Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen. Yhteensopimattomat järjestelmät. Järjestelmät yleisellä ratkaisulla. Yksityiset ratkaisut. Kolme tapausta ratkaistaessa lineaarisia yhtälöjärjestelmiä Kun matriisilla on äärettömän monta ratkaisua

M lineaarisen yhtälön järjestelmä, jossa on n tuntematonta kutsutaan muotojärjestelmäksi

Missä a ij Ja b i (i=1,…,m; b=1,…,n) ovat joitain tunnettuja numeroita ja x 1,…,x n– tuntematon. Kertoimien nimeämisessä a ij ensimmäinen indeksi i tarkoittaa yhtälön numeroa ja toista j– tuntemattoman numero, jossa tämä kerroin on.

Kirjoitamme tuntemattomien kertoimet matriisin muotoon , jota kutsumme järjestelmän matriisi.

Yhtälöiden oikealla puolella olevat numerot ovat b 1,…,b m kutsutaan ilmaisia jäseniä.

Kokonaisuus n numeroita c 1,…,c n nimeltään päätös tietyn järjestelmän, jos jokaisesta järjestelmän yhtälöstä tulee yhtälö sen jälkeen, kun siihen on korvattu lukuja c 1,…,c n vastaavien tuntemattomien sijaan x 1,…,x n.

Tehtävämme on löytää ratkaisuja järjestelmään. Tässä tapauksessa voi syntyä kolme tilannetta:

Lineaarista yhtälöjärjestelmää, jolla on vähintään yksi ratkaisu, kutsutaan liitos. Muuten, ts. jos järjestelmällä ei ole ratkaisuja, sitä kutsutaan ei-nivel.

Mietitään tapoja löytää ratkaisuja järjestelmään.

MATRIISIMENETELMÄ LINEAARIEN YHTÄLÖJÄRJESTELMIEN RATKAISEMINEN

Matriisit mahdollistavat lineaarisen yhtälöjärjestelmän lyhyen kirjoittamisen. Olkoon 3 yhtälöjärjestelmä, jossa on kolme tuntematonta:

Harkitse järjestelmämatriisia ja matriisisarakkeet tuntemattomista ja vapaista termeistä

Etsitään töitä

nuo. tuotteen tuloksena saamme tämän järjestelmän yhtälöiden vasemmat puolet. Sitten tämä järjestelmä voidaan kirjoittaa muotoon käyttämällä matriisiyhtälön määritelmää

tai lyhyempi A∙X = B.

Tässä matriisit A Ja B tunnetaan, ja matriisi X tuntematon. Se on löydettävä, koska... sen elementit ovat ratkaisu tähän järjestelmään. Tätä yhtälöä kutsutaan matriisiyhtälö.

Olkoon matriisin determinantti eri kuin nolla | A| ≠ 0. Sitten matriisiyhtälö ratkaistaan seuraavasti. Kerro vasemmalla olevan yhtälön molemmat puolet matriisilla A-1, matriisin käänteinen A: . Koska A -1 A = E Ja E∙X = X, niin saadaan ratkaisu matriisiyhtälöön muodossa X = A -1 B .

Huomaa, että koska käänteimatriisi löytyy vain neliömatriiseille, matriisimenetelmä voi ratkaista vain ne järjestelmät, joissa yhtälöiden määrä on sama kuin tuntemattomien lukumäärä. Järjestelmän matriisitallennus on kuitenkin mahdollista myös siinä tapauksessa, että yhtälöiden lukumäärä ei ole yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä, matriisi A ei ole neliö, ja siksi on mahdotonta löytää ratkaisua järjestelmään muodossa X = A -1 B.

Esimerkkejä. Ratkaise yhtälöjärjestelmiä.

CRAMERIN SÄÄNTÖ

Tarkastellaan 3 lineaarisen yhtälön järjestelmää, joissa on kolme tuntematonta:

Kolmannen kertaluvun determinantti, joka vastaa järjestelmämatriisia, ts. koostuu tuntemattomien kertoimista,

nimeltään järjestelmän määräävä tekijä.

Muodostetaan vielä kolme determinanttia seuraavasti: korvataan peräkkäin 1, 2 ja 3 saraketta determinantissa D vapaiden termien sarakkeella

Sitten voimme todistaa seuraavan tuloksen.

Lause (Cramerin sääntö). Jos järjestelmän determinantti Δ ≠ 0, niin tarkasteltavalla järjestelmällä on yksi ja vain yksi ratkaisu, ja

Todiste. Tarkastellaan siis kolmen yhtälön järjestelmää, jossa on kolme tuntematonta. Kerro järjestelmän 1. yhtälö algebrallisella komplementilla A 11 elementti a 11, 2. yhtälö – päällä A 21 ja 3. – päällä A 31:

Lisätään nämä yhtälöt:

Katsotaanpa tämän yhtälön kutakin sulkua ja oikeaa puolta. Lauseen mukaan determinantin laajenemisesta 1. sarakkeen elementeissä

Samalla tavalla voidaan osoittaa, että ja .

Lopulta se on helppo huomata

Siten saamme tasa-arvon: .

Siksi,.

Yhtälöt ja johdetaan samalla tavalla, josta lauseen väite seuraa.

