دورية ظل التمام. جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام - كل ما تحتاج إلى معرفته في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات. مجال التعريف والقيم، القصوى، الزيادة، النقصان

ومن الرسوم البيانية يتضح أن:

تتقلب الرسوم البيانية لجيب الجيب وجيب التمام بين -1 و1
منحنى جيب التمام له نفس شكل منحنى الجيب، لكنه ينزاح بالنسبة إليه بمقدار 90 درجة
منحنيات الجيب وجيب التمام متواصلة ومتكررة بفترة 360 درجة، ومنحنى الظل متقطع ومتكرر بفترة 180 درجة.

في التين. على اليسار المحاور المتعامدة XX" وYY"؛ تتقاطع عند أصل الإحداثيات O. عند العمل مع الرسوم البيانية، تعتبر القياسات إلى اليمين وما فوق من O إيجابية، إلى اليسار والأسفل من O تعتبر سلبية. دع OA يدور بحرية بالنسبة إلى O. عندما يتم تدوير OA عكس اتجاه عقارب الساعة، تعتبر الزاوية المقاسة موجبة، وعندما يتم تدويرها في اتجاه عقارب الساعة، تعتبر سلبية.

جدول. إيجابية أو سلبية
الاتجاه عند التحرك في دائرة.

دع OA يدور عكس اتجاه عقارب الساعة بحيث تكون Θ 1 هي أي زاوية في الربع الأول، وقم ببناء AB متعامد للحصول على المثلث القائم OAB في الشكل. غادر. بما أن جميع جوانب المثلث الثلاثة موجبة، فإن الدوال المثلثية جيب التمام وجيب التمام والظل في الربع الأول ستكون موجبة. (لاحظ أن طول OA يكون دائمًا موجبًا، لأنه نصف قطر الدائرة).
دع OA يدور أكثر بحيث تكون Θ 2 هي أي زاوية في الربع الثاني، وقم ببناء AC بحيث يتم تشكيل مثلث قائم OAC. ثم sin Θ 2 =+/+ = +; كوس Θ 2 =+/- = -; ظا Θ 2 =+/- = -. دع OA يدور أكثر بحيث تكون Θ 3 هي أي زاوية في الربع الثالث، وقم ببناء AD بحيث يتم تشكيل مثلث قائم OAD. ثم الخطيئة Θ 3 = -/+ = -; كوس Θ 3 = -/+ = -؛ ظا Θ 3 = -/- =+ .

جدول. بناء الزوايا في
أرباع مختلفة.

دع OA يدور أكثر بحيث تكون Θ 4 هي أي زاوية في الربع الرابع، وقم ببناء AE بحيث يتم تشكيل مثلث قائم OAE. ثم الخطيئة Θ 4 = -/+= -؛ كوس Θ 4 =+/+=+; ظا Θ 4 = -/+= -.

في الربع الأول، جميع الدوال المثلثية لها قيم موجبة، في الثاني فقط جيب التمام موجب، في الثالث فقط الظل، في الرابع فقط جيب التمام، كما هو مبين في الشكل. غادر.

تعد معرفة الزوايا ذات الحجم التعسفي ضرورية عند العثور، على سبيل المثال، على جميع الزوايا الواقعة بين 0 درجة و 360 درجة، والتي يكون جيبها، على سبيل المثال، 0.3261. إذا أدخلت 0.3261 في الآلة الحاسبة وضغطت على زر sin -1، فسنحصل على الإجابة 19.03 o. ومع ذلك، هناك زاوية ثانية بين 0 درجة و 360 درجة لن تظهرها الآلة الحاسبة. وجيب الجيب موجب أيضًا في الربع الثاني. وتظهر زاوية أخرى في الشكل. أدناه كزاوية Θ، حيث Θ=180 o - 19.03 o = 160.97 o. وبالتالي، فإن 19.03 o و160.97 o زاويتان في المدى من 0 o إلى 360 o، جيبهما 0.3261.

احرص! الآلة الحاسبة تعطي واحدة فقط من هذه القيم. يجب تحديد القيمة الثانية وفقًا لنظرية الزوايا التعسفية.

مثال 1

أوجد جميع الزوايا في المدى من 0 o إلى 360 o، وجيبها هو -0.7071

حل:
الزوايا التي جيبها -0.7071 o تقع في الربعين الثالث والرابع، لأن جيبها سالب في هذه الأرباع (انظر الشكل على اليسار).

جدول. العثور على جميع الزوايا بواسطة
قيمة جيبية معينة (مثال)

من الشكل التالي Θ = أركسين 0.7071 = 45 س. زاويتان في المدى من 0 o إلى 360 o، جيبهما هو -0.7071، هما 180 o +45 o = 225 o و360 o - 45 o = 315 o.

ملحوظة.الآلة الحاسبة تعطي إجابة واحدة فقط.
جدول. العثور على جميع الزوايا بواسطة
قيمة جيبية معينة (مثال)

مثال 2

أوجد جميع الزوايا الواقعة بين 0 o و 360 o والتي يكون ظلها 1.327.

حل:
الظل موجب في الربعين الأول والثالث - شكل. غادر.
جدول. العثور على جميع الزوايا بواسطة

من الشكل أدناه Θ = arctan1.327= 53 o.
زاويتان في المدى من 0 o إلى 360 o، ظلهما 1.327، هما 53 o و 180 o + 53 o، أي. 233 س.
جدول. العثور على جميع الزوايا بواسطة
قيمة الظل المحددة (مثال)

دع OR في الشكل. يوجد على اليسار متجه لوحدة الطول، يدور بحرية عكس اتجاه عقارب الساعة حول O. وتنتج دورة واحدة الدائرة الموضحة في الشكل. ومقسمة إلى قطاعات 15 س. يحتوي كل نصف قطر على مكون أفقي وعمودي. على سبيل المثال، لمدة 30 درجة، المكون الرأسي هو TS، والمكون الأفقي هو OS.

من تعريف الدوال المثلثية
sin30 o =TS/TO=TS/1، أي TS= الخطيئة30 سو cos30 o =OS/TO=OS/1، أي نظام التشغيل=cos30 س

يمكن رسم المكون الرأسي TS على شكل T"S"، وهو ما يساوي القيمة المقابلة للزاوية 30 o على الرسم البياني لـ y مقابل الزاوية x. إذا تم نقل جميع المكونات الرأسية، مثل TS، إلى الرسم البياني، فسوف تحصل على شكل جيبي كما هو موضح في الشكل. أعلى.

