгдэх систем байдаг тул систем нь нэг шийдэлтэй, эсвэл шийдэлгүй, эсвэл хязгааргүй олон шийдтэй байж болно. Гэсэн хэдий ч Гауссын арга нь ямар ч тохиолдолд биднийг хариулт руу хөтөлнө. Энэ бол түүний олон талт байдал юм.
Эхлэл нь дахин стандарт юм. Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан үүнийг алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.
Ингээд л та нар айсан.
(1). Эхний баганад байгаа бүх тоо 2-т хуваагддаг тул зүүн дээд буланд 2 байвал зүгээр гэдгийг анхаарна уу. Хоёрдахь мөрөнд бид эхний мөрийг (-4) үржүүлж нэмнэ. Гурав дахь мөрөнд бид эхний мөрийг (-2) үржүүлж нэмнэ. Дөрөв дэх мөрөнд бид эхний мөрийг нэмж (-1) үржүүлнэ.
Анхаар!Дөрөв дэх мөрөнд олон хүн уруу татагдаж магадгүй хасахэхний мөр. Үүнийг хийж болно, гэхдээ энэ нь шаардлагагүй, туршлагаас харахад тооцоололд алдаа гарах магадлал хэд хэдэн удаа нэмэгддэг. Бид зүгээр л нэмнэ: дөрөв дэх мөрөнд бид эхний мөрийг нэмж (–1) -ээр үржүүлнэ. яг!
(2). Сүүлийн гурван мөр нь пропорциональ, хоёрыг нь устгаж болно. Энд бид дахин харуулах хэрэгтэй анхаарал нэмэгдсэн, гэхдээ шугамууд үнэхээр пропорциональ уу? Аюулгүй байхын тулд хоёр дахь мөрийг (–1) үржүүлж, дөрөв дэх мөрийг 2-оор хуваах нь зүйтэй бөгөөд үр дүнд нь гурван ижил шугам гарч ирнэ. Үүний дараа л хоёрыг нь хас. Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн үр дүнд системийн өргөтгөсөн матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулав.
Даалгаврыг дэвтэрт бичихдээ тодорхой болгохын тулд харандаагаар ижил тэмдэглэл хийхийг зөвлөж байна.
Харгалзах тэгшитгэлийн системийг дахин бичье. 
Энд системийн "ердийн" нэг шийдлийн үнэр алга. Хаана муу шугам λ ≠ 0, бас үгүй. Энэ нь үлдсэн гурав дахь тохиолдол гэсэн үг юм - систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй.
Системийн шийдлүүдийн хязгааргүй багцыг товчхон гэж нэрлэгддэг хэлбэрээр бичдэг системийн ерөнхий шийдэл.
Гауссын аргын урвуу аргыг ашиглан системийн ерөнхий шийдлийг олно. Хязгааргүй олон шийд бүхий тэгшитгэлийн системүүдийн хувьд шинэ ойлголтууд гарч ирнэ. "үндсэн хувьсагч"Тэгээд "чөлөөт хувьсагч". Эхлээд бид ямар хувьсагчтай болохыг тодорхойлъё үндсэн, мөн аль хувьсагч - үнэгүй. Шугаман алгебрийн нэр томъёог нарийвчлан тайлбарлах шаардлагагүй, ийм зүйл байдаг гэдгийг санах нь хангалттай юм үндсэн хувьсагчТэгээд чөлөөт хувьсагч.
Үндсэн хувьсагч нь үргэлж матрицын алхам дээр "сууж" байдаг. Энэ жишээнд үндсэн хувьсагчид байна x 1 ба x 3 .
Үнэгүй хувьсагч нь бүх зүйл юм үлдсэналхам хүлээн аваагүй хувьсагч. Манай тохиолдолд тэдгээрийн хоёр нь байна: x 2 ба x 4 - чөлөөт хувьсагч.
Одоо танд хэрэгтэй Бүгдүндсэн хувьсагчилэрхийлэх зөвхөн дамжууланчөлөөт хувьсагч. Гауссын алгоритмын урвуу нь уламжлал ёсоор доороос дээш ажилладаг. Системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс бид үндсэн хувьсагчийг илэрхийлнэ x 3:
Одоо эхний тэгшитгэлийг харна уу: 
. Эхлээд бид олсон илэрхийлэлийг үүн дээр орлуулна:
Энэ нь үндсэн хувьсагчийг илэрхийлэх хэвээр байна x 1 чөлөөт хувьсагчаар дамжуулан x 2 ба x 4:
Эцэст нь бид хэрэгтэй зүйлээ авсан - Бүгдүндсэн хувьсагч ( x 1 ба x 3) илэрхийлсэн зөвхөн дамжууланчөлөөт хувьсагч ( x 2 ба x 4):
Үнэндээ ерөнхий шийдэл бэлэн байна:
.
Ерөнхий шийдлийг хэрхэн зөв бичих вэ? Юуны өмнө чөлөөт хувьсагчдыг ерөнхий шийдэлд "өөрөө" болон байранд нь хатуу бичдэг. Энэ тохиолдолд чөлөөт хувьсагч x 2 ба x 4-ийг хоёр, дөрөв дэх байрлалд бичнэ.
.
Үндсэн хувьсагчийн үр дүнгийн илэрхийлэл эхний болон гуравдахь байрлалд бичих шаардлагатай байгаа нь ойлгомжтой.
Системийн ерөнхий шийдлээс хязгааргүй олон зүйлийг олж болно хувийн шийдлүүд. Энэ бол маш энгийн. Чөлөөт хувьсагч x 2 ба x 4-ийг өгч болох учраас ингэж нэрлэдэг аливаа эцсийн утгууд. Хамгийн түгээмэл утгууд нь тэг утгууд юм, учир нь энэ нь олж авах хамгийн хялбар хэсэгчилсэн шийдэл юм.
орлуулах ( x 2 = 0; x 4 = 0) ерөнхий шийдэлд бид тодорхой шийдлүүдийн аль нэгийг авна.
, эсвэл утга бүхий чөлөөт хувьсагчдад тохирох тодорхой шийдэл ( x 2 = 0; x 4 = 0).
Өөр нэг сайхан хос бол нэгийг орлъё ( x 2 = 1 ба x 4 = 1) ерөнхий шийдэлд:
, өөрөөр хэлбэл (-1; 1; 1; 1) - өөр тодорхой шийдэл.
Тэгшитгэлийн систем нь байгааг харахад хялбар байдаг хязгааргүй олон шийдэлУчир нь бид үнэгүй хувьсагчийг өгч чадна ямар чутга.