Täten huomaamme, että jos järjestelmän determinantti Δ ≠ 0, niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu ja päinvastoin. Jos järjestelmän determinantti on nolla, niin systeemillä joko on ääretön määrä ratkaisuja tai ei ole ratkaisuja, ts. yhteensopimaton.

Esimerkkejä. Ratkaise yhtälöjärjestelmä

GAUSS-MENETELMÄ

Aiemmin käsitellyillä menetelmillä voidaan ratkaista vain sellaisia järjestelmiä, joissa yhtälöiden lukumäärä on sama kuin tuntemattomien lukumäärä ja järjestelmän determinantin on oltava eri kuin nolla. Gaussin menetelmä on yleismaailmallisempi ja sopii järjestelmiin, joissa on mikä tahansa määrä yhtälöitä. Se koostuu tuntemattomien johdonmukaisesta poistamisesta järjestelmän yhtälöistä.

Tarkastellaan jälleen kolmen yhtälön järjestelmää, jossa on kolme tuntematonta:

Jätämme ensimmäisen yhtälön ennalleen, ja toisesta ja kolmannesta jätämme pois termit, jotka sisältävät x 1. Tee tämä jakamalla toinen yhtälö A 21 ja kerro - A 11, ja lisää se sitten 1. yhtälöön. Samalla tavalla jaamme kolmannen yhtälön arvolla A 31 ja kerro - A 11 ja lisää se sitten ensimmäiseen. Tämän seurauksena alkuperäinen järjestelmä on seuraavanlainen:

Nyt viimeisestä yhtälöstä eliminoidaan termi, joka sisältää x 2. Tee tämä jakamalla kolmas yhtälö, kertomalla ja lisäämällä toisella. Sitten meillä on yhtälöjärjestelmä:

Täältä, viimeisestä yhtälöstä se on helppo löytää x 3, sitten 2. yhtälöstä x 2 ja lopuksi 1. päivästä - x 1.

Gaussin menetelmää käytettäessä yhtälöt voidaan tarvittaessa vaihtaa.

Usein uuden yhtälöjärjestelmän kirjoittamisen sijaan he rajoittuvat kirjoittamaan järjestelmän laajennetun matriisin:

ja tuo se sitten kolmion tai diagonaalin muotoon käyttämällä alkeismuunnoksia.

TO alkeellisia muunnoksia matriisit sisältävät seuraavat muunnokset:

rivien tai sarakkeiden uudelleenjärjestely;
merkkijonon kertominen muulla kuin nollalla;
lisäämällä muita rivejä yhdelle riville.

Esimerkkejä: Ratkaise yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä.

Järjestelmällä on siis ääretön määrä ratkaisuja.

Jatkamme lineaaristen yhtälöjärjestelmien käsittelyä. Toistaiseksi olemme pohtineet järjestelmiä, joissa on ainutlaatuinen ratkaisu. Tällaiset järjestelmät voidaan ratkaista millä tahansa tavalla: korvausmenetelmällä("koulu"), Cramerin kaavojen mukaan matriisimenetelmällä, Gaussin menetelmä. Käytännössä kaksi muuta tapausta ovat kuitenkin yleisiä:

1) järjestelmä on epäjohdonmukainen (ei ratkaisuja);

2) järjestelmässä on äärettömän monta ratkaisua.

Näissä järjestelmissä käytetään yleisintä kaikista ratkaisumenetelmistä - Gaussin menetelmä. Itse asiassa "koulu" -menetelmä johtaa myös vastaukseen, mutta korkeammassa matematiikassa on tapana käyttää Gaussin menetelmää tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin. Ne, jotka eivät tunne Gaussin menetelmän algoritmia, tutkikaa ensin oppitunti Gaussin menetelmä

Itse alkeismatriisimuunnokset ovat täsmälleen samat, ero on ratkaisun lopussa. Katsotaanpa ensin pari esimerkkiä, kun järjestelmässä ei ole ratkaisuja (epäjohdonmukainen).

Esimerkki 1

Mikä tässä järjestelmässä pistää heti silmään? Yhtälöiden määrä on pienempi kuin muuttujien määrä. On olemassa lause, joka sanoo: "Jos järjestelmän yhtälöiden määrä on pienempi kuin muuttujien lukumäärä, silloin järjestelmä on joko epäjohdonmukainen tai siinä on äärettömän monta ratkaisua." Ja jäljellä on vain ottaa selvää.

Ratkaisun alku on täysin tavallinen - kirjoitamme muistiin järjestelmän laajennetun matriisin ja saatamme sen vaiheittaiseen muotoon käyttämällä alkeismuunnoksia:

(1). Vasemmassa yläkulmassa meidän on saatava (+1) tai (–1). Ensimmäisessä sarakkeessa ei ole tällaisia numeroita, joten rivien uudelleenjärjestely ei tee mitään. Yksikön on järjestettävä itsensä, ja tämä voidaan tehdä useilla tavoilla. Teimme tämän. Ensimmäiselle riville lisätään kolmas rivi kerrottuna (–1).

