المحيط هو الكمية التي تشير إلى طول جميع جوانب الشكل الهندسي المسطح (ثنائي الأبعاد). بالنسبة للأشكال الهندسية المختلفة، هناك طرق مختلفة للعثور على المحيط.
ستتعلم في هذه المقالة كيفية العثور على محيط الشكل بطرق مختلفة، اعتمادًا على أوجهه المعروفة.
الطرق الممكنة:
- جميع الأضلاع الثلاثة لمتساوي الساقين أو أي مثلث آخر معروفة؛
- كيفية العثور على محيط المثلث القائم بمعلومية وجهيه المعروفين؛
- وجهان والزاوية الواقعة بينهما (صيغة جيب التمام) بدون خط الوسط والارتفاع معروفة.
الطريقة الأولى: معرفة جميع جوانب الشكل
كيفية العثور على محيط المثلث عندما تكون الوجوه الثلاثة معروفة، يجب عليك استخدام الصيغة التالية: P = a + b + c، حيث a,b,c هي الأطوال المعروفة لجميع أضلاع المثلث، P هو محيط الشكل.
على سبيل المثال، ثلاثة جوانب من الشكل معروفة: أ = 24 سم، ب = 24 سم، ج = 24 سم. هذا شكل متساوي الساقين منتظم لحساب المحيط، نستخدم الصيغة: P = 24 + 24 + 24 = 72 سم.
تنطبق هذه الصيغة على أي مثلث.كل ما عليك فعله هو معرفة أطوال جميع أضلاعه. إذا كان واحد منهم على الأقل غير معروف، فأنت بحاجة إلى استخدام طرق أخرى، والتي سنناقشها أدناه.
مثال آخر: أ = 15 سم، ب = 13 سم، ج = 17 سم، احسب المحيط: P = 15 + 13 + 17 = 45 سم.
من المهم جدًا تحديد وحدة القياس في الإجابة التي تتلقاها. في أمثلةنا، يتم الإشارة إلى أطوال الجوانب بالسنتيمتر (سم)، ومع ذلك، هناك مهام مختلفة توجد فيها وحدات قياس أخرى.
الطريقة الثانية: المثلث القائم وضلعيه المعلومين
في حالة إعطاء المهمة التي يجب حلها شكلًا مستطيلًا، يكون طول وجهين منه معروفًا، ولكن الوجه الثالث ليس كذلك، فمن الضروري استخدام نظرية فيثاغورس.
يصف العلاقة بين وجوه المثلث القائم الزاوية. الصيغة التي تصفها هذه النظرية هي واحدة من النظريات الأكثر شهرة والأكثر استخداما في الهندسة. إذن النظرية نفسها:
يتم وصف أضلاع أي مثلث قائم بالمعادلة التالية: a^2 + b^2 = c^2، حيث a وb هما أضلاع الشكل، وc هو الوتر.
- الوتر. يقع دائمًا مقابل الزاوية القائمة (90 درجة)، وهو أيضًا أطول حافة للمثلث. من المعتاد في الرياضيات الإشارة إلى الوتر بالحرف c.
- الساقين- هذه هي حواف المثلث القائم الزاوية التي تنتمي إلى الزاوية القائمة، ويُشار إليها بالحرفين a وb. إحدى الأرجل هي أيضًا ارتفاع الشكل.
وبالتالي، إذا كانت شروط المشكلة تحدد طولي وجهين من الوجوه الثلاثة لهذا الشكل الهندسي، فباستخدام نظرية فيثاغورس من الضروري إيجاد بعد الوجه الثالث، ثم استخدام الصيغة من الطريقة الأولى.
على سبيل المثال، نحن نعرف طول ساقين: أ = 3 سم، ب = 5 سم، عوّض بالقيم في النظرية: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2. => 25 = c ^2 => c = 5 سم، إذن، الوتر لمثل هذا المثلث هو 5 سم. بالمناسبة، هذا المثال هو الأكثر شيوعًا ويسمى. بمعنى آخر، إذا كان طول ساقي الشكل 3 سم و4 سم، فإن طول الوتر سيكون 5 سم، على التوالي.
إذا كان طول أحد الأرجل غير معروف، فمن الضروري تحويل الصيغة على النحو التالي: c^2 – a^2 = b^2. والعكس بالنسبة للساق الأخرى.
دعونا نواصل مع المثال. أنت الآن بحاجة إلى الرجوع إلى الصيغة القياسية لإيجاد محيط الشكل: P = a + b + c. في حالتنا: P = 3 + 4 + 5 = 12 سم.