إذا تم إسقاط جميع المكونات الأفقية، مثل نظام التشغيل، على رسم بياني لـ y مقابل الزاوية x، فإن النتيجة هي موجة جيب التمام. يمكن تصور هذه الإسقاطات بسهولة عن طريق رسم دائرة نصف قطرها OR وزواياها تبدأ من الوضع الرأسي، كما هو موضح في الشكل الموجود على اليسار.
من الشكل. على اليسار يمكنك أن ترى أن الموجة الجيبية لها نفس شكل موجة جيب التمام، ولكن تم إزاحتها بمقدار 90 درجة.

الوظائف الدورية والفترة
كل من الرسوم البيانية الوظيفية الموضحة في الأشكال الأربعة. أعلاه، يتكرر كلما زادت الزاوية A، ولهذا السبب تم تسميتهم وظائف دورية.
تتكرر الدالتان y=sinA و y=cosA كل 360 o (أو 2π راديان)، لذلك تسمى 360 o فترةهذه الوظائف. تتكرر الدالتان y=sin2A و y=cos2A كل 180 o (أو π راديان)، لذا فإن 180 o هي الفترة الزمنية لهذه الوظائف.
بشكل عام، إذا كانت y=sinpA و y=cospA (حيث p ثابت)، فإن دورة الدالة هي 360 o /p (أو 2π/p راديان). لذلك، إذا كانت y=sin3A، فإن دورة هذه الدالة تساوي 360 o /3= 120 o، إذا كانت y=cos4A، فإن دورة هذه الدالة تساوي 360 o /4= 90 o.

السعة
السعةويسمى الحد الأقصى لقيمة الجيوب الأنفية. كل من الرسوم البيانية 1-4 له سعة +1 (أي أنها تتقلب بين +1 و-1). ومع ذلك، إذا كانت y=4sinA، يتم ضرب كل من قيم sinA بـ 4، وبالتالي فإن قيمة السعة القصوى هي 4. وبالمثل بالنسبة لـ y=5cos2A فإن السعة هي 5 والفترة هي 360 o /2 = 180 o .

مثال 3.
أنشئ y=3sin2A في المدى من A=0 o إلى A=360 o.

حل:
السعة = 3، الدورة = 360 o /2 = 180 o.

مثال 4.
ارسم رسمًا بيانيًا لـ y=4cos2x في المدى من x=0 o إلى x=360 o

حل:
السعة = 4. الدورة = 360 س /2 = 180 س.

زوايا التأخر والتقدم
لا تبدأ منحنيات الجيب وجيب التمام دائمًا عند 0 درجة. لأخذ هذا الظرف في الاعتبار، يتم تمثيل الدالة الدورية كـ y=sin(A± α)، حيث α هو تحول الطور بالنسبة إلى y=sinA وy=cosA.

بعد تجميع جدول القيم، يمكنك إنشاء رسم بياني للدالة y=sin(A-60 o)، كما هو موضح في الشكل. غادر. إذا كان منحنى y=sinA يبدأ عند 0 o، فإن منحنى y=sin(A-60 o) يبدأ عند 60 o (أي أن قيمته الصفرية هي 60 o إلى اليمين). وهكذا يقولون أن y=sin(A-60 o) متأخرنسبة إلى y=sinA بمقدار 60 o.
جدول. y=sin(A-60 o) (الجيبية).

من خلال تجميع جدول القيم، يمكنك إنشاء رسم بياني للدالة y=cos(A+45 o)، الموضحة في الشكل. أقل.
إذا كان منحنى y=cosA يبدأ عند 0 o، فإن منحنى y=cos(A+45 o) يبدأ عند 45 o إلى اليسار (أي أن قيمته الصفرية كانت 45 o سابقًا).
وبالتالي، يقال أن الرسم البياني هو y=cos(A+45 o) امامالرسم البياني y=cosA عند 45 o.
جدول. y=cos(A+45 o) (موجة جيب التمام).

بشكل عام، الرسم البياني y=sin(A-α) يتأخر بالنسبة إلى y=sinA بالزاوية α.
موجة جيب التمام لها نفس شكل الموجة الجيبية، ولكنها تبدأ بزاوية 90 درجة إلى اليسار، أي. أمامها بمقدار 90 درجة. وبالتالي، cosA=sin(A+90 o).

مثال 5.
ارسم رسمًا بيانيًا y=5sin(A+30 o) في المدى من A=0 o إلى A=360 o

حل:
السعة = 5، الدورة = 360 o /1 = 360 o.
5sin(A+30 o) تسبق 5sinA بمقدار 30 o أي. يبدأ 30 س في وقت سابق.
الرسم البياني y=5sin(A+30 o) (الجيبية).

مثال 6.
ارسم رسمًا بيانيًا y=7sin(2A-π/3) في المدى من A=0 o إلى A=360 o.

حل:
السعة = 7، الدورة =2π/2= π راديان
على العموم y=sin(pt-α) يتأخر بالنسبة إلى y=sinpt بواسطة α/p، لذلك 7sin(2A-π/3) يتخلف عن 7sin2A بمقدار (π/3)/2، أي. بواسطة π/6 راديان أو 30 س

الجيوب الأنفية من النموذج Asin(ωt±α). زاوية المرحلة. مرحلة التحول.

دع OR في الشكل. على اليسار يوجد متجه يدور بحرية عكس اتجاه عقارب الساعة حول O بسرعة ω راديان/ث. يسمى المتجه الدوار ناقلات المرحلة. بعد مرور زمن t من الثواني، سوف يدور OR خلال زاوية ωt راديان (في الشكل الموجود على اليسار، هذه هي الزاوية TOR). إذا قمنا ببناء ST عموديًا على OR، فإن sinωt=ST/OT، أي ST=OTsinωt.
إذا تم إسقاط جميع هذه المكونات الرأسية على رسم بياني لـ y مقابل ωt، فسيتم الحصول على مجسم جيبي بسعة OR.

إذا كان متجه الطور OR يقوم بدورة واحدة (أي 2π راديان) في T ثانية، فإن السرعة الزاوية ω=2π/T rad/s، حيث
T=2π/ ω (ق)، حيث
هذا فترة
يسمى عدد الفترات الكاملة التي تمر في ثانية واحدة تكرار F.
التردد = (عدد الفترات)/(الثانية) = 1/ T = ω/2π هرتز،أولئك. و= ω/2π هرتز
وبالتالي السرعة الزاوية
ω=2πf راد/ث.