(2). Nyt saamme kaksi nollaa ensimmäiseen sarakkeeseen. Toiselle riville lisäämme ensimmäisen rivin kerrottuna 3:lla. Kolmannelle riville lisäämme ensimmäisen, kerrottuna 5:llä.

(3). Kun muunnos on suoritettu, kannattaa aina tarkistaa, onko mahdollista yksinkertaistaa tuloksena olevia merkkijonoja? Voi. Jaamme toisen rivin 2:lla ja saamme samalla halutun (–1) toisella askeleella. Jaa kolmas rivi (–3).

(4). Lisää toinen rivi kolmanteen riviin. Luultavasti kaikki huomasivat huonon linjan, joka johtui alkeellisista muutoksista:

. On selvää, että näin ei voi olla.

Todellakin, kirjoitetaan tuloksena oleva matriisi uudelleen

takaisin lineaariseen yhtälöjärjestelmään:

Jos alkeismuunnosten tuloksena saadaan muotoinen merkkijono , Missäλ on muu luku kuin nolla, järjestelmä on epäjohdonmukainen (ei ratkaisuja).

Kuinka kirjoittaa tehtävän loppu? Sinun on kirjoitettava muistiin lause:

”Alkeismuunnosten tuloksena saatiin muotojono, jossa λ ≠ 0 " Vastaus: "Järjestelmällä ei ole ratkaisuja (epäjohdonmukainen)."

Huomaa, että tässä tapauksessa Gaussin algoritmia ei käännetä, ei ole ratkaisuja eikä yksinkertaisesti ole mitään löydettävää.

Esimerkki 2

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Muistutamme jälleen, että ratkaisusi voi poiketa meidän ratkaisustamme.

Toinen tekninen ominaisuus ratkaisut: alkeismuunnokset voidaan pysäyttää Heti, heti kun rivi, kuten , missä λ ≠ 0 . Tarkastellaan ehdollista esimerkkiä: oletetaan, että ensimmäisen muunnoksen jälkeen matriisi saadaan

Tätä matriisia ei ole vielä pelkistetty echelon-muotoon, mutta muita alkeismuunnoksia ei tarvita, koska muotoon on ilmestynyt rivi, jossa λ ≠ 0 . Vastaus on annettava välittömästi, että järjestelmä ei ole yhteensopiva.

Kun lineaarisella yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja, se on melkein lahja opiskelijalle, koska se osoittautuu lyhyt ratkaisu, joskus kirjaimellisesti 2-3 toiminnolla. Mutta kaikki tässä maailmassa on tasapainossa, ja ongelma, johon järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua, on vain pidempi.

Esimerkki 3:

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Yhtälöitä on 4 ja tuntematonta 4, joten järjestelmällä voi olla joko yksi ratkaisu tai ei ratkaisuja tai siinä voi olla äärettömän monta ratkaisua. Oli miten oli, Gaussin menetelmä johdattaa meidät joka tapauksessa vastaukseen. Tämä on sen monipuolisuus.

Alku on taas vakio. Kirjataan muistiin järjestelmän laajennettu matriisi ja saatetaan se alkeismuunnoksilla vaiheittaiseen muotoon:

Siinä kaikki, ja sinä pelkäsit.

(1). Huomaa, että kaikki ensimmäisen sarakkeen luvut ovat jaollisia kahdella, joten 2 on hyvä vasemmassa yläkulmassa. Toiselle riville lisätään ensimmäinen rivi kerrottuna (–4). Kolmannelle riville lisätään ensimmäinen rivi kerrottuna (–2). Neljännelle riville lisätään ensimmäinen rivi kerrottuna (–1).

Huomio! Monia saattaa houkutella neljäs rivi vähentää ensimmäinen linja. Tämä voidaan tehdä, mutta se ei ole välttämätöntä. Kokemus osoittaa, että virheiden todennäköisyys laskelmissa kasvaa useita kertoja. Lisäämme vain: neljännelle riville lisäämme ensimmäisen rivin kerrottuna (-1) - tarkalleen!

(2). Kolme viimeistä riviä ovat suhteellisia, kaksi niistä voidaan poistaa. Tässä meidän on jälleen näytettävä lisääntynyt huomio, mutta ovatko viivat todella verrannollisia? Varmuuden vuoksi olisi hyvä idea kertoa toinen rivi (-1) ja jakaa neljäs rivi 2:lla, jolloin saadaan kolme identtistä riviä. Ja vasta sen jälkeen poista niistä kaksi. Alkuainemuunnosten seurauksena järjestelmän laajennettu matriisi pelkistyy vaiheittaiseen muotoon:

Kun kirjoitat tehtävää muistikirjaan, on suositeltavaa tehdä samat muistiinpanot lyijykynällä selvyyden vuoksi.

Kirjoitetaan uudelleen vastaava yhtälöjärjestelmä:

Täällä ei ole hajuakaan "tavallisesta" yksittäisestä ratkaisusta järjestelmään. Huono linja missä λ ≠ 0, myös ei. Tämä tarkoittaa, että tämä on kolmas jäljellä oleva tapaus - järjestelmässä on äärettömän monta ratkaisua.

Loputon joukko ratkaisuja järjestelmään kirjoitetaan lyhyesti ns järjestelmän yleinen ratkaisu.