الطريقة الثالثة: على الوجهين والزاوية بينهما
في المدرسة الثانوية، وكذلك الجامعة، غالبا ما يتعين عليك اللجوء إلى هذه الطريقة للعثور على المحيط. إذا كانت شروط المسألة تحدد طولي الضلعين، وكذلك بعد الزاوية بينهما، إذن تحتاج إلى استخدام نظرية جيب التمام.
تنطبق هذه النظرية على أي مثلث، مما يجعلها واحدة من أكثر النظريات فائدة في الهندسة. تبدو النظرية نفسها كما يلي: c^2 = a^2 + b^2 – (2 * a * b * cos(C)) حيث a,b,c هي الأطوال القياسية للوجوه، وA,B و C هي الزوايا المقابلة للأوجه المقابلة للمثلث. أي أن A هي الزاوية المقابلة للضلع A وهكذا.
لنتخيل أنه تم وصف مثلث يبلغ طول ضلعيه أ و ب 100 سم و 120 سم على التوالي، والزاوية بينهما 97 درجة. أي أن أ = 100 سم، ب = 120 سم، ج = 97 درجة.
كل ما عليك فعله في هذه الحالة هو استبدال جميع القيم المعروفة في نظرية جيب التمام. يتم تربيع أطوال الأوجه المعلومة، وبعد ذلك يتم ضرب الأضلاع المعلومة فيما بينها وباثنين، وضربها في جيب تمام الزاوية بينهما. بعد ذلك، تحتاج إلى إضافة مربعات الوجوه وطرح القيمة الثانية التي تم الحصول عليها منها. يتم أخذ الجذر التربيعي من القيمة النهائية - وسيكون هذا هو الجانب الثالث غير المعروف سابقًا.
بعد معرفة جميع جوانب الشكل الثلاثة، يبقى استخدام الصيغة القياسية للعثور على محيط الشكل الموصوف من الطريقة الأولى التي نحبها بالفعل.
المثلث القائم هو المثلث الذي تكون فيه إحدى الزوايا 90 درجة والاثنتين الأخريين زاويتان حادتان. عملية حسابية محيطهذه مثلثسيعتمد على عدد البيانات المعروفة عنه.
سوف تحتاج
- حسب الحالة، مهارة 2 من أضلاع المثلث الثلاثة، بالإضافة إلى إحدى زواياه الحادة.
تعليمات
1. الطريقة الأولى: إذا كانت الجهات الثلاثة مشهورة مثلثإذن، بغض النظر عما إذا كان المثلث قائم الزاوية أم لا، سيتم حساب محيطه على النحو التالي: P = a + b + c، حيث من المحتمل أن يكون c هو الوتر و a و b هما الساقين.
2. الطريقة الثانية. إذا كان هناك ضلعان فقط معروفان في المستطيل، فباستخدام نظرية فيثاغورس، يكون محيط هذا المستطيل مثلثيمكن حسابها باستخدام الصيغة: P = v(a2 + b2) + a + b، أو P = v(c2 – b2) + b + c.
3. الطريقة الثالثة. إذا تم إعطاء الوتر c والزاوية الحادة في المثلث القائم، فسيكون من الممكن العثور على المحيط بهذه الطريقة: P = (1 + sin? + cos?)*c.
4. الطريقة الرابعة: علماً بأن طول أحد الأرجل في المثلث القائم يساوي أ، وفي مقابله تقع زاوية حادة؟. ثم الحساب محيطهذا مثلثسيتم تنفيذها وفقًا للصيغة: P = a*(1/tg ? + 1/sin ? + 1)
5. الطريقة الخامسة: ندخل الساق أ والزاوية المجاورة لها؟، ثم سيتم حساب المحيط على النحو التالي: P = a*(1/сtg ? + 1/cos ? + 1)
فيديو حول الموضوع
أحد الأشكال الهندسية الأساسية هو المثلث. يتم تشكيلها عند تقاطع ثلاثة أجزاء مستقيمة. تشكل هذه المقاطع المستقيمة جوانب الشكل، وتسمى نقاط تقاطعها بالقمم. يجب على كل طالب يدرس مقررًا في الهندسة أن يكون قادرًا على إيجاد محيط هذا الشكل. ستكون المهارة المكتسبة مفيدة للكثيرين في حياة البالغين، على سبيل المثال، ستكون مفيدة للطالب أو المهندس أو البناء،
هناك طرق مختلفة للعثور على محيط المثلث. يعتمد اختيار الصيغة التي تحتاجها على البيانات المصدر المتاحة. لكتابة هذه القيمة في المصطلحات الرياضية، يتم استخدام تدوين خاص - P. دعونا ننظر في ما هو المحيط، والطرق الرئيسية لحسابه للأشكال الثلاثية من أنواع مختلفة.