إذا كانت الوظيفة الجيبية بشكل عام تبدو مثل y=sin(ωt± α)، إذن
أ - السعة
ω - السرعة الزاوية
2π/ ω - الفترة T، s
ω/2π - التردد f، هرتز
α هي زاوية التقدم أو التأخر (نسبة إلى y=Аsinωt) بالراديان، وتسمى أيضًا زاوية الطور.

مثال 7.
يتم إعطاء التيار المتناوب كـ i=20sin(90πt+0.26) أمبير. تحديد السعة والفترة والتردد وزاوية الطور (بالدرجات)

حل:
أنا = 20sin (90πt+0.26) وبالتالي،
السعة هي 20 أ
السرعة الزاوية ω=90π، وبالتالي،
الفترة T= 2π/ ω = 2π/ 90π = 0.022 ثانية = 22 مللي ثانية
تكرار F= 1/T = 1/0.022 = 45.46 هرتز
زاوية الطور α= 0.26 راد. = (0.26*180/π) س = 14.9 س.

مثال 8.
تتميز الآلية المتأرجحة بإزاحة قصوى تبلغ 3 أمتار وتردد يبلغ 55 هرتز. في الوقت t=0 تكون الإزاحة 100 سم. عبر عن الإزاحة بشكل عام Аsin(ωt± α).

حل
السعة = أقصى إزاحة = 3 م
السرعة الزاوية ω=2πf = 2π(55) = 110 πrad/s
ولذلك، فإن الإزاحة هي 3sin(110πt + α) m.
عند t = 0 الإزاحة = 100 سم = 1 م.
وبالتالي، 1= 3sin(0 + α)، أي. الخطيئةα=1/3=0.33
لذلك α=arcsin0.33=19 س
وبالتالي فإن الإزاحة هي 3sin(110πt + 0.33).

مثال 9.
يتم إعطاء قيمة الجهد اللحظي في دائرة التيار المتردد عند أي t ثانية كـ v=350sin(40πt-0.542)V. يجد:
أ) السعة والفترة والتردد وزاوية الطور (بالدرجات)
ب) قيمة الجهد عند t =0
ج) قيمة الجهد عند t = 10 مللي ثانية
د) الوقت الذي يصل فيه الجهد لأول مرة إلى 200 فولت.
حل:
أ) السعة هي 350 فولت، والسرعة الزاوية هي ω=40π
لذلك،
الفترة T=2π/ ω=2π/40π=0.05 ثانية =50 مللي ثانية
التردد f=1/T=1/0.05=20 هرتز
زاوية الطور = 0.542 راد (0.542*180/π) = 31 o مع تأخير نسبة إلى v=350sin(40πt)
ب) إذا كانت t = 0، فإن v=350sin(0-0.542)=350sin(-31 o)=-180.25 فولت
ج) إذا كان t = 10 مللي ثانية، إذن v = 350sin(40π10/10 3 -0.542)=350sin(0.714)=350sin41 o =229.6 V
د) إذا كانت v=200 I، فإن 200=350sin(40πt-0.542) 200/350=sin(40πt-0.542)

جدول. آلية التذبذب
(على سبيل المثال، موجة جيبية).

v=350sin(40πt-0.542) لذلك، (40πt-0.542)=arcsin200/350=35 o أو 0.611 راد.
40πt= 0.611+0.542=1.153.
وبالتالي، إذا كانت v=200V، فإن الزمن t=1.153/40π=9.179 مللي ثانية

التعريف الهندسي للجيب وجيب التمام

\(\sin \alpha = \dfrac(|BC|)(|AB|) \), \(\cos \alpha = \dfrac(|AC|)(|AB|) \)

α - الزاوية المعبر عنها بالراديان.

جيب (الخطيئة α)هي دالة مثلثية للزاوية α بين الوتر وضلع المثلث القائم، تساوي نسبة طول الضلع المقابل |BC| إلى طول الوتر |AB|.

جيب التمام (cos α)هي دالة مثلثية للزاوية α بين الوتر وضلع المثلث القائم، تساوي نسبة طول الضلع المجاور |AC| إلى طول الوتر |AB|.

تعريف المثلثات

باستخدام الصيغ أعلاه، يمكنك العثور على جيب وجيب التمام لزاوية حادة. لكن عليك أن تتعلم كيفية حساب جيب التمام وجيب التمام لزاوية ذات حجم تعسفي. لا يوفر المثلث القائم مثل هذه الفرصة (لا يمكن أن يكون له زاوية منفرجة، على سبيل المثال)؛ لذلك، نحن بحاجة إلى تعريف أكثر عمومية للجيب وجيب التمام، يحتوي على هذه الصيغ كحالة خاصة.

الدائرة المثلثية تأتي للإنقاذ. دعونا نعطي بعض الزاوية؛ وهو يتوافق مع النقطة التي تحمل الاسم نفسه على الدائرة المثلثية.

أرز. 2. التعريف المثلثي للجيب وجيب التمام

جيب التمام للزاوية هو حدود النقطة. جيب الزاوية هو إحداثي النقطة.

في التين. 2، تعتبر الزاوية حادة، ومن السهل أن نفهم أن هذا التعريف يتطابق مع التعريف الهندسي العام. في الواقع، نرى مثلثًا قائمًا بوحدة الوتر O وزاوية حادة. الضلع المجاور لهذا المثلث هو cos (مقارنة بالشكل 1) وفي نفس الوقت محور النقطة؛ الجانب الآخر هو الخطيئة (كما في الشكل 1) وفي نفس الوقت إحداثي النقطة.

لكننا الآن لم نعد مقيدين بالربع الأول ولدينا الفرصة لتوسيع هذا التعريف إلى أي زاوية. في التين. يوضح الشكل 3 جيب التمام وجيب التمام للزاوية في الأرباع الثاني والثالث والرابع.