Löydämme järjestelmän yleisen ratkaisun käyttämällä Gaussin menetelmän käänteistä. Yhtälöjärjestelmille, joissa on ääretön joukko ratkaisuja, ilmaantuu uusia käsitteitä: "perusmuuttujat" Ja "vapaat muuttujat". Ensin määritellään, mitä muuttujia meillä on perus, ja mitkä muuttujat - vapaa. Lineaarialgebran termejä ei tarvitse selittää yksityiskohtaisesti, riittää, kun muistaa, että sellaisia on perusmuuttujia Ja vapaat muuttujat.

Perusmuuttujat "istuvat" aina tiukasti matriisin portailla. Tässä esimerkissä perusmuuttujat ovat x 1 ja x 3 .

Vapaat muuttujat ovat kaikki kaikessa jäljelle jäänyt muuttujat, jotka eivät saaneet askelta. Meidän tapauksessamme niitä on kaksi: x 2 ja x 4 – vapaat muuttujat.

Nyt tarvitset Kaikkiperusmuuttujia ilmaista vain läpivapaat muuttujat. Gaussin algoritmin käänteinen toimintatapa toimii perinteisesti alhaalta ylöspäin. Järjestelmän toisesta yhtälöstä ilmaistaan perusmuuttuja x 3:

Katso nyt ensimmäistä yhtälöä: . Ensin korvataan löydetty lauseke siihen:

On vielä ilmaista perusmuuttuja x 1 vapaiden muuttujien kautta x 2 ja x 4:

Lopulta saimme mitä tarvitsimme - Kaikki perusmuuttujat ( x 1 ja x 3) ilmaistaan vain läpi vapaat muuttujat ( x 2 ja x 4):

Itse asiassa yleinen ratkaisu on valmis:

Kuinka kirjoittaa yleinen ratkaisu oikein? Ensinnäkin vapaat muuttujat kirjoitetaan yleiseen ratkaisuun "itsekseen" ja tiukasti paikoilleen. Tässä tapauksessa vapaat muuttujat x 2 ja x 4 tulee kirjoittaa toiseen ja neljänteen paikkaan:

Tuloksena olevat lausekkeet perusmuuttujille ja se on luonnollisesti kirjoitettava ensimmäiseen ja kolmanteen kohtaan:

Järjestelmän yleisestä ratkaisusta löytyy äärettömän monta yksityisiä ratkaisuja. Se on hyvin yksinkertaista. Vapaat muuttujat x 2 ja x 4 kutsutaan niin, koska ne voidaan antaa lopullisia arvoja. Suosituimmat arvot ovat nolla-arvot, koska tämä on helpoin saada osaratkaisu.

Korvaaminen ( x 2 = 0; x 4 = 0) yleiseen ratkaisuun, saadaan yksi erityisratkaisuista:

tai on erityinen ratkaisu, joka vastaa vapaita muuttujia arvoilla ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Toinen makea pari on yksi, korvataan ( x 2 = 1 ja x 4 = 1) yleiseen ratkaisuun:

, eli (-1; 1; 1; 1) – toinen erityinen ratkaisu.

On helppo nähdä, että yhtälöjärjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua koska voimme antaa vapaita muuttujia minkä tahansa merkityksiä.

Jokainen tietyn ratkaisun on tyydyttävä jokaiselle järjestelmän yhtälö. Tämä on perusta ratkaisun oikeellisuuden "nopealle" tarkastukselle. Otetaan esimerkiksi tietty ratkaisu (-1; 1; 1; 1) ja korvataan se alkuperäisen järjestelmän jokaisen yhtälön vasemmalla puolella:

Kaiken on tultava yhteen. Ja minkä tahansa saamasi ratkaisun kohdalla kaiken pitäisi myös olla samaa mieltä.

Tarkkaan ottaen tietyn ratkaisun tarkistaminen on joskus harhaanjohtavaa, ts. jokin tietty ratkaisu voi täyttää järjestelmän jokaisen yhtälön, mutta itse yleinen ratkaisu löytyy itse asiassa väärin. Siksi ensinnäkin yleisen ratkaisun todentaminen on perusteellisempaa ja luotettavampaa.

Kuinka tarkistaa tuloksena oleva yleinen ratkaisu ?

Se ei ole vaikeaa, mutta vaatii pitkiä muutoksia. Meidän on otettava ilmaisuja perus muuttujia, tässä tapauksessa ja , ja korvaa ne järjestelmän kunkin yhtälön vasemmalla puolella.

Järjestelmän ensimmäisen yhtälön vasemmalla puolella:

Järjestelmän ensimmäisen ensimmäisen yhtälön oikea puoli saadaan.

Järjestelmän toisen yhtälön vasemmalla puolella:

Järjestelmän ensimmäisen toisen yhtälön oikea puoli saadaan.

Ja sitten - järjestelmän kolmannen ja neljännen yhtälön vasemmalle puolelle. Tämä tarkistus kestää kauemmin, mutta takaa kokonaisratkaisun 100 % oikeellisuuden. Lisäksi jotkut tehtävät vaativat yleisen ratkaisun tarkistamista.