أسهل طريقة للعثور على محيط الشكل هي إذا كانت لديك بيانات من جميع جوانبه. وفي هذه الحالة يتم استخدام الصيغة التالية:
يشير الحرف "P" إلى المحيط نفسه. بدورها، "أ" و"ب" و"ج" هي أطوال الجوانب.
وبمعرفة حجم الكميات الثلاث، يكفي الحصول على مجموعها، وهو المحيط.
الخيار البديل
في المسائل الرياضية، نادرًا ما تُعرف جميع الأطوال المعطاة. وفي مثل هذه الحالات، يوصى باستخدام طريقة بديلة للبحث عن القيمة المطلوبة. وعندما تشير الشروط إلى طول خطين مستقيمين، وكذلك الزاوية بينهما، يتم الحساب بالبحث عن الثالث. للعثور على هذا الرقم، عليك إيجاد الجذر التربيعي باستخدام الصيغة:
.
محيط على كلا الجانبين
لحساب المحيط، ليس من الضروري معرفة جميع بيانات الشكل الهندسي. دعونا نفكر في طرق الحساب على كلا الجانبين.
مثلث متساوي الساقين
المثلث متساوي الساقين هو المثلث الذي يكون فيه ضلعان على الأقل لهما نفس الطول. يطلق عليهم الجانب، والجانب الثالث يسمى القاعدة. الخطوط المستقيمة المتساوية تشكل زاوية رأسية. من السمات الخاصة للمثلث متساوي الساقين وجود محور تناظر واحد. المحور عبارة عن خط رأسي يمتد من الزاوية القمية وينتهي في منتصف القاعدة. يتضمن محور التماثل في جوهره المفاهيم التالية:
- منصف زاوية قمة الرأس؛
- متوسط إلى القاعدة؛
- ارتفاع المثلث
- متوسط عمودي.
لتحديد محيط الشكل الثلاثي متساوي الساقين، استخدم الصيغة.
في هذه الحالة، ما عليك سوى معرفة كميتين: القاعدة وطول أحد الأضلاع. يشير التعيين "2a" إلى ضرب طول الجانب بـ 2. إلى الشكل الناتج، تحتاج إلى إضافة قيمة القاعدة - "b".
في حالة استثنائية، عندما يكون طول قاعدة مثلث متساوي الساقين مساويًا لخطه الجانبي، يمكنك استخدام طريقة أبسط. ويتم التعبير عنها بالصيغة التالية:
للحصول على النتيجة، ما عليك سوى ضرب هذا الرقم بثلاثة. تُستخدم هذه الصيغة للعثور على محيط المثلث متساوي الأضلاع.
فيديو مفيد: مسائل على محيط المثلث
مثلث قائم
الفرق الرئيسي بين المثلث القائم والأشكال الهندسية الأخرى في هذه الفئة هو وجود زاوية قدرها 90 درجة. وبناء على هذه الخاصية يتم تحديد نوع الشكل. قبل تحديد كيفية إيجاد محيط المثلث القائم الزاوية، تجدر الإشارة إلى أن هذه القيمة لأي شكل هندسي مسطح هي مجموع جميع أضلاعه. لذا، في هذه الحالة، أسهل طريقة لمعرفة النتيجة هي جمع الكميات الثلاث.
في المصطلحات العلمية، تسمى تلك الجوانب المجاورة للزاوية القائمة "الأرجل"، وتلك المقابلة للزاوية 90 درجة تسمى الوتر. تمت دراسة ملامح هذا الشكل من قبل العالم اليوناني القديم فيثاغورس. وفقا لنظرية فيثاغورس، فإن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين.
.
بناءً على هذه النظرية، تم اشتقاق صيغة أخرى تشرح كيفية إيجاد محيط المثلث باستخدام ضلعين معروفين. يمكنك حساب محيط الطول المحدد للأرجل باستخدام الطريقة التالية.
.
لمعرفة المحيط، والحصول على معلومات حول حجم ساق واحدة والوتر، تحتاج إلى تحديد طول الوتر الثاني. ولهذا الغرض، يتم استخدام الصيغ التالية:
.
كما يتم تحديد محيط نوع الشكل الموصوف بدون بيانات عن أبعاد الأرجل.
سوف تحتاج إلى معرفة طول الوتر، وكذلك الزاوية المجاورة له. بمعرفة طول أحد الأرجل، إذا كانت هناك زاوية مجاورة لها، يتم حساب محيط الشكل باستخدام الصيغة:
.