أرز. 3. جيب التمام وجيب التمام في الأرباع الثاني والثالث والرابع

قيم الجدول الجيب وجيب التمام

زاوية الصفر \(\LARGE 0^(\circ ) \)

الإحداثي عند النقطة 0 يساوي 1، وإحداثي النقطة 0 يساوي 0. لذلك،

جتا 0 = 1 خطيئة 0 = 0

الشكل 4. زاوية الصفر

الزاوية \(\LARGE \frac(\pi)(6) = 30^(\circ )\)

نرى مثلثًا قائمًا بوحدة الوتر وزاوية حادة قياسها 30 درجة. كما تعلم، فإن الساق المقابلة للزاوية 30° تساوي نصف الوتر 1؛ بمعنى آخر، الساق العمودية تساوي 1/2، وبالتالي،

\[ \الخطيئة \frac(\pi)(6) =\frac(1)(2) \]

نجد الساق الأفقية باستخدام نظرية فيثاغورس (أو، وهي نفسها، نجد جيب التمام باستخدام الهوية المثلثية الأساسية):

\[ \cos \frac(\pi)(6) = \sqrt(1 - \left(\frac(1)(2) \right)^(2) ) =\frac(\sqrt(3) )(2 )\]

1 لماذا يحدث هذا؟ قطع مثلث متساوي الأضلاع مع الجانب 2 على طول ارتفاعه! سوف ينقسم إلى مثلثين قائمين مع وتر 2، وزاوية حادة 30 درجة وضلع أقصر 1.

الشكل 5. الزاوية π / 6

الزاوية \(\LARGE \frac(\pi)(4) = 45^(\circ )\)

في هذه الحالة، المثلث القائم الزاوية متساوي الساقين؛ جيب التمام وجيب التمام لزاوية 45 درجة متساويان مع بعضهما البعض. دعونا نشير إليهم بـ x في الوقت الحالي. لدينا:

\[ س^(2) + س^(2) = 1 \]

من أين \(x=\frac(\sqrt(2) )(2) \). لذلك،

\[ \cos \frac(\pi)(4) = \sin \frac(\pi)(4) =\frac(\sqrt(2) )(2) \]

الشكل 5. الزاوية π/4

خصائص الجيب وجيب التمام

التدوينات المقبولة

\(\sin^2 x \equiv (\sin x)^2; \)\(\quad \sin^3 x \equiv (\sin x)^3; \)\(\quad \sin^n x \equiv (\sin x)^n \)\(\sin^(-1) x \equiv \arcsin x \)\((\sin x)^(-1) \equiv \dfrac1(\sin x) \equiv \cosec x \).

\(\cos^2 x \equiv (\cos x)^2; \)\(\quad \cos^3 x \equiv (\cos x)^3; \)\(\quad \cos^n x \equiv (\cos x)^n \)\(\cos^(-1) x \equiv \arccos x \)\((\cos x)^(-1) \equiv \dfrac1(\cos x) \equiv \sec x \).

الدورية

الدوال y = sin x و y = cos x دورية بفترة 2π.

\(\sin(x + 2\pi) = \sin x; \quad \)\(\cos(x + 2\pi) = \cos x \)

التكافؤ

دالة الجيب غريبة. وظيفة جيب التمام حتى.

\(\sin(-x) = - \sin x; \quad \)\(\cos(-x) = \cos x \)

مجالات التعريف والقيم، القيم القصوى، الزيادة، النقصان

يتم عرض الخصائص الأساسية للجيب وجيب التمام في الجدول ( ن- جميع).

	\(\صغير< x < \)	\(\small -\pi + 2\pi n \) \(\small< x < \) \(\small 2\pi n \)
تنازلي	\(\صغير \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)\(\صغير< x < \) \(\صغير \dfrac(3\pi)2 + 2\pi n \)	\(\small 2\pi n \) \(\small< x < \) \(\pi + \small 2\pi n \)
ماكسيما، \(\صغير x = \) \(\صغير \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)	\(\صغير x = 2\pi n\)
الحد الأدنى، \(\x صغير = \) \(\صغير -\dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)	\(\small x = \) \(\small \pi + 2\pi n \)
الأصفار، \(\small x = \pi n\)	\(\small x = \dfrac(\pi)2 + \pi n \)
نقاط تقاطع المحور Y، x = 0	ص = 0	ص = 1

الصيغ الأساسية التي تحتوي على الجيب وجيب التمام

مجموع المربعات

\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)

صيغ الجيب وجيب التمام للمجموع والفرق

\(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)
\(\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
\(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)
\(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)

\(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \)
\(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \)\(2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x \)
\(\cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \sin x \) ; \(\sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \cos x \)
\(\cos(x + \pi) = - \cos x \) ; \(\sin(x + \pi) = - \sin x \)

صيغ لمنتج الجيب وجيب التمام

\(\الخطيئة س \كوس ص = \) \(\dfrac12 (\Large [) \sin(x - y) + \sin(x + y) (\Large ]) \)
\(\الخطيئة س \الخطيئة ص = \) \(\dfrac12 (\Large [) \cos(x - y) - \cos(x + y) (\Large ]) \)
\(\cos x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \cos(x - y) + \cos(x + y) (\Large ]) \)

\(\sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \)
\(\sin^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 - \cos 2x (\Large ]) \)
\(\cos^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 + \cos 2x (\Large ]) \)

صيغ الجمع والفرق

\(\sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\sin x - \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x-y)2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \)
\(\cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\cos x - \cos y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \sin \dfrac(y-x)2 \)

التعبير عن جيب التمام من خلال جيب التمام

\(\sin x = \cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \)\(\cos\left(x - \dfrac(\pi)2 \right) = - \cos\left(x + \dfrac(\pi)2 \right) \)\(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) \(\sin x = \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \) \)\(\sin x = - \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \) \).

التعبير عن جيب التمام من خلال جيب التمام

\(\cos x = \sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \)\(- \sin\left(x - \dfrac(\pi)2 \right) = \sin\left(x + \dfrac(\pi)2 \right) \)\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) \(\cos x = \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \) \)\(\cos x = - \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \) \).

التعبير من خلال الظل

\(\sin^2 x = \dfrac(\tg^2 x)(1+\tg^2 x) \)\(\cos^2 x = \dfrac1(1+\tg^2 x) \).

في \(- \dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \) \(\sin x = \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x)) \)\(\cos x = \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x)) \).

في \(\dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n \) :
\(\sin x = - \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x)) \)\(\cos x = - \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).