Esimerkki 4:

Ratkaise järjestelmä Gaussin menetelmällä. Etsi yleinen ratkaisu ja kaksi erityistä ratkaisua. Tarkista yleinen ratkaisu.

Esimerkki 5:

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä. Jos järjestelmässä on äärettömän monta ratkaisua, etsi kaksi tiettyä ratkaisua ja tarkista yleinen ratkaisu

Ratkaisu: Kirjataan muistiin järjestelmän laajennettu matriisi ja viedään se alkeismuunnoksilla vaiheittaiseen muotoon:

(1). Lisää ensimmäinen rivi toiselle riville. Kolmannelle riville lisätään ensimmäinen rivi kerrottuna 2:lla. Neljännelle riville lisätään ensimmäinen rivi kerrottuna 3:lla.

(2). Kolmannelle riville lisätään toinen rivi kerrottuna (–5). Neljännelle riville lisätään toinen rivi kerrottuna (–7).

(3). Kolmas ja neljäs rivi ovat samat, poistamme yhden niistä. Tämä on niin kauneutta:

Perusmuuttujat istuvat portaissa, joten - perusmuuttujat.

On vain yksi vapaa muuttuja, joka ei saanut askelta tähän: .

(4). Käänteinen liike. Ilmaistaan perusmuuttujat vapaalla muuttujalla:

Kolmannesta yhtälöstä:

Tarkastellaan toista yhtälöä ja korvataan löydetty lauseke siihen:

, , ,

Tarkastellaan ensimmäistä yhtälöä ja korvataan löydetyt lausekkeet ja siihen:

Näin ollen yleinen ratkaisu yhdellä vapaalla muuttujalla x 4:

Vielä kerran, miten kävi? Vapaa muuttuja x 4 on yksin oikeutetulla neljännellä sijalla. Tuloksena olevat lausekkeet perusmuuttujille , ovat myös paikallaan.

Tarkastetaan heti yleinen ratkaisu.

Korvaamme perusmuuttujat , , järjestelmän jokaisen yhtälön vasemmalle puolelle:

Saadaan yhtälöiden vastaavat oikeat puolet, jolloin löydetään oikea yleinen ratkaisu.

Nyt löydetystä yleisratkaisusta saamme kaksi erityistä ratkaisua. Kaikki muuttujat ilmaistaan tässä yhden kautta vapaa muuttuja x 4. Ei tarvitse raahata aivojasi.

Antaa x 4 = 0 sitten – ensimmäinen erityinen ratkaisu.

Antaa x 4 = 1 siis – toinen yksityinen ratkaisu.

Vastaus: Yhteinen päätös: . Yksityiset ratkaisut:

Ja .

Esimerkki 6:

Etsi yleinen ratkaisu lineaariyhtälöjärjestelmälle.

Olemme jo tarkistaneet yleisen ratkaisun, vastaukseen voi luottaa. Ratkaisusi voi poiketa meidän ratkaisustamme. Pääasia, että yleiset päätökset osuvat yhteen. Todennäköisesti monet ihmiset huomasivat epämiellyttävän hetken ratkaisuissa: hyvin usein Gaussin menetelmän käänteisen kurssin aikana jouduimme puuhailemaan tavallisia murtolukuja. Käytännössä tapaukset, joissa murtolukuja ei ole, ovat paljon harvinaisempia. Valmistaudu henkisesti ja mikä tärkeintä, teknisesti.

Pysähdytään ratkaisun ominaisuuksiin, joita ei löytynyt ratkaistuista esimerkeistä. Järjestelmän yleinen ratkaisu voi joskus sisältää vakion (tai vakioita).

Esimerkiksi yleinen ratkaisu: . Tässä yksi perusmuuttujista on yhtä suuri kuin vakioluku: . Tässä ei ole mitään eksoottista, sitä tapahtuu. Ilmeisesti tässä tapauksessa mikä tahansa ratkaisu sisältää viisi ensimmäisessä asemassa.

Harvoin, mutta on olemassa järjestelmiä, joissa yhtälöiden määrä on suurempi kuin muuttujien määrä. Gaussin menetelmä toimii kuitenkin vaikeimmissa olosuhteissa. Järjestelmän laajennettu matriisi kannattaa rauhallisesti pelkistää portaitaiseen muotoon käyttämällä standardialgoritmia. Tällainen järjestelmä voi olla epäjohdonmukainen, sillä voi olla äärettömän monta ratkaisua, ja kummallista kyllä, sillä voi olla yksi ratkaisu.

Toistakaamme neuvomme - jotta voit tuntea olosi mukavaksi ratkaistessasi järjestelmää Gaussin menetelmällä, sinun tulee olla hyvä ratkaisemaan vähintään tusina järjestelmää.

Ratkaisut ja vastaukset:

Esimerkki 2:

Ratkaisu:Kirjataan muistiin järjestelmän laajennettu matriisi ja saatetaan se alkeismuunnoksilla porrastettuun muotoon.

Tehdyt perusmuunnokset:

(1) Ensimmäinen ja kolmas rivi on vaihdettu.

(2) Ensimmäinen rivi lisättiin toiselle riville kerrottuna (–6). Ensimmäinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna (–7).

(3) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna (–1).