Тус бүртодорхой шийдэл нь хангасан байх ёстой тус бүртсистемийн тэгшитгэл. Энэ нь шийдлийн зөв эсэхийг "хурдан" шалгах үндэс суурь юм. Жишээлбэл, тодорхой шийдлийг (-1; 1; 1; 1) аваад анхны системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд орлуулна уу:
Бүх зүйл хамтдаа байх ёстой. Таны хүлээн авсан аливаа тодорхой шийдэлд бүх зүйл тохирсон байх ёстой.
Хатуухан хэлэхэд тодорхой шийдлийг шалгах нь заримдаа хууран мэхлэх, i.e. Зарим тодорхой шийдэл нь системийн тэгшитгэл бүрийг хангаж болох боловч ерөнхий шийдэл нь өөрөө буруу олддог. Тиймээс юуны түрүүнд ерөнхий шийдлийг шалгах нь илүү нарийн бөгөөд найдвартай байдаг.
Үүссэн ерөнхий шийдлийг хэрхэн шалгах вэ 
?
Энэ нь хэцүү биш боловч урт хугацааны өөрчлөлтийг шаарддаг. Бид илэрхийлэл авах хэрэгтэй үндсэнхувьсагч, энэ тохиолдолд 
ба , мөн тэдгээрийг системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд орлуулна.
Системийн эхний тэгшитгэлийн зүүн талд:
Системийн эхний тэгшитгэлийн баруун талыг олж авна.
Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд:
Системийн эхний хоёр дахь тэгшитгэлийн баруун талыг олж авна.
Тэгээд дараа нь - системийн гурав, дөрөв дэх тэгшитгэлийн зүүн талд. Энэхүү шалгалт нь илүү урт хугацаа шаардагдах боловч ерөнхий шийдлийн 100% үнэн зөвийг баталгаажуулдаг. Үүнээс гадна зарим ажил нь ерөнхий шийдлийг шалгахыг шаарддаг.
Жишээ 4:
Гауссын аргыг ашиглан системийг шийд. Ерөнхий шийдэл ба хоёр тусгай шийдлийг олоорой. Ерөнхий шийдлийг шалгана уу.
Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Энд, дашрамд хэлэхэд, дахин тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тооноос бага байгаа нь систем нь зөрчилтэй эсвэл хязгааргүй тооны шийдлүүдтэй байх нь шууд тодорхой болно гэсэн үг юм.
Жишээ 5:
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд. Хэрэв системд хязгааргүй олон шийдэл байгаа бол хоёр тусгай шийдлийг олж, ерөнхий шийдлийг шалгана уу
Шийдэл:Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт аваачъя.
(1). Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмнэ. Гурав дахь мөрөнд бид 2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ. Дөрөв дэх мөрөнд бид эхний мөрийг 3-аар үржүүлнэ.
(2). Гурав дахь мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж (-5) үржүүлнэ. Дөрөв дэх мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж (-7) үржүүлнэ.
(3). Гурав, дөрөв дэх мөр нь адилхан, бид тэдгээрийн аль нэгийг нь устгана. Энэ бол ийм гоо үзэсгэлэн юм:
Үндсэн хувьсагч нь шат дээр суудаг тул үндсэн хувьсагч болно.
Энд алхам аваагүй цорын ганц чөлөөт хувьсагч байна: .
(4). Урвуу хөдөлгөөн. Үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлье.
Гурав дахь тэгшитгэлээс:
Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзээд олсон илэрхийлэлийг түүнд орлъё.
, 
, ,
Эхний тэгшитгэлийг авч үзээд олсон илэрхийлэлүүдийг орлуулъя.
Тиймээс нэг чөлөөт хувьсагчтай ерөнхий шийдэл x 4:
Дахин хэлэхэд энэ нь яаж болсон бэ? Чөлөөт хувьсагч x 4 дангаараа дөрөвдүгээр байрт бичигдэж байна. , , үндсэн хувьсагчийн үр дүнгийн илэрхийллүүд мөн байрандаа байна.
Ерөнхий шийдлийг нэн даруй шалгацгаая.
Бид системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд үндсэн хувьсагчуудыг , , орлуулна.
Тэгшитгэлийн баруун талын харгалзах талуудыг олж авсан тул зөв ерөнхий шийдийг олно.
Одоо олдсон ерөнхий шийдлээс 
Бид хоёр тусгай шийдлийг олж авдаг. Бүх хувьсагчийг энд дангаар илэрхийлнэ чөлөөт хувьсагч x 4 . Тархиа шаналах шаардлагагүй.
Болъё xДараа нь 4 = 0 
- анхны тодорхой шийдэл.
Болъё xДараа нь 4 = 1 
- өөр нэг хувийн шийдэл.
Хариулт:Нийтлэг шийдвэр: . Хувийн шийдлүүд:
Мөн .
Жишээ 6:
Шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдийг ол.
Бид ерөнхий шийдлийг аль хэдийн шалгасан тул хариултанд итгэж болно. Таны шийдэл манай шийдлээс өөр байж болно. Гол нь ерөнхий шийдвэрүүд давхцаж байгаа. Магадгүй олон хүмүүс шийдэлд тааламжгүй мөчийг анзаарсан байх: Гауссын аргын урвуу явцад бид ердийн бутархай хэсгүүдтэй ажиллах шаардлагатай болдог. Практикт энэ нь үнэхээр тийм байдаг; бутархай байхгүй тохиолдол хамаагүй бага тохиолддог. Оюун санааны хувьд, хамгийн чухал нь техникийн хувьд бэлтгэлтэй байх.
Шийдвэрлэсэн жишээн дээр олдоогүй шийдлийн шинж чанарууд дээр анхаарлаа хандуулцгаая. Системийн ерөнхий шийдэлд заримдаа тогтмол (эсвэл тогтмол) орно.
Жишээлбэл, ерөнхий шийдэл: . Энд үндсэн хувьсагчдын нэг нь тогтмол тоотой тэнцүү байна: . Үүнд чамин зүйл байхгүй, ийм зүйл тохиолддог. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд аливаа тодорхой шийдэл нь эхний байрлалд тавыг агуулна.
Ховор, гэхдээ ийм системүүд байдаг тэгшитгэлийн тоо хувьсагчийн тооноос их байна. Гэсэн хэдий ч Гауссын арга нь хамгийн хүнд нөхцөлд ажилладаг. Та стандарт алгоритмыг ашиглан системийн өргөтгөсөн матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулах хэрэгтэй. Ийм систем нь үл нийцэх, хязгааргүй олон шийдэлтэй, хачирхалтай нь нэг шийдэлтэй байж болно.
Зөвлөмжөө давтан хэлье - системийг Гауссын аргыг ашиглан шийдвэрлэхэд таатай байхын тулд та дор хаяж хэдэн арван системийг сайн шийдэх хэрэгтэй.