الحساب عن طريق الارتفاع
يمكنك حساب محيط الفئات مثل متساوي الساقين والمثلثات القائمة باستخدام مؤشر خط الوسط الخاص بها. كما تعلم، فإن ارتفاع المثلث يقسم قاعدته إلى النصف. وبذلك يشكل شكلين مستطيلين. بعد ذلك، يتم حساب المؤشر المطلوب باستخدام نظرية فيثاغورس. ستبدو الصيغة كما يلي:
.
إذا كنت تعرف ارتفاع ونصف القاعدة، باستخدام هذه الطريقة سوف تحصل على الرقم الذي تحتاجه دون البحث عن بقية البيانات حول الشكل.
فيديو مفيد: إيجاد محيط المثلث
المثلث القائم هو المثلث الذي تكون إحدى زاويتيه 90 درجة والاثنتين الأخريين زاويتان حادتان. حساب محيط هذا مثلثسيعتمد على كمية البيانات المعروفة عنها.
سوف تحتاج
- وبحسب الحالة، معرفة ضلعين من أضلاع المثلث الثلاثة، وكذلك إحدى زواياه الحادة.
تعليمات
- الطريقة الأولى: إذا كانت الجوانب الثلاثة معروفة مثلثإذن، بغض النظر عما إذا كان المثلث قائم الزاوية أم لا، فسيتم حساب محيطه على النحو التالي:
P = أ + ب + ج، حيث، دعنا نقول،
ج - الوتر.
أ و ب أرجل. - الطريقة الثانية. إذا كان هناك ضلعان فقط معروفان في المستطيل، فباستخدام نظرية فيثاغورس، يكون محيط هذا المستطيل مثلثيمكن حسابها باستخدام الصيغة:
ف = ت(أ2 + ب2) + أ + ب، أو
ف = ت(ج2 – ب2) + ب + ج. - الطريقة الثالثة: افترض أن الوتر c والزاوية الحادة ؟
ع = (1 + خطيئة؟ + جتا؟)*س. - الطريقة الرابعة: علماً بأن طول أحد الأرجل في المثلث القائم يساوي أ، وفي مقابله تقع زاوية حادة؟. ثم حساب محيط هذا مثلثسيتم تنفيذها وفقًا للصيغة:
P = أ*(1/tg ؟ + 1/الخطيئة ؟ + 1) - الطريقة الخامسة: دعنا نعرف الضلع أ والزاوية المجاورة له؟، ثم يتم حساب المحيط على النحو التالي:
P = أ*(1/сtg ? + 1/cos ? + 1)
محيط المثلثكما هو الحال مع أي شكل، يسمى مجموع أطوال جميع الجوانب. في كثير من الأحيان، تساعد هذه القيمة في العثور على المنطقة أو يتم استخدامها لحساب معلمات الشكل الأخرى.
تبدو صيغة محيط المثلث كما يلي:
مثال لحساب محيط المثلث. لنفترض أن مثلثًا أضلاعه أ = 4 سم، ب = 6 سم، ج = 7 سم. عوّض بالبيانات في الصيغة: سم
صيغة لحساب المحيط مثلث متساوي الساقينسوف تبدو مثل هذا:
صيغة لحساب المحيط مثلث متساوي الاضلاع:
مثال لحساب محيط مثلث متساوي الأضلاع. عندما تكون جميع جوانب الشكل متساوية، يمكن ببساطة ضربها في ثلاثة. لنفترض أن لدينا مثلثًا منتظمًا طول ضلعه 5 سم في هذه الحالة: سم
بشكل عام، بمجرد تحديد جميع الجوانب، يصبح العثور على المحيط أمرًا بسيطًا للغاية. في حالات أخرى، تحتاج إلى العثور على حجم الجانب المفقود. في المثلث الأيمن يمكنك العثور على الجانب الثالث نظرية فيثاغورس. على سبيل المثال، إذا كانت أطوال الساقين معروفة، فيمكنك العثور على الوتر باستخدام الصيغة: 
لنأخذ مثالاً لحساب محيط مثلث متساوي الساقين، بشرط أن نعرف طول أضلاع المثلث المتساوي الساقين القائم.
إذا كان لديك مثلث ذو أرجل أ = ب = 5 سم، فأوجد محيطه. أولا، دعونا نجد الجانب المفقود ج. سم
الآن دعونا نحسب المحيط: سم
محيط المثلث متساوي الساقين القائم سيكون ١٧ سم.
في حالة معرفة الوتر وطول إحدى الساقين، يمكنك العثور على الساق المفقودة باستخدام الصيغة: 
إذا كان الوتر وإحدى الزوايا الحادة معروفين في مثلث قائم، فسيتم إيجاد الضلع المفقود باستخدام الصيغة.