Alkuainemuunnosten tuloksena saadaan muotoinen merkkijono, Missä λ ≠ 0 .Tämä tarkoittaa, että järjestelmä on epäjohdonmukainen.Vastaus: ei ole ratkaisuja.

Esimerkki 4:

Ratkaisu:Kirjataan muistiin järjestelmän laajennettu matriisi ja saatetaan se alkeismuunnoksilla vaiheittaiseen muotoon:

Suoritetut konversiot:

(1). Ensimmäinen rivi, kerrottuna 2:lla, lisättiin toiselle riville. Ensimmäinen rivi kerrottuna 3:lla lisättiin kolmanteen riviin.

Toiselle vaiheelle ei ole yksikköä , ja muunnolla (2) pyritään saamaan se.

(2). Kolmas rivi lisättiin toiselle riville kerrottuna -3:lla.

(3). Toinen ja kolmas rivi vaihdettiin (siirtimme tuloksena saadun -1:n toiseen vaiheeseen)

(4). Kolmas rivi lisättiin toiselle riville kerrottuna 3:lla.

(5). Kahden ensimmäisen rivin etumerkkiä muutettiin (kerroin -1), kolmas rivi jaettiin 14:llä.

Käänteinen:

(1). Tässä ovat perusmuuttujia (jotka ovat portaissa), ja – vapaat muuttujat (joka ei saanut askelta).

(2). Ilmaistaan perusmuuttujat vapailla muuttujilla:

Kolmannesta yhtälöstä: .

(3). Harkitse toista yhtälöä:, yksityiset ratkaisut:

Vastaus: Yhteinen päätös:

Monimutkaiset luvut

Tässä osiossa esittelemme käsitteen kompleksiluku, harkitse algebrallinen, trigonometrinen Ja eksponentiaalinen muoto kompleksiluku. Opimme myös suorittamaan operaatioita kompleksiluvuilla: yhteen-, vähennys-, kerto-, jakolasku-, eksponentio- ja juurenpoisto.

Kompleksilukujen hallitseminen ei vaadi erityisiä tietoja korkeammasta matematiikan kurssista, ja materiaali on myös koululaisten saatavilla. Riittää, että pystyt suorittamaan algebrallisia operaatioita "tavallisilla" luvuilla ja muistamaan trigonometrian.

Ensin muistetaan "tavalliset" numerot. Matematiikassa niitä kutsutaan joukko reaalilukuja ja ne on merkitty kirjaimella R, tai R (paksutettu). Kaikki todelliset luvut istuvat tutulla numerorivillä:

Reaalilukujen seura on hyvin monipuolinen - täällä on kokonaislukuja, murtolukuja ja irrationaalisia lukuja. Tässä tapauksessa jokainen numeroakselin piste vastaa välttämättä jotain reaalilukua.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen on yksi lineaarisen algebran pääongelmista. Tällä ongelmalla on tärkeä soveltava merkitys tieteellisten ja teknisten ongelmien ratkaisemisessa, lisäksi se on apuväline useiden laskennallisen matematiikan, matemaattisen fysiikan algoritmien toteutuksessa ja kokeellisen tutkimuksen tulosten käsittelyssä.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä kutsutaan yhtälöjärjestelmäksi, jonka muoto on: (1)

Missä – tuntematon; - ilmaiset jäsenet.

Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen(1) soittaa mitä tahansa numerojoukkoa, joka sijoitetaan järjestelmään (1) tuntemattomien tilalle muuntaa kaikki järjestelmän yhtälöt oikeiksi numeerisiksi yhtälöiksi.

Yhtälöjärjestelmä on ns liitos, jos siinä on vähintään yksi ratkaisu ja ei-nivel, jos sillä ei ole ratkaisuja.

Samanaikaista yhtälöjärjestelmää kutsutaan varma, jos sillä on yksi ainutlaatuinen ratkaisu, ja epävarma, jos siinä on vähintään kaksi erilaista ratkaisua.

Näitä kahta yhtälöjärjestelmää kutsutaan vastaava tai vastaava, jos niillä on samat ratkaisut.

Järjestelmää (1) kutsutaan homogeeninen, jos ilmaiset ehdot ovat nolla:

Homogeeninen järjestelmä on aina johdonmukainen - sillä on ratkaisu (ei ehkä ainoa).

Jos järjestelmässä (1), meillä on järjestelmä n lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon: Missä – tuntematon; – tuntemattomien kertoimet, - ilmaiset jäsenet.

Lineaarisella järjestelmällä voi olla yksi ratkaisu, äärettömän monta ratkaisua tai ei ratkaisua ollenkaan.

Tarkastellaan kahden lineaarisen yhtälön järjestelmää, joissa on kaksi tuntematonta

Jos sitten järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu;

Jos silloin järjestelmällä ei ole ratkaisuja;

Jos silloin järjestelmällä on ääretön määrä ratkaisuja.

Esimerkki. Järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu numeroparille

Järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja. Esimerkiksi tietyn järjestelmän ratkaisut ovat lukupareja jne.

Järjestelmässä ei ole ratkaisuja, koska kahden luvun ero ei voi saada kahta eri arvoa.