Шийдэл ба хариултууд:
Жишээ 2:
Шийдэл:Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулцгаая.
Гүйцэтгэсэн үндсэн өөрчлөлтүүд:
(1) Эхний болон гурав дахь мөрүүдийг сольсон.
(2) Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, (-6) үржүүлсэн. Эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмээд (-7) үржүүлсэн.
(3) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, (-1) үржүүлсэн.
Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд маягтын мөрийг олж авдаг, Хаана λ ≠ 0 .Энэ нь систем тогтворгүй байна гэсэн үг.Хариулт: шийдэл байхгүй.
Жишээ 4:
Шийдэл:Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан үүнийг алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.
Гүйцэтгэсэн хөрвүүлэлт:
(1). 2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд, 3-аар үржүүлсэн эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж оруулав.
Хоёр дахь алхамын нэгж байхгүй байна , хувиргах (2) нь түүнийг олж авахад чиглэгддэг.
(2). Гурав дахь мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, -3-аар үржүүлсэн.
(3). Хоёр ба гурав дахь мөрүүдийг сольсон (бид үр дүнд нь -1-ийг хоёр дахь алхам руу шилжүүлсэн)
(4). Гурав дахь мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, 3-аар үржүүлсэн.
(5). Эхний хоёр мөрөнд тэмдэг өөрчлөгдсөн (-1-ээр үржүүлсэн), гурав дахь мөр нь 14-т хуваагдсан.
Урвуу:
(1). Энд нь үндсэн хувьсагч (алхам дээр байгаа) болон – чөлөөт хувьсагч (алхам аваагүй хүмүүс).
(2). Үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлье.
Гурав дахь тэгшитгэлээс: .
(3). Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье., хувийн шийдлүүд:
Хариулт: Нийтлэг шийдвэр: 
Нарийн төвөгтэй тоо
Энэ хэсэгт бид ойлголтыг танилцуулах болно нийлмэл тоо, авч үзэх алгебрийн, тригонометрТэгээд экспоненциал хэлбэрнийлмэл тоо. Мөн бид нийлмэл тоотой үйлдлүүдийг хэрхэн гүйцэтгэхийг сурах болно: нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, экспонентацилах, үндсийг задлах.
Нарийн төвөгтэй тоонуудыг эзэмшихийн тулд математикийн дээд курсээс тусгай мэдлэг шаардагддаггүй бөгөөд материалыг сургуулийн сурагчид хүртэл ашиглах боломжтой. "Энгийн" тоогоор алгебрийн үйлдлүүдийг хийж, тригонометрийг санахад хангалттай.
Эхлээд "энгийн" тоонуудыг санацгаая. Математикт тэдгээрийг нэрлэдэг бодит тоонуудын багцмөн үсгээр тодорхойлогддог R,эсвэл R (өтгөрүүлсэн). Бүх бодит тоонууд танил тооны шулуун дээр сууна:
Бодит тоонуудын компани нь маш олон янз байдаг - энд бүхэл тоо, бутархай, иррационал тоонууд байдаг. Энэ тохиолдолд тооны тэнхлэг дээрх цэг бүр нь тодорхой тооны бодит тоотой тохирч байх ёстой.
Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх нь шугаман алгебрийн үндсэн асуудлын нэг юм. Энэхүү асуудал нь шинжлэх ухаан, техникийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэглээний чухал ач холбогдолтой бөгөөд үүнээс гадна тооцооллын математик, математик физикийн олон алгоритмыг хэрэгжүүлэх, туршилтын судалгааны үр дүнг боловсруулахад туслах болно.
Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системдараах хэлбэрийн тэгшитгэлийн систем гэж нэрлэдэг: (1)
Хаана – үл мэдэгдэх; - чөлөөт гишүүд.
Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх(1) системд (1) үл мэдэгдэхийн оронд байрлуулсан аливаа тооны цуглуулгыг дуудах системийн бүх тэгшитгэлийг зөв тоон тэгшитгэл болгон хувиргадаг.
Тэгшитгэлийн системийг нэрлэдэг хамтарсан, хэрэв энэ нь ядаж нэг шийдэлтэй бол, ба хамтарсан бус, хэрэв шийдэл байхгүй бол.
нэгэн зэрэг тэгшитгэлийн систем гэж нэрлэдэг тодорхой, хэрэв энэ нь нэг өвөрмөц шийдэлтэй бол, ба тодорхойгүй, хэрэв энэ нь дор хаяж хоёр өөр шийдэлтэй бол.
Хоёр тэгшитгэлийн системийг нэрлэдэг тэнцүүэсвэл тэнцүү, хэрэв тэдгээр нь ижил шийдэлтэй бол.
Систем (1) гэж нэрлэдэг нэгэн төрлийн, хэрэв үнэ төлбөргүй нөхцөл тэг байвал: 
Нэг төрлийн систем нь үргэлж тогтвортой байдаг - энэ нь шийдэлтэй байдаг 
(магадгүй цорын ганц биш).
Хэрэв систем (1) байгаа бол бидэнд систем байна nшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх: 
Хаана –
үл мэдэгдэх;
- үл мэдэгдэх коэффициентүүд,
- чөлөөт гишүүд.
Шугаман систем нь нэг шийдэлтэй, хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл огт шийдэлгүй байж болно.
Хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье 
Хэрэв систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бол;
Хэрэв 
дараа нь системд шийдэл байхгүй;
Хэрэв 
тэгвэл систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй болно.
Жишээ.Систем нь хос тооны өвөрмөц шийдэлтэй
Систем нь хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй. Жишээлбэл, өгөгдсөн системийн шийдэл нь хос тоо гэх мэт.
Хоёр тооны зөрүү нь хоёр өөр утгыг авч чадахгүй тул системд шийдэл байхгүй.
Тодорхойлолт. Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогчхэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг:
.
Тодорхойлогчийг D тэмдгээр тэмдэглэнэ.
Тоонууд А 11, …, А 22-ыг тодорхойлогчийн элементүүд гэж нэрлэдэг.
Элементүүдээр үүсгэгдсэн диагональ А 11 ; А 22 гэж нэрлэдэг голэлементүүдээс үүссэн диагональ А 12 ; А 21 − тал
Ийнхүү хоёр дахь эрэмбийн тодорхойлогч нь үндсэн ба хоёрдогч диагональуудын элементүүдийн үржвэрийн зөрүүтэй тэнцүү байна.
Хариулт нь тоо гэдгийг анхаарна уу.
Жишээ.Тодорхойлогчдыг тооцоолъё:
Хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье. 