جدول الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام

يوضح هذا الجدول قيم الجيب وجيب التمام لقيم معينة للوسيطة.
[ نمط img = "الحد الأقصى للعرض: 500 بكسل؛ الحد الأقصى للارتفاع: 1080 بكسل؛" src="tablitsa.png" alt="جدول الجيب وجيب التمام" title="جدول الجيب وجيب التمام" ]!}

التعبيرات من خلال المتغيرات المعقدة

\(ط^2 = -1\)
\(\sin z = \dfrac(e^(iz) - e^(-iz))(2i) \)\(\cos z = \dfrac(e^(iz) + e^(-iz))(2) \)

صيغة أويلر

\(e^(iz) = \cos z + i \sin z \)

التعبيرات من خلال الوظائف الزائدية

\(\sin iz = i \sh z \) \(\cos iz = \ch z \)
\(\sh iz = i \sin z \) \(\ch iz = \cos z \)

المشتقات

\((\sin x)" = \cos x \) \((\cos x)" = - \sin x \) . اشتقاق الصيغ > > >

مشتقات الرتبة n:
\(\left(\sin x \right)^((n)) = \sin\left(x + n\dfrac(\pi)2 \right) \)\(\left(\cos x \right)^((n)) = \cos\left(x + n\dfrac(\pi)2 \right) \).

التكاملات

\(\int \sin x \, dx = - \cos x + C \)\(\int \cos x \, dx = \sin x + C \)
راجع أيضًا قسم جدول التكاملات غير المحددة >>>

توسعات السلسلة

\(\sin x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n+1) )( (2n+1)! ) = \)\(x - \dfrac(x^3)(3 + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ... \) !} \(\(- \infty< x < \infty \} \)
\(\cos x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n) )( (2n)! ) = \)\(1 - \dfrac(x^2)(2 + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \) !} \(\( - \infty< x < \infty \} \)

القاطع، قاطع التمام

\(\sec x = \dfrac1( \cos x ) ; \) \(\cosec x = \dfrac1( \sin x ) \)

وظائف عكسية

الوظائف العكسية للجيب وجيب التمام هي أركسين وأركوسين، على التوالي.

أركسين، أركسين

\(ص = \أركسين س\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; - \dfrac(\pi)2 \leqslant y \leqslant \dfrac(\pi)2 \right\) \)
\(\الخطيئة(\arcsin x) = x\)
\(\arcsin(\sin x) = x\) \(\left\( - \dfrac(\pi)2 \leqslant x \leqslant \dfrac(\pi)2 \right\) \)

أركوسين، أركوسين

\(y = \arccos x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \right\) \)
\(\cos(\arccos x) = x \) \(\( -1 \leqslant x \leqslant 1 \) \)
\(\arccos(\cos x) = x \) \(\( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) \)

مراجع:
في. برونشتاين، ك.أ. سيمنديايف، دليل الرياضيات للمهندسين وطلاب الجامعات، "لان"، 2009.

تم تعطيل جافا سكريبت في المتصفح الخاص بك.
لإجراء العمليات الحسابية، يجب عليك تمكين عناصر تحكم ActiveX!

ستتناول هذه المقالة ثلاث خصائص أساسية للدوال المثلثية: جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام.

الخاصية الأولى هي إشارة الدالة اعتمادًا على ربع دائرة الوحدة الذي تنتمي إليه الزاوية α. الخاصية الثانية هي الدورية. وفقا لهذه الخاصية، فإن الدالة تيجونوميترية لا تغير قيمتها عندما تتغير الزاوية بعدد صحيح من الدورات. تحدد الخاصية الثالثة كيفية تغير قيم الدوال sin وcos وtg وctg عند زوايا متقابلة α و- α.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

في كثير من الأحيان في نص رياضي أو في سياق المشكلة، يمكنك العثور على العبارة: "زاوية الربع الإحداثي الأول أو الثاني أو الثالث أو الرابع". ما هو؟

دعنا ننتقل إلى دائرة الوحدة. وهي مقسمة إلى أربعة أرباع. ضع علامة على نقطة البداية A 0 (1، 0) على الدائرة، وقم بتدويرها حول النقطة O بزاوية α، سنصل إلى النقطة A 1 (x، y). اعتمادًا على الربع الذي تقع فيه النقطة A 1 (x، y)، سيتم تسمية الزاوية α بزاوية الربع الأول والثاني والثالث والرابع على التوالي.

من أجل الوضوح، هنا هو التوضيح.

الزاوية α = 30° تقع في الربع الأول. الزاوية - 210° هي زاوية الربع الثاني. الزاوية 585° هي زاوية الربع الثالث. الزاوية -45° هي زاوية الربع الرابع.

في هذه الحالة، الزوايا ± 90 درجة، ± 180 درجة، ± 270 درجة، ± 360 درجة لا تنتمي إلى أي ربع، لأنها تقع على محاور الإحداثيات.

الآن فكر في العلامات التي يأخذها الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، اعتمادًا على الربع الذي تقع فيه الزاوية.

لتحديد علامات الجيب بالأرباع، تذكر التعريف. الجيب هو إحداثي النقطة A 1 (x, y). ويبين الشكل أنه في الربعين الأول والثاني إيجابي، وفي الربع الثالث والرباعي سلبي.

جيب التمام هو حدود النقطة A 1 (x، y). وفقا لهذا، نحدد علامات جيب التمام على الدائرة. جيب التمام إيجابي في الربعين الأول والرابع، وسالب في الربعين الثاني والثالث.

ولتحديد علامات الظل وظل التمام على الأرباع، نتذكر أيضًا تعريفات هذه الدوال المثلثية. الظل هو نسبة إحداثيات النقطة إلى الإحداثي السيني. وهذا يعني، وفقًا لقاعدة قسمة الأعداد ذات العلامات المختلفة، عندما يكون للإحداثي والإحداثي الإحداثي نفس الإشارات، فإن إشارة المماس على الدائرة ستكون موجبة، وعندما يكون للإحداثي والإحداثي الإحداثي إشارات مختلفة ستكون سالبة . يتم تحديد علامات ظل التمام للأرباع بطريقة مماثلة.

من المهم أن نتذكر!

جيب الزاوية α له علامة زائد في الربعين الأول والثاني، وعلامة ناقص في الربعين الثالث والرابع.
جيب تمام الزاوية α له علامة زائد في الربعين الأول والرابع، وعلامة ناقص في الربعين الثاني والثالث.
ظل الزاوية α له علامة زائد في الربعين الأول والثالث، وعلامة ناقص في الربعين الثاني والرابع.
ظل تمام الزاوية α له علامة زائد في الربعين الأول والثالث، وعلامة ناقص في الربعين الثاني والرابع.