Määritelmä. Toisen asteen determinantti kutsutaan muodon ilmaisuksi:

Determinantti on merkitty symbolilla D.

Numerot A 11, …, A 22 kutsutaan determinantin elementeiksi.

Elementtien muodostama diagonaali A 11 ; A 22 kutsutaan pää elementtien muodostama diagonaali A 12 ; A 21 − puolella

Siten toisen kertaluvun determinantti on yhtä suuri kuin pää- ja toissijaisten diagonaalien elementtien tulojen välinen ero.

Huomaa, että vastaus on numero.

Esimerkki. Lasketaan determinantit:

Tarkastellaan kahden lineaarisen yhtälön järjestelmää, joissa on kaksi tuntematonta: Missä X 1, X 2 – tuntematon; A 11 , …, A 22 – tuntemattomien kertoimet, b 1 ,b 2 – ilmaisia jäseniä.

Jos kahden yhtälön järjestelmällä, jossa on kaksi tuntematonta, on ainutlaatuinen ratkaisu, niin se voidaan löytää käyttämällä toisen kertaluvun determinantteja.

Määritelmä. Kutsutaan determinanttia, joka koostuu tuntemattomien kertoimista järjestelmän määräävä tekijä: D=.

Determinantin D sarakkeet sisältävät kertoimet vastaavasti for X 1 ja klo , X 2. Esittelemme kaksi ylimääräinen karsinta, jotka saadaan järjestelmän determinantista korvaamalla yksi sarakkeista vapaiden termien sarakkeella: D 1 = D 2 = .

Lause 14(Kramer, tapaukselle n = 2). Jos järjestelmän determinantti D eroaa nollasta (D¹0), niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka löydetään kaavojen avulla:

Näitä kaavoja kutsutaan Cramerin kaavat.

Esimerkki. Ratkaistaan järjestelmä Cramerin säännöllä:

Ratkaisu. Etsitään numerot

Vastaus.

Määritelmä. Kolmannen asteen determinantti kutsutaan muodon ilmaisuksi:

Elementit A 11; A 22 ; A 33 – muodostaa päädiagonaalin.

Numerot A 13; A 22 ; A 31 – muodosta sivudiagonaali.

Plussalla varustettu merkintä sisältää: päälävistäjän elementtien tulon, loput kaksi termiä ovat niiden elementtien tulo, jotka sijaitsevat päälävistäjän kanssa samansuuntaisten kolmioiden kärjessä. Miinustermit muodostetaan saman kaavion mukaisesti toissijaisen diagonaalin suhteen.

Esimerkki. Lasketaan determinantit:

Missä – tuntematon; – tuntemattomien kertoimet, - ilmaiset jäsenet.

Ainutlaatuisen ratkaisun tapauksessa 3 lineaarisen yhtälön, joissa on kolme tuntematonta, järjestelmä voidaan ratkaista käyttämällä 3. kertaluvun determinantteja.

Järjestelmän D determinantilla on muoto:

Otetaan käyttöön kolme lisätekijää:

Lause 15(Kramer, tapaukselle n = 3). Jos järjestelmän determinantti D eroaa nollasta, niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka löydetään käyttämällä Cramerin kaavoja:

Esimerkki. Ratkaistaan järjestelmä Cramerin säännön mukaan.

Ratkaisu. Etsitään numerot

Käytetään Cramerin kaavoja ja löydetään ratkaisu alkuperäiseen järjestelmään:

Vastaus.

Huomaa, että Cramerin lause on sovellettavissa, kun yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä ja kun järjestelmän D determinantti on nollasta poikkeava.

Jos järjestelmän determinantti on nolla, niin tässä tapauksessa järjestelmällä voi joko olla ilman ratkaisuja tai sillä voi olla ääretön määrä ratkaisuja. Näitä tapauksia tutkitaan erikseen.

Huomautetaan vain yksi tapaus. Jos järjestelmän determinantti on nolla (D=0), ja ainakin yksi lisädeterminanteista on eri kuin nolla, järjestelmällä ei ole ratkaisuja, eli se on epäjohdonmukainen.

Cramerin lause voidaan yleistää järjestelmään n lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon: Missä – tuntematon; – tuntemattomien kertoimet, - ilmaiset jäsenet.

Jos lineaarisen yhtälöjärjestelmän determinantti tuntemattomien kanssa silloin ainoa ratkaisu järjestelmään löytyy käyttämällä Cramerin kaavoja:

Lisätarkenne saadaan determinantista D, jos se sisältää tuntemattoman kertoimien sarakkeen x i korvata ilmaisten jäsenten sarakkeella.

Huomaa, että determinantit D, D 1 , … , D n on järjestys n.

Gaussin menetelmä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen

Yksi yleisimmistä menetelmistä lineaaristen algebrallisten yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi on menetelmä tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin. − Gaussin menetelmä. Tämä menetelmä on yleistys substituutiomenetelmästä ja se koostuu peräkkäisestä tuntemattomien eliminoimisesta, kunnes jäljelle jää yksi yhtälö, jossa on yksi tuntematon.

Menetelmä perustuu joihinkin lineaarisen yhtälöjärjestelmän muunnoksiin, jolloin saadaan alkuperäistä järjestelmää vastaava järjestelmä. Menetelmäalgoritmi koostuu kahdesta vaiheesta.