Хаана X 1,
X 2 –
үл мэдэгдэх; А 11 , …, А 22 - үл мэдэгдэх коэффициентүүд, б 1 , б 2 - чөлөөт гишүүд.
Хэрэв хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бол түүнийг хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогч ашиглан олж болно.
Тодорхойлолт.Үл мэдэгдэхийн коэффициентуудаас бүрдэх тодорхойлогчийг нэрлэнэ системийн тодорхойлогч: D=.
Тодорхойлогч D-ийн баганууд нь тус тусын коэффициентуудыг агуулна X 1 ба цагт , X 2. Хоёрыг танилцуулъя нэмэлт шалгуур үзүүлэлт,аль нэг баганыг чөлөөт гишүүн баганаар солих замаар системийн тодорхойлогчоос гаргаж авдаг: D 1 = D 2 =.
Теорем 14(Крамер, n=2 тохиолдолд).Хэрэв системийн тодорхойлогч D тэгээс ялгаатай (D¹0), систем нь дараах томъёог ашиглан олддог өвөрмөц шийдэлтэй болно. 
Эдгээр томъёог гэж нэрлэдэг Крамерын томъёо.
Жишээ.Крамерын дүрмийг ашиглан системийг шийдье. 
Шийдэл.Тоонуудыг олцгооё
Хариулт. 
Тодорхойлолт. Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчхэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг:
Элементүүд А 11; А 22 ; А 33 - үндсэн диагональ үүсгэдэг.
Тоонууд А 13; А 22 ; А 31 - хажуугийн диагональ үүсгэдэг.
Нэмэх тэмдэгтэй оруулгад дараахь зүйлс орно: үндсэн диагональ дээрх элементүүдийн үржвэр, үлдсэн хоёр гишүүн нь үндсэн диагональтай параллель суурьтай гурвалжны оройд байрлах элементүүдийн үржвэр юм. Хасах нэр томъёог хоёрдогч диагональтай ижил схемийн дагуу үүсгэнэ.
Жишээ.Тодорхойлогчдыг тооцоолъё:
Хаана –
үл мэдэгдэх;
- үл мэдэгдэх коэффициентүүд,
- чөлөөт гишүүд.
Өвөрмөц шийдийн хувьд гурван үл мэдэгдэх 3 шугаман тэгшитгэлийн системийг 3-р эрэмбийн тодорхойлогч ашиглан шийдэж болно.
D системийн тодорхойлогч нь дараах хэлбэртэй байна. 
Гурван нэмэлт тодорхойлогчийг танилцуулъя:
Теорем 15(Крамер, n=3 тохиолдолд).Хэрэв системийн тодорхойлогч D тэгээс ялгаатай бол систем нь Крамерын томъёог ашиглан олддог өвөрмөц шийдэлтэй болно.
Жишээ.Системээ шийдье 
Крамерын дүрмийн дагуу.
Шийдэл.Тоонуудыг олцгооё 
Крамерын томьёог ашиглаж анхны системийн шийдлийг олцгооё.
Хариулт.
Тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү, D системийн тодорхойлогч нь тэгээс өөр байх үед Крамерын теорем хэрэгжих боломжтой гэдгийг анхаарна уу.
Хэрэв системийн тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү бол энэ тохиолдолд систем нь шийдэлгүй эсвэл хязгааргүй тооны шийдтэй байж болно. Эдгээр тохиолдлуудыг тусад нь судалдаг.
Ганцхан тохиолдлыг тэмдэглэе. Хэрэв системийн тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү (D=0), нэмэлт тодорхойлогчдын ядаж нэг нь тэгээс өөр байвал системд шийдэл байхгүй, өөрөөр хэлбэл энэ нь нийцэхгүй байна.
Крамерын теоремыг системд нэгтгэж болно nшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх: 
Хаана –
үл мэдэгдэх;
- үл мэдэгдэх коэффициентүүд,
- чөлөөт гишүүд.
Мэдэгдэхгүй шугаман тэгшитгэлийн системийн тодорхойлогч бол 
Дараа нь Крамерын томъёог ашиглан системийн цорын ганц шийдлийг олно. 
Нэмэлт шалгуур үзүүлэлт 
Хэрэв тодорхойгүй байдлын коэффициентийн багана агуулсан бол D тодорхойлогчоос авна x iчөлөөт гишүүдийн баганаар солих.
Тодорхойлогч D, D 1 , … , D гэдгийг анхаарна уу nзахиалгатай байна n.
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын арга
Шугаман алгебр тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл аргуудын нэг бол үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга юм. -Гауссын арга. Энэ арга нь орлуулах аргын ерөнхий ойлголт бөгөөд нэг үл мэдэгдэх нэг тэгшитгэл үлдэх хүртэл үл мэдэгдэх зүйлсийг дараалан арилгахаас бүрдэнэ.
Энэ арга нь шугаман тэгшитгэлийн системийн зарим өөрчлөлт дээр суурилдаг бөгөөд үүний үр дүнд анхны системтэй дүйцэхүйц системийг бий болгодог. Аргын алгоритм нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ.
Эхний үе шат гэж нэрлэдэг шууд урагшааГауссын арга. Энэ нь тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгахаас бүрдэнэ. Үүнийг хийхийн тулд эхний алхамд системийн эхний тэгшитгэлийг хуваана (өөрөөр бол системийн тэгшитгэлийг дахин зохион байгуул). Тэд үүссэн бууруулсан тэгшитгэлийн коэффициентийг тэмдэглэж, үүнийг коэффициентээр үржүүлж, системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс хасч, улмаар хоёр дахь тэгшитгэлээс хасдаг (коэффицентийг тэглэх).
Үлдсэн тэгшитгэлүүдтэй ижил зүйлийг хийж, бүх тэгшитгэлийн хоёр дахь хэсгээс эхлэн коэффициентүүд нь зөвхөн тэг агуулсан шинэ системийг олж аваарай. Үүний үр дүнд бий болсон шинэ систем нь анхны системтэй дүйцэх нь ойлгомжтой.
Хэрэв шинэ коэффициентүүд нь бүгд тэгтэй тэнцүү биш бол тэдгээрийг гурав дахь болон дараагийн тэгшитгэлээс мөн адил хасаж болно. Дараах үл мэдэгдэх зүйлсийн хувьд энэ үйлдлийг үргэлжлүүлснээр системийг гурвалжин гэж нэрлэгддэг хэлбэрт оруулав. 
Энд тэмдэгтүүд нь хувиргалтын үр дүнд өөрчлөгдсөн тоон коэффициент ба чөлөөт нэр томъёог заана.
Системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх үлдэгдлийг өвөрмөц аргаар, дараа нь дараалсан орлуулалтаар тодорхойлно.