خاصية الدورية

تعد خاصية الدورية واحدة من أكثر خصائص الدوال المثلثية وضوحًا.

خاصية الدورية

عندما تتغير الزاوية بعدد صحيح من الثورات الكاملة، تظل قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية المعطاة دون تغيير.

في الواقع، عندما تتغير الزاوية بعدد صحيح من الدورات، سننتقل دائمًا من النقطة الأولية A على دائرة الوحدة إلى النقطة A 1 بنفس الإحداثيات. وبناء على ذلك، فإن قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لن تتغير.

رياضيا، يتم كتابة هذه الخاصية على النحو التالي:

الخطيئة α + 2 π ض = الخطيئة α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α

كيف يتم استخدام هذه الخاصية في الممارسة العملية؟ غالبًا ما تُستخدم خاصية الدورية، مثل صيغ الاختزال، لحساب قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا الكبيرة.

دعونا نعطي أمثلة.

خطيئة 13 π 5 = خطيئة 3 π 5 + 2 π = خطيئة 3 π 5

t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)

دعونا ننظر مرة أخرى إلى دائرة الوحدة.

النقطة A 1 (x, y) هي نتيجة دوران النقطة الأولية A 0 (1, 0) حول مركز الدائرة بالزاوية α. النقطة A 2 (x, - y) هي نتيجة تدوير نقطة البداية بزاوية - α.

النقطتان A 1 و A 2 متناظرتان حول محور الإحداثي السيني. في الحالة التي تكون فيها α = 0 °، ± 180 °، ± 360 ° تتزامن النقاط A 1 و A 2. دع نقطة واحدة لها إحداثيات (x، y) والثانية - (x، - y). دعونا نتذكر تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام ونكتب:

الخطيئة α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y الخطيئة - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y

وهذا يعني ضمنًا خاصية الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا المتقابلة.

خاصية الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا المتقابلة

الخطيئة - α = - الخطيئة α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α

ووفقا لهذه الخاصية، فإن المساواة صحيحة

خطيئة - 48 درجة = - خطيئة 48 درجة , ج t ز π 9 = - ج t ز - π 9 , جتا 18 ° = جتا - 18 درجة

تُستخدم هذه الخاصية غالبًا في حل المشكلات العملية في الحالات التي يكون فيها من الضروري التخلص من علامات الزاوية السالبة في وسيطات الدوال المثلثية.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

في هذه المقالة سوف نوضح كيفية العطاء تعاريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية والرقم في علم المثلثات. سنتحدث هنا عن الملاحظات ونعطي أمثلة على الإدخالات ونقدم الرسوم التوضيحية. في الختام، دعونا نرسم توازيًا بين تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام في علم المثلثات والهندسة.

التنقل في الصفحة.

تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام

دعونا نرى كيف تتشكل فكرة الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام في دورة الرياضيات المدرسية. في دروس الهندسة، يتم تقديم تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية الحادة في المثلث القائم. وبعد ذلك يتم دراسة علم المثلثات الذي يتحدث عن جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية الدوران والعدد. دعونا نعرض كل هذه التعريفات ونعطي الأمثلة ونعطي التعليقات اللازمة.

زاوية حادة في مثلث قائم

من مقرر الهندسة، نعرف تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية الحادة في المثلث القائم. يتم إعطاؤها كنسبة لأضلاع المثلث القائم الزاوية. دعونا نعطي صيغهم.

تعريف.

جيب الزاوية الحادة في المثلث القائمهي نسبة الضلع المقابل للوتر.

تعريف.

جيب تمام الزاوية الحادة في المثلث القائمهي نسبة الساق المجاورة إلى الوتر.

تعريف.

ظل زاوية حادة في مثلث قائم– هذه هي نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور.

تعريف.

ظل تمام الزاوية الحادة في المثلث القائم- هذه هي نسبة الضلع المجاور إلى الضلع المقابل.

يتم أيضًا تقديم تسميات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام - sin وcos وtg وctg، على التوالي.

على سبيل المثال، إذا كان ABC مثلثًا قائمًا بزاوية قائمة C، فإن جيب الزاوية الحادة A يساوي نسبة الضلع المقابل BC إلى الوتر AB، أي sin∠A=BC/AB.

تتيح لك هذه التعريفات حساب قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية حادة من الأطوال المعروفة لأضلاع المثلث القائم، وكذلك من القيم المعروفة للجيب وجيب التمام والظل، ظل التمام وطول أحد الأضلاع لإيجاد أطوال الأضلاع الأخرى. على سبيل المثال، إذا علمنا أنه في المثلث القائم، فإن الساق AC تساوي 3 والوتر AB يساوي 7، فيمكننا حساب قيمة جيب تمام الزاوية الحادة A بالتعريف: cos∠A=AC/ أ ب = 3/7.

زاوية الدوران

في علم المثلثات، بدأوا في النظر إلى الزاوية على نطاق أوسع - وقدموا مفهوم زاوية الدوران. لا يقتصر حجم زاوية الدوران، على عكس الزاوية الحادة، على 0 إلى 90 درجة؛ يمكن التعبير عن زاوية الدوران بالدرجات (والراديان) بأي رقم حقيقي من −∞ إلى +∞.

في ضوء ذلك، لا يتم تقديم تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية حادة، ولكن لزاوية ذات حجم تعسفي - زاوية الدوران. يتم تقديمها من خلال إحداثيات x و y للنقطة A 1، والتي تذهب إليها ما يسمى بنقطة البداية A(1، 0) بعد دورانها بزاوية α حول النقطة O - بداية نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل ومركز دائرة الوحدة .

تعريف.

جيب زاوية الدورانα هو إحداثي النقطة A 1، أي sinα=y.

تعريف.

جيب تمام زاوية الدورانيُطلق على α محور النقطة A 1، أي cosα=x.

تعريف.

ظل زاوية الدورانα هي نسبة إحداثي النقطة A 1 إلى حدها الإحداثي، أي tanα=y/x.

تعريف.

ظل تمام زاوية الدورانα هي نسبة الإحداثيات الإحداثية للنقطة A 1 إلى إحداثيتها، أي ctgα=x/y.