Ensimmäinen vaihe on ns suoraan eteenpäin Gaussin menetelmä. Se koostuu tuntemattomien peräkkäisestä poistamisesta yhtälöistä. Voit tehdä tämän jakamalla järjestelmän ensimmäinen yhtälö ensimmäisessä vaiheessa (muussa tapauksessa järjestä järjestelmän yhtälöt uudelleen). Ne osoittavat tuloksena olevan pelkistetyn yhtälön kertoimia, kertovat sen kertoimella ja vähentävät sen järjestelmän toisesta yhtälöstä, mikä eliminoi sen toisesta yhtälöstä (nollaa kerroin).

Tee sama muiden yhtälöiden kanssa ja hanki uusi järjestelmä, jonka kaikissa yhtälöissä toisesta alkaen kertoimet for , sisältävät vain nollia. On selvää, että tuloksena oleva uusi järjestelmä vastaa alkuperäistä järjestelmää.

Jos uudet kertoimet, , eivät kaikki ole yhtä suuria kuin nolla, ne voidaan sulkea pois samalla tavalla kolmannesta ja sitä seuraavista yhtälöistä. Jatkamalla tätä toimintoa seuraaville tuntemattomille, järjestelmä saatetaan ns. kolmiomaiseen muotoon:

Tässä symbolit osoittavat muunnosten seurauksena muuttuneita numeerisia kertoimia ja vapaita termejä.

Järjestelmän viimeisestä yhtälöstä loput tuntemattomat määritetään ainutlaatuisella tavalla ja sitten peräkkäisellä substituutiolla.

Kommentti. Joskus muunnosten seurauksena missä tahansa yhtälössä kaikki kertoimet ja oikea puoli kääntyvät nollaan, eli yhtälö muuttuu identiteetiksi 0=0. Eliminoimalla tällainen yhtälö järjestelmästä yhtälöiden määrä vähenee verrattuna tuntemattomien määrään. Tällaisella järjestelmällä ei voi olla yhtä ratkaisua.

Jos Gaussin menetelmää sovellettaessa mikä tahansa yhtälö muuttuu yhtälöksi, jonka muoto on 0 = 1 (tuntemattomien kertoimet muuttuvat 0:ksi ja oikea puoli saa nollasta poikkeavan arvon), niin alkuperäisellä järjestelmällä ei ole ratkaisua, koska tällainen yhtäläisyys on epätosi kaikille tuntemattomille arvoille.

Tarkastellaan kolmen lineaarisen yhtälön järjestelmää, joissa on kolme tuntematonta:

(2)

Missä – tuntematon; – tuntemattomien kertoimet, - ilmaiset jäsenet.

Järjestelmät m lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon.
Lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen- tämä on sellainen joukko numeroita ( x 1 , x 2 , …, x n), kun se korvataan järjestelmän jokaisessa yhtälössä, saadaan oikea yhtälö.
Missä aij, i = 1, …, m; j = 1, …, n— järjestelmäkertoimet;
bi, i = 1, …, m- ilmaiset jäsenet;
xj, j = 1, …, n- tuntematon.
Yllä oleva järjestelmä voidaan kirjoittaa matriisimuotoon: A X = B,

Missä ( A|B) on järjestelmän päämatriisi;
A— laajennettu järjestelmämatriisi;
X— tuntemattomien sarake;
B— ilmaisten jäsenten sarake.
Jos matriisi B ei siis ole nollamatriisi ∅ tämä järjestelmä lineaarisia yhtälöitä kutsutaan epähomogeenisiksi.
Jos matriisi B= ∅, niin tätä lineaariyhtälöjärjestelmää kutsutaan homogeeniseksi. Homogeenisella järjestelmällä on aina nolla (triviaali) ratkaisu: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Lineaaristen yhtälöiden yhteinen järjestelmä on lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jolla on ratkaisu.
Epäjohdonmukainen lineaariyhtälöjärjestelmä on ratkaisematon lineaarinen yhtälöjärjestelmä.
Tietty lineaarinen yhtälöjärjestelmä on lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jolla on ainutlaatuinen ratkaisu.
Epämääräinen lineaarinen yhtälöjärjestelmä on lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jossa on ääretön määrä ratkaisuja.
N lineaarisen yhtälön järjestelmät, joissa on n tuntematonta
Jos tuntemattomien lukumäärä on yhtä suuri kuin yhtälöiden lukumäärä, matriisi on neliö. Matriisin determinanttia kutsutaan lineaarisen yhtälöjärjestelmän päädeterminantiksi ja sitä merkitään symbolilla Δ.
Cramer menetelmä järjestelmien ratkaisemiseen n lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon.
Cramerin sääntö.
Jos lineaarisen yhtälöjärjestelmän päädeterminantti ei ole nolla, järjestelmä on johdonmukainen ja määritelty, ja ainoa ratkaisu lasketaan käyttämällä Cramer-kaavoja:
jossa Δi ovat determinantteja, jotka on saatu järjestelmän päädeterminantista Δ korvaamalla i sarakkeesta vapaiden jäsenten sarakkeeseen