Сэтгэгдэл.Заримдаа хувиргалтын үр дүнд тэгшитгэлийн аль нэгэнд бүх коэффициент ба баруун тал нь тэг болж хувирдаг, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь 0=0 ижил утгатай болж хувирдаг. Ийм тэгшитгэлийг системээс хассанаар үл мэдэгдэх тоотой харьцуулахад тэгшитгэлийн тоог бууруулна. Ийм системд ганц шийдэл байж болохгүй.
Хэрэв Гауссын аргыг хэрэглэх явцад аливаа тэгшитгэл нь 0 = 1 хэлбэрийн тэгшитгэл болж хувирвал (үл мэдэгдэхгүй байдлын коэффициентүүд 0 болж, баруун тал нь тэгээс өөр утгыг авна) Анхны системд ямар ч шийдэл байхгүй, учир нь ийм тэгш байдал нь үл мэдэгдэх утгын хувьд худал байдаг.
Гурван үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье.
(2)
Хаана – үл мэдэгдэх; - үл мэдэгдэх коэффициентүүд, - чөлөөт гишүүд.
- Системүүд мшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх.
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх- энэ бол ийм тооны багц юм ( x 1 , x 2 , …, x n), системийн тэгшитгэл тус бүрийг орлуулах үед зөв тэгшитгэлийг олж авна.
Хаана a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n- системийн коэффициент;
b i , i = 1, …, m- чөлөөт гишүүд;
x j , j = 1, …, n- үл мэдэгдэх.
Дээрх системийг матриц хэлбэрээр бичиж болно: A X = B,
Хаана ( А|Б) нь системийн үндсэн матриц;
А- өргөтгөсөн системийн матриц;
X- үл мэдэгдэх багана;
Б- чөлөөт гишүүдийн багана.
Хэрэв матриц Бтэгвэл тэг матриц ∅ биш юм энэ системшугаман тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн бус гэж нэрлэдэг.
Хэрэв матриц Б= ∅ бол энэ шугаман тэгшитгэлийн системийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг. Нэг төрлийн системд үргэлж тэг (жижиг) шийдэл байдаг: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Шугаман тэгшитгэлийн хамтарсан системшийдэлтэй шугаман тэгшитгэлийн систем юм.
Шугаман тэгшитгэлийн үл нийцэх системнь шийдэгдээгүй шугаман тэгшитгэлийн систем юм.
Шугаман тэгшитгэлийн тодорхой системөвөрмөц шийдэлтэй шугаман тэгшитгэлийн систем юм.
Шугаман тэгшитгэлийн тодорхой бус системнь хязгааргүй тооны шийдтэй шугаман тэгшитгэлийн систем юм. - n үл мэдэгдэх n шугаман тэгшитгэлийн системүүд
Хэрэв үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тоотой тэнцүү бол матриц нь квадрат болно. Матрицын тодорхойлогчийг шугаман тэгшитгэлийн системийн үндсэн тодорхойлогч гэж нэрлэдэг бөгөөд Δ тэмдгээр тэмдэглэнэ.
Крамер аргасистемийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан nшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх.
Крамерын дүрэм.
Хэрэв шугаман тэгшитгэлийн системийн гол тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш бол систем нь тууштай, тодорхойлогддог бөгөөд цорын ганц шийдлийг Крамерын томъёогоор тооцоолно.
Энд Δ i нь системийн үндсэн тодорхойлогчоос Δ солих замаар олж авсан тодорхойлогч юм. би th баганаас чөлөөт гишүүдийн баганад. . - n үл мэдэгдэх m шугаман тэгшитгэлийн системүүд
Кронекер-Капелли теорем.
Өгөгдсөн шугаман тэгшитгэлийн систем тууштай байхын тулд системийн матрицын зэрэглэл нь системийн өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. дуугарав(Α) = дуугарлаа(Α|B).
Хэрэв дуугарав(Α) ≠ дуугарав(Α|B), тэгвэл системд шийдэл байхгүй нь ойлгомжтой.
Хэрэв дуугарав(Α) = дуугарлаа(Α|B), дараа нь хоёр тохиолдол боломжтой:
1) зэрэглэл(Α) = n(үл мэдэгдэх тоо) - шийдэл нь өвөрмөц бөгөөд Крамерын томъёог ашиглан олж авах боломжтой;
2) зэрэглэл(Α)< n - Хязгааргүй олон шийдэл байдаг. - Гауссын аргашугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан
Өргөтгөсөн матриц үүсгэцгээе ( А|Б) тодорхойгүй ба баруун талын коэффициентуудаас өгөгдсөн системийн.
Гауссын арга буюу үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах арга нь өргөтгөсөн матрицыг багасгахаас бүрдэнэ. А|Б) эгнээнээсээ диагональ хэлбэрт (дээд гурвалжин хэлбэрт) энгийн хувиргалтыг ашиглана. Тэгшитгэлийн систем рүү буцаж ирэхэд бүх үл мэдэгдэх зүйл тодорхойлогддог.
Мөр дээрх үндсэн хувиргалтуудад дараахь зүйлс орно.
1) хоёр мөрийг солих;
2) мөрийг 0-ээс өөр тоогоор үржүүлэх;
3) өөр тэмдэгт мөрийг дурын тоогоор үржүүлсэн мөрөнд нэмэх;
4) тэг шугамыг хаях.
Диагональ хэлбэрт оруулсан өргөтгөсөн матриц нь тохирч байна шугаман систем, үүнтэй дүйцэхүйц, шийдэл нь хүндрэл учруулахгүй. . - Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн систем.
Нэг төрлийн систем нь дараахь хэлбэртэй байна.
энэ нь матрицын тэгшитгэлтэй тохирч байна A X = 0.
1) Нэг төрлийн систем үргэлж тууштай байдаг, учир нь r(A) = r(A|B), үргэлж тэг шийдэл байдаг (0, 0, …, 0).
2) Нэг төрлийн систем тэгээс өөр шийдэлтэй байхын тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай. r = r(A)< n Δ = 0-тэй тэнцүү байна.
3) Хэрэв r< n , тэгвэл мэдээж Δ = 0, тэгвэл чөлөөт үл мэдэгдэх зүйлс үүснэ c 1 , c 2 , …, c n-r, систем нь өчүүхэн бус шийдлүүдтэй бөгөөд тэдгээр нь хязгааргүй олон байдаг.
4) Ерөнхий шийдэл Xцагт r< n матриц хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно.
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
шийдэл хаана байна X 1 , X 2 , …, X n-rшийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлнэ.
5) Уусмалын үндсэн системийг нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдлээс гаргаж авч болно.