يتم تعريف الجيب وجيب التمام لأي زاوية α، حيث يمكننا دائمًا تحديد الإحداثيات الإحداثية والنقطة، والتي يتم الحصول عليها عن طريق تدوير نقطة البداية بالزاوية α. ولكن لم يتم تعريف الظل وظل التمام لأي زاوية. لم يتم تعريف الظل للزوايا α التي تذهب عندها نقطة البداية إلى نقطة بها صفر الإحداثي السيني (0، 1) أو (0، −1)، ويحدث هذا عند الزوايا 90°+180° k، k∈Z (π) /2+π·ك راد). في الواقع، في مثل هذه الزوايا من الدوران، فإن التعبير tgα=y/x ليس له معنى، لأنه يحتوي على القسمة على صفر. أما ظل التمام فهو غير محدد للزوايا α التي تذهب عندها نقطة البداية إلى النقطة ذات الإحداثي الصفري (1, 0) أو (−1, 0)، ويحدث ذلك للزوايا 180° k, k ∈Z (π · ك راد).

لذلك، يتم تعريف الجيب وجيب التمام لأي زوايا دوران، ويتم تعريف الظل لجميع الزوايا باستثناء 90°+180°k، k∈Z (π/2+πk rad)، ويتم تعريف ظل التمام لجميع الزوايا باستثناء 180° ·k ، k∈Z (π·k راد).

تتضمن التعريفات التسميات المعروفة لدينا بالفعل sin وcos وtg وctg، كما أنها تستخدم لتعيين جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية الدوران (في بعض الأحيان يمكنك العثور على التسميات tan وcotالمقابلة للظل وظل التمام) . لذلك يمكن كتابة جيب زاوية دوران مقدارها 30 درجة بالشكل sin30°، وتتوافق الإدخالات tg(−24°17′) وctgα مع ظل زاوية الدوران −24 درجة 17 دقيقة وظل التمام لزاوية الدوران α . تذكر أنه عند كتابة قياس الراديان لزاوية ما، غالبًا ما يتم حذف التسمية "rad". على سبيل المثال، يُشار عادةً إلى جيب تمام زاوية الدوران البالغة ثلاثة باي راد بـ cos3·π.

في ختام هذه النقطة، تجدر الإشارة إلى أنه عند الحديث عن جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية الدوران، غالبًا ما يتم حذف عبارة "زاوية الدوران" أو كلمة "الدوران". وهذا يعني أنه بدلاً من عبارة "جيب زاوية الدوران ألفا"، يتم عادةً استخدام عبارة "جيب زاوية ألفا" أو حتى أقصر "جيب ألفا". الأمر نفسه ينطبق على جيب التمام، الظل، وظل التمام.

سنقول أيضًا أن تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية الحادة في المثلث الأيمن تتوافق مع التعريفات المعطاة للتو للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية دوران تتراوح من 0 إلى 90 درجة. سوف نبرر هذا.

أعداد

تعريف.

جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لعدد t هو رقم يساوي الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية الدوران بوحدات الراديان t، على التوالي.

على سبيل المثال، جيب التمام للرقم 8·π حسب التعريف هو رقم يساوي جيب التمام للزاوية 8·π راد. وجيب تمام الزاوية 8·π راد يساوي واحدًا، وبالتالي فإن جيب تمام العدد 8·π يساوي 1.

هناك طريقة أخرى لتحديد جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لأي رقم. وهو يتألف من حقيقة أن كل رقم حقيقي t يرتبط بنقطة على دائرة الوحدة مع المركز عند أصل نظام الإحداثيات المستطيل، ويتم تحديد الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام من خلال إحداثيات هذه النقطة. دعونا ننظر إلى هذا بمزيد من التفصيل.

دعونا نوضح كيف يتم إنشاء المراسلات بين الأعداد الحقيقية والنقاط الموجودة على الدائرة:

يتم تعيين الرقم 0 كنقطة البداية A(1, 0);
الرقم الموجب t يرتبط بنقطة على دائرة الوحدة، والتي سنصل إليها إذا تحركنا على طول الدائرة من نقطة البداية في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة وسيرنا في مسار بطول t؛
الرقم السالب t يرتبط بنقطة على دائرة الوحدة، والتي سنصل إليها إذا تحركنا على طول الدائرة من نقطة البداية في اتجاه عقارب الساعة ومشينا في مسار بطول |t| .

ننتقل الآن إلى تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للرقم t. لنفترض أن الرقم t يتوافق مع نقطة على الدائرة A 1 (x, y) (على سبيل المثال، الرقم &pi/2; يتوافق مع النقطة A 1 (0, 1)).

تعريف.

جيب الرقم t هو إحداثي النقطة على دائرة الوحدة المقابلة للرقم t، أي sint=y.

تعريف.

جيب تمام الرقميُسمى t بإحداثيات نقطة دائرة الوحدة المقابلة للرقم t، أي التكلفة=x.

تعريف.

ظل الرقم t هي نسبة الإحداثي إلى الإحداثي الإحداثي لنقطة ما على دائرة الوحدة المقابلة للرقم t، أي tgt=y/x. في صيغة مكافئة أخرى، ظل الرقم t هو نسبة جيب هذا الرقم إلى جيب التمام، أي tgt=sint/cost.

تعريف.

ظل التمام للعدد t هي نسبة الإحداثي الإحداثي لنقطة على دائرة الوحدة المقابلة للرقم t، أي ctgt=x/y. صيغة أخرى هي: ظل الرقم t هو نسبة جيب تمام الرقم t إلى جيب الرقم t: ctgt=cost/sint.

ونلاحظ هنا أن التعريفات الواردة للتو تتفق مع التعريف الوارد في بداية هذه الفقرة. في الواقع، النقطة الموجودة على دائرة الوحدة المقابلة للرقم t تتطابق مع النقطة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير نقطة البداية بزاوية t راديان.

لا يزال الأمر يستحق توضيح هذه النقطة. لنفترض أن لدينا مدخل sin3. كيف يمكننا أن نفهم ما إذا كنا نتحدث عن جيب الرقم 3 أو جيب زاوية الدوران البالغة 3 راديان؟ عادة ما يكون هذا واضحًا من السياق، وإلا فمن المحتمل ألا يكون ذا أهمية أساسية.