,
хэрэв бид параметрийн утгуудыг (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1)-тэй тэнцүүлэх юм бол.
Шийдлийн үндсэн системийн хувьд ерөнхий шийдлийг өргөжүүлэхүндсэн системд хамаарах шийдлүүдийн шугаман хослол хэлбэрийн ерөнхий шийдлийн бичлэг юм.
Теорем. Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем тэгээс өөр шийдэлтэй байхын тулд Δ ≠ 0 байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
Тэгэхээр тодорхойлогч Δ ≠ 0 бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байна.
Хэрэв Δ ≠ 0 бол шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем хязгааргүй тооны шийдтэй байна.
Теорем. Нэг төрлийн систем тэгээс өөр шийдэлтэй байхын тулд энэ нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм r(A)< n .
Баталгаа:
1) rилүү байж болохгүй n(матрицын зэрэглэл нь багана, мөрийн тооноос хэтрэхгүй);
2) r< n , учир нь Хэрэв r = n, дараа нь системийн гол тодорхойлогч Δ ≠ 0 бөгөөд Крамерын томъёоны дагуу өвөрмөц өчүүхэн шийдэл байдаг. x 1 = x 2 = … = x n = 0, энэ нь нөхцөлтэй зөрчилдөж байна. гэсэн үг, r(A)< n .
Үр дагавар. Нэг төрлийн системийг бий болгохын тулд nшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх нь тэгээс өөр шийдэлтэй байсан тул Δ = 0 байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
Гэсэн хэдий ч практикт өөр хоёр тохиолдол өргөн тархсан байна:
– Систем нь тогтворгүй (шийдэл байхгүй);
– Систем нь тогтвортой бөгөөд хязгааргүй олон шийдэлтэй.
Анхаарна уу : "Тууштай байдал" гэсэн нэр томъёо нь системд ядаж тодорхой шийдэл байгаа гэсэн үг юм. Хэд хэдэн асуудлын хувьд эхлээд системийг нийцтэй эсэхийг шалгах шаардлагатай бөгөөд үүнийг хэрхэн хийх талаар нийтлэлийг үзнэ үү. матрицын зэрэглэл.
Эдгээр системүүдийн хувьд бүх шийдлийн аргуудаас хамгийн түгээмэл нь ашиглагддаг - Гауссын арга. Үнэн хэрэгтээ "сургууль" арга нь хариултыг өгөх болно, гэхдээ дээд математикт үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах Гауссын аргыг ашигладаг. Гауссын аргын алгоритмыг мэдэхгүй хүмүүс эхлээд хичээлээ судлаарай Даммигийн Гауссын арга.
Анхан шатны матрицын хувиргалтууд нь өөрөө яг адилхан, ялгаа нь шийдлийн төгсгөлд байх болно. Эхлээд системд ямар ч шийдэл байхгүй (зөрчил) байх хэд хэдэн жишээг авч үзье.
Жишээ 1
Энэ системийн талаар таны анхаарлыг юу шууд татдаг вэ? Тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчийн тооноос бага байна. Хэрэв тэгшитгэлийн тоо хувьсагчийн тооноос бага бол, дараа нь бид систем нь зөрчилтэй эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй гэж шууд хэлж чадна. Тэгээд олж мэдэх л үлдлээ.
Шийдлийн эхлэл нь ердийн зүйл юм - бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулдаг.
(1) Зүүн дээд талын алхам дээр бид +1 эсвэл -1 авах хэрэгтэй. Эхний баганад ийм тоо байхгүй тул мөрүүдийг дахин байрлуулах нь юу ч өгөхгүй. Нэгж нь өөрөө зохион байгуулалттай байх ёстой бөгөөд үүнийг хэд хэдэн аргаар хийж болно. Би үүнийг хийсэн: Эхний мөрөнд бид гурав дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлнэ.
(2) Одоо бид эхний баганад хоёр тэг авч байна. Хоёр дахь мөрөнд бид эхний мөрийг 3-аар үржүүлсэн тоог нэмнэ. Гурав дахь мөрөнд бид эхний мөрийг 5-аар үржүүлнэ.
(3) Өөрчлөлт дууссаны дараа үүссэн мөрүүдийг хялбарчлах боломжтой эсэхийг үргэлж харахыг зөвлөж байна уу? Чадах. Бид хоёр дахь мөрийг 2-оор хувааж, хоёр дахь алхам дээр шаардлагатай -1-ийг авдаг. Гурав дахь мөрийг -3-т хуваа.
(4) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмнэ.
Энгийн өөрчлөлтөөс үүдэлтэй муу зураасыг хүн бүр анзаарсан байх. 
. Ийм байж болохгүй нь ойлгомжтой. Үнэхээр бид үүссэн матрицыг дахин бичье 
Шугаман тэгшитгэлийн систем рүү буцах: 
Хэрэв анхан шатны хувиргалтын үр дүнд тэгээс өөр тоо байгаа хэлбэрийн мөрийг олж авбал систем нь нийцэхгүй байна (шийдэл байхгүй).
Даалгаврын төгсгөлийг хэрхэн бичих вэ? Цагаан шохойгоор зурцгаая: "Эхний хувиргалтуудын үр дүнд "хэлбэрийн тэмдэгт" гарч ирээд хариултыг өгнө үү: системд шийдэл байхгүй (зөрчил).
Хэрэв нөхцөл байдлын дагуу системийн нийцтэй байдлын талаар СУДАЛГАА хийх шаардлагатай бол уг ойлголтыг ашиглан шийдлийг илүү хатуу хэв маягаар албан ёсны болгох шаардлагатай. матрицын зэрэглэл ба Кронекер-Капелли теорем.
Энд Гауссын алгоритмыг буцаах арга байхгүй гэдгийг анхаарна уу - ямар ч шийдэл байхгүй, зүгээр л олох зүйл алга.
Жишээ 2
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд
Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Таны шийдэл миний шийдлээс ялгаатай байж магадгүй гэдгийг би дахин сануулж байна; Гауссын алгоритм нь хатуу "хатуу" биш юм.
Шийдлийн өөр нэг техникийн шинж чанар: энгийн хувиргалтыг зогсоож болно Нэг удаа, хаана гэх мэт мөр гармагц . Нөхцөлтэй жишээг авч үзье: эхний хувиргалт хийсний дараа матрицыг олж авлаа гэж бодъё 
. Матрицыг эшелон хэлбэрт хараахан бууруулаагүй байгаа боловч хэлбэрийн шугам гарч ирсэн тул цаашид энгийн хувиргалт хийх шаардлагагүй болно. Систем таарахгүй байна гэсэн хариултыг нэн даруй өгөх ёстой.
Шугаман тэгшитгэлийн системд шийдэл байхгүй бол энэ нь богино хэмжээний шийдлийг заримдаа 2-3 алхамаар олж авдаг тул энэ нь бараг бэлэг юм.
Гэхдээ энэ ертөнцийн бүх зүйл тэнцвэртэй бөгөөд систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй асуудал нь илүү урт юм.
Жишээ 3
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд 
4 тэгшитгэл, 4 үл мэдэгдэх систем байдаг тул систем нь нэг шийдэлтэй, эсвэл шийдэлгүй, эсвэл хязгааргүй олон шийдтэй байж болно. Гэсэн хэдий ч Гауссын арга нь ямар ч тохиолдолд биднийг хариулт руу хөтөлнө. Энэ бол түүний олон талт байдал юм.
Эхлэл нь дахин стандарт юм. Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан үүнийг алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя. 
Ингээд л та нар айсан.
(1) Эхний баганад байгаа бүх тоо 2-т хуваагддаг тул зүүн дээд буланд 2 байвал зүгээр гэдгийг анхаарна уу. Хоёр дахь мөрөнд бид эхний мөрийг нэмж, -4-ээр үржүүлнэ. Гурав дахь мөрөнд бид эхний мөрийг нэмж, -2-оор үржүүлнэ. Дөрөв дэх мөрөнд бид эхний мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлнэ.
Анхаар!Дөрөв дэх мөрөнд олон хүн уруу татагдаж магадгүй хасахэхний мөр. Үүнийг хийж болно, гэхдээ энэ нь шаардлагагүй, туршлагаас харахад тооцоололд алдаа гарах магадлал хэд хэдэн удаа нэмэгддэг. Зүгээр л нэмнэ үү: Дөрөв дэх мөрөнд эхний мөрийг -1 -ээр үржүүлээд нэмнэ үү. яг!
(2) Сүүлийн гурван мөр нь пропорциональ, хоёрыг нь устгаж болно.
Энд бид дахин харуулах хэрэгтэй анхаарал нэмэгдсэн, гэхдээ шугамууд үнэхээр пропорциональ уу? Аюулгүй байхын тулд (ялангуяа цайны аяганд) хоёр дахь мөрийг -1-ээр үржүүлж, дөрөв дэх мөрийг 2-оор хуваавал гурван ижил зураас гарах нь зүйтэй юм. Үүний дараа л хоёрыг нь хас.
Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн үр дүнд системийн өргөтгөсөн матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулав. 
Даалгаврыг дэвтэрт бичихдээ тодорхой болгохын тулд харандаагаар ижил тэмдэглэл хийхийг зөвлөж байна.
Харгалзах тэгшитгэлийн системийг дахин бичье. 
Энд системийн "ердийн" нэг шийдлийн үнэр алга. Муу шугам ч байхгүй. Энэ нь үлдсэн гурав дахь тохиолдол гэсэн үг юм - систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй. Заримдаа нөхцөл байдлын дагуу системийн нийцтэй байдлыг судлах шаардлагатай байдаг (жишээ нь шийдэл нь огт байгаа эсэхийг нотлох), та энэ тухай өгүүллийн сүүлийн догол мөрөөс уншиж болно. Матрицын зэрэглэлийг хэрхэн олох вэ?Гэхдээ одоо үндсэн ойлголтуудыг авч үзье:
Системийн шийдлүүдийн хязгааргүй багцыг товчхон гэж нэрлэгддэг хэлбэрээр бичдэг системийн ерөнхий шийдэл .
Гауссын аргын урвуу аргыг ашиглан системийн ерөнхий шийдлийг олно.
Эхлээд бид ямар хувьсагчтай болохыг тодорхойлох хэрэгтэй үндсэн, ямар хувьсагч үнэгүй. Шугаман алгебрийн нэр томъёонд өөрийгөө зовоох шаардлагагүй, ийм зүйл байдаг гэдгийг санаарай үндсэн хувьсагчТэгээд чөлөөт хувьсагч.
Үндсэн хувьсагч нь үргэлж матрицын алхам дээр "сууж" байдаг.
Энэ жишээнд үндсэн хувьсагч нь ба байна
Үнэгүй хувьсагч нь бүх зүйл юм үлдсэналхам хүлээн аваагүй хувьсагч. Манай тохиолдолд тэдгээрийн хоёр нь байна: – чөлөөт хувьсагч.
Одоо танд хэрэгтэй Бүгд үндсэн хувьсагчилэрхийлэх зөвхөн дамжуулан чөлөөт хувьсагч.
Гауссын алгоритмын урвуу нь уламжлал ёсоор доороос дээш ажилладаг.
Системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс бид үндсэн хувьсагчийг илэрхийлнэ.
Одоо эхний тэгшитгэлийг харна уу: 
. Эхлээд бид олсон илэрхийлэлийг үүн дээр орлуулна: 
Үндсэн хувьсагчийг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлэх хэвээр байна: 
Эцэст нь бид хэрэгтэй зүйлээ авсан - Бүгдүндсэн хувьсагчдыг ( ба ) илэрхийлнэ зөвхөн дамжууланчөлөөт хувьсагч: 
Үнэндээ ерөнхий шийдэл бэлэн байна: 
Ерөнхий шийдлийг хэрхэн зөв бичих вэ?
Чөлөөт хувьсагчдыг ерөнхий шийдэлд "өөрөө" болон байранд нь хатуу бичдэг. Энэ тохиолдолд чөлөөт хувьсагчдыг хоёр, дөрөв дэх байрлалд бичнэ. 
.
Үндсэн хувьсагчийн үр дүнгийн илэрхийлэл 
эхний болон гуравдахь байрлалд бичих шаардлагатай байгаа нь ойлгомжтой. 
Үнэгүй хувьсагч өгөх дурын утгууд, та хязгааргүй олон зүйлийг олох боломжтой хувийн шийдлүүд. Тодорхой шийдэл нь олж авахад хамгийн хялбар байдаг тул хамгийн алдартай утгууд нь тэг юм. Ерөнхий шийдлийг орлъё: 
- хувийн шийдэл.
Өөр нэг сайхан хос бол тэдгээрийг ерөнхий шийдэл болгон орлъё: 
- өөр нэг хувийн шийдэл.
Тэгшитгэлийн систем нь байгааг харахад хялбар байдаг хязгааргүй олон шийдэл(Бид үнэгүй хувьсагчийг өгч чадах тул ямар чүнэ цэнэ)
Тус бүртодорхой шийдэл нь хангасан байх ёстой тус бүртсистемийн тэгшитгэл. Энэ нь шийдлийн зөв эсэхийг "хурдан" шалгах үндэс суурь юм. Жишээлбэл, тодорхой шийдлийг авч, анхны системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд орлуулна уу. 