الدوال المثلثية للوسيطة الزاوية والرقمية

وفقًا للتعريفات الواردة في الفقرة السابقة، فإن كل زاوية دوران α تتوافق مع قيمة محددة جدًا sinα، بالإضافة إلى القيمة cosα. بالإضافة إلى ذلك، جميع زوايا الدوران بخلاف 90°+180°k، k∈Z (π/2+πk rad) تتوافق مع قيم tgα، والقيم بخلاف 180°k، k∈Z (πk rad ) - القيم من ctgα . وبالتالي فإن sinα وcosα وtanα وctgα هي وظائف الزاوية α. وبعبارة أخرى، هذه هي وظائف الوسيطة الزاوية.

يمكننا أن نتحدث بالمثل عن وظائف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للوسيطة العددية. في الواقع، كل رقم حقيقي t يتوافق مع قيمة محددة جدًا، بالإضافة إلى التكلفة. بالإضافة إلى ذلك، جميع الأرقام غير π/2+π·k، k∈Z تتوافق مع قيم tgt، والأرقام π·k، k∈Z - قيم ctgt.

يتم استدعاء وظائف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام الوظائف المثلثية الأساسية.

عادةً ما يكون واضحًا من السياق ما إذا كنا نتعامل مع الدوال المثلثية للوسيطة الزاوية أو الوسيطة العددية. بخلاف ذلك، يمكننا التفكير في المتغير المستقل كمقياس للزاوية (الوسيطة الزاوية) ووسيطة رقمية.

ومع ذلك، فإننا في المدرسة ندرس بشكل أساسي الدوال العددية، أي الدوال التي تكون وسيطاتها، وكذلك قيم الدالة المقابلة، أرقامًا. لذلك، إذا كنا نتحدث على وجه التحديد عن الدوال، فمن المستحسن اعتبار الدوال المثلثية كدوال للوسائط العددية.

العلاقة بين التعاريف من الهندسة وعلم المثلثات

إذا اعتبرنا زاوية الدوران α تتراوح من 0 إلى 90 درجة، فإن تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية الدوران في سياق علم المثلثات تتوافق تمامًا مع تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية الدوران الزاوية الحادة في المثلث القائم والتي تعطى في مقرر الهندسة. دعونا نبرر هذا.

دعونا نصور دائرة الوحدة في نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل أوكسي. لنضع علامة على نقطة البداية A(1, 0) . دعونا نديرها بزاوية α تتراوح من 0 إلى 90 درجة، نحصل على النقطة A 1 (x، y). دعونا نسقط العمود A 1 H من النقطة A 1 على محور الثور.

من السهل أن نرى أنه في المثلث الأيمن، الزاوية A 1 OH تساوي زاوية الدوران α، وطول الساق OH المجاورة لهذه الزاوية يساوي حدود النقطة A 1، أي |OH |=x، طول الساق A 1 H المقابلة للزاوية يساوي إحداثي النقطة A 1، أي |A 1 H|=y، وطول الوتر OA 1 يساوي واحدًا، لأنه نصف قطر دائرة الوحدة. بعد ذلك، بحكم التعريف من الهندسة، جيب الزاوية الحادة α في المثلث القائم A 1 OH يساوي نسبة الساق المقابلة إلى الوتر، أي sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= ص/1=ص. وبحسب تعريف علم المثلثات، فإن جيب زاوية الدوران α يساوي إحداثي النقطة A 1، أي sinα=y. يوضح هذا أن تحديد جيب الزاوية الحادة في المثلث القائم يعادل تحديد جيب زاوية الدوران α عندما تكون α من 0 إلى 90 درجة.

وبالمثل، يمكن إثبات أن تعريفات جيب التمام والظل وظل التمام للزاوية الحادة α تتوافق مع تعريفات جيب التمام والظل وظل التمام لزاوية الدوران α.

فهرس.

الهندسة. 7-9 درجات: كتاب مدرسي للتعليم العام المؤسسات / [ل. S. Atanasyan، V. F. Butuzov، S. B. Kadomtsev، إلخ.]. - الطبعة العشرين. م: التربية، 2010. - 384 ص: مريض. - ردمك 978-5-09-023915-8.
بوجوريلوف أ.ف.الهندسة: كتاب مدرسي. للصفوف 7-9. تعليم عام المؤسسات / أ.ف.بوجوريلوف. - الطبعة الثانية - م: التربية، 2001. - 224 ص: مريض. - ردمك 5-09-010803-X.
الجبر والوظائف الأولية: كتاب مدرسي لطلاب الصف التاسع بالمدرسة الثانوية / E. S. Kochetkov، E. S. Kochetkova؛ حرره دكتور في العلوم الفيزيائية والرياضية O. N. Golovin - الطبعة الرابعة. م: التربية، 1969.
الجبر:كتاب مدرسي للصف التاسع. متوسط المدرسة / يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova؛ إد. S. A. Teleakovsky - M.: التعليم، 1990. - 272 ص: مريض - ISBN 5-09-002727-7
الجبروبداية التحليل: بروك. للصفوف 10-11. تعليم عام المؤسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، P. Dudnitsyn وآخرون؛ إد. أ.ن.كولموجوروف – الطبعة الرابعة عشرة – م: التعليم، 2004. – 384 صفحة: مريض – ISBN 5-09-013651-3.
موردكوفيتش أ.ج.الجبر وبدايات التحليل. الصف 10. في جزأين الجزء الأول: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام (مستوى الملف الشخصي) / A. G. Mordkovich، P. V. Semenov. - الطبعة الرابعة، إضافة. - م: منيموسين، 2007. - 424 ص: مريض. ردمك 978-5-346-00792-0.
الجبروبداية التحليل الرياضي. الصف العاشر: كتاب مدرسي. للتعليم العام المؤسسات: الأساسية والملف الشخصي. المستويات /[يو. M. Kolyagin، M. V. Tkacheva، N. E. Fedorova، M. I. Shabunin]؛ حررت بواسطة أ.ب. زيزتشينكو. - الطبعة الثالثة. - أولا: التعليم، 2010.- 368 ص: مريض- ISBN 978-5-09-022771-1.
باشماكوف م.الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي. للصفوف 10-11. متوسط مدرسة - الطبعة الثالثة. - م: التربية، 1993. - 351 ص: مريض. -ردمك 5-09-004617-4.
غوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج.الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية): بروك. بدل.- م. أعلى المدرسة، 1984.-351 ص، مريض.