Бүх зүйл хамтдаа байх ёстой. Таны хүлээн авсан аливаа тодорхой шийдэлд бүх зүйл тохирсон байх ёстой.
Гэхдээ хатуухан хэлэхэд тодорхой шийдлийг шалгах нь заримдаа хууран мэхлэх явдал юм. Зарим тодорхой шийдэл нь системийн тэгшитгэл бүрийг хангаж болох боловч ерөнхий шийдэл нь өөрөө буруу олддог.
Тиймээс ерөнхий шийдлийг шалгах нь илүү нарийн бөгөөд найдвартай байдаг. Үүссэн ерөнхий шийдлийг хэрхэн шалгах вэ 
?
Энэ нь хэцүү биш, гэхдээ нэлээд уйтгартай. Бид илэрхийлэл авах хэрэгтэй үндсэнхувьсагч, энэ тохиолдолд 
ба , мөн тэдгээрийг системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд орлуулна.
Системийн эхний тэгшитгэлийн зүүн талд: 
Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд: 
Анхны тэгшитгэлийн баруун талыг олж авна.
Жишээ 4
Гауссын аргыг ашиглан системийг шийд. Ерөнхий шийдэл ба хоёр тусгай шийдлийг олоорой. Ерөнхий шийдлийг шалгана уу. 
Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Энд, дашрамд хэлэхэд, дахин тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тооноос бага байгаа нь систем нь зөрчилтэй эсвэл хязгааргүй тооны шийдлүүдтэй байх нь шууд тодорхой болно гэсэн үг юм. Шийдвэр гаргах үйл явцад юу чухал вэ? Анхаарал, дахин анхаарал. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.
Материалыг бэхжүүлэх хэд хэдэн жишээ
Жишээ 5
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд. Хэрэв системд хязгааргүй олон шийдэл байгаа бол хоёр тусгай шийдлийг олж, ерөнхий шийдлийг шалгана уу 
Шийдэл: Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя. 
(1) Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмнэ. Гурав дахь мөрөнд бид 2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ. Дөрөв дэх мөрөнд бид эхний мөрийг 3-аар үржүүлнэ.
(2) Гурав дахь мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж, -5-аар үржүүлнэ. Дөрөв дэх мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж, -7-оор үржүүлнэ.
(3) Гурав, дөрөв дэх мөр нь адилхан, бид тэдгээрийн аль нэгийг нь устгана.
Энэ бол ийм гоо үзэсгэлэн юм: 
Үндсэн хувьсагч нь шат дээр суудаг тул үндсэн хувьсагч болно.
Алхам аваагүй цорын ганц чөлөөт хувьсагч байна:
Урвуу:
Үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлье.
Гурав дахь тэгшитгэлээс: 
Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзээд олсон илэрхийлэлийг түүнд орлъё. 
Эхний тэгшитгэлийг авч үзээд олсон илэрхийлэлүүдийг орлуулъя. 
Тиймээ, энгийн бутархайг тооцдог тооны машин тохиромжтой хэвээр байна.
Тиймээс ерөнхий шийдэл нь: 
Дахин хэлэхэд энэ нь яаж болсон бэ? Чөлөөт хувьсагч дангаараа дөрөв дэх байрандаа сууж байна. Үндсэн хувьсагчийн үр дүнгийн илэрхийллүүд нь мөн адил байр сууриа эзэлдэг.
Ерөнхий шийдлийг нэн даруй шалгацгаая. Ажил нь хар арьстнуудад зориулагдсан, гэхдээ би үүнийг аль хэдийн хийчихсэн тул үүнийг барьж аваарай =)
Бид системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд гурван баатрыг , , орлуулна.
Тэгшитгэлийн баруун талын харгалзах талуудыг олж авсан тул ерөнхий шийдийг зөв олно.
Одоо олдсон ерөнхий шийдлээс 
Бид хоёр тусгай шийдлийг олж авдаг. Энд байгаа цорын ганц үнэгүй хувьсагч бол тогооч юм. Тархиа шаналах шаардлагагүй.
Тэгээд байг 
- хувийн шийдэл.
Тэгээд байг 
- өөр нэг хувийн шийдэл.
Хариулах: Нийтлэг шийдвэр: 
, хувийн шийдлүүд: 
, .
Би хар арьстнуудын тухай санах ёсгүй байсан юм... ... учир нь янз бүрийн гунигтай санаанууд толгойд орж ирэн, хар хөлбөмбөгчний араас цагаан дээлтэй Ку Клукс Клансменууд талбай дээгүүр гүйж байсан алдартай фотошопыг санав. Би чимээгүйхэн суугаад инээмсэглэнэ. Хэр их анхаарал сарниулдгийг чи мэднэ...
Маш олон тооны математик нь хортой тул үүнийг өөрөө шийдэх эцсийн жишээ юм.
Жишээ 6
Шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдийг ол. 
Би ерөнхий шийдлийг аль хэдийн шалгаж үзсэн тул хариулт нь итгэж болно. Таны шийдэл миний шийдлээс ялгаатай байж магадгүй, гол зүйл бол ерөнхий шийдлүүд давхцаж байгаа явдал юм.
Магадгүй олон хүмүүс шийдэлд тааламжгүй мөчийг анзаарсан байх: Гауссын аргын урвуу явцад бид ердийн бутархай хэсгүүдтэй ажиллах шаардлагатай болдог. Практикт энэ нь үнэхээр тийм байдаг; бутархай байхгүй тохиолдол хамаагүй бага тохиолддог. Оюун санааны хувьд, хамгийн чухал нь техникийн хувьд бэлтгэлтэй байх.
Шийдвэрлэсэн жишээн дээр олдоогүй шийдлийн зарим шинж чанарууд дээр би анхаарлаа хандуулах болно.
Системийн ерөнхий шийдэлд заримдаа тогтмол (эсвэл тогтмол) орно, жишээ нь: . Энд үндсэн хувьсагчдын нэг нь тогтмол тоотой тэнцүү байна: . Үүнд чамин зүйл байхгүй, ийм зүйл тохиолддог. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд аливаа тодорхой шийдэл нь эхний байрлалд тавыг агуулна.
Ховор, гэхдээ ийм системүүд байдаг тэгшитгэлийн тоо хувьсагчийн тооноос их байна. Гауссын арга нь хамгийн хүнд нөхцөлд ажилладаг бөгөөд стандарт алгоритмын тусламжтайгаар системийн өргөтгөсөн матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулах хэрэгтэй. Ийм систем нь үл нийцэх, хязгааргүй олон шийдэлтэй, хачирхалтай нь нэг шийдэлтэй байж болно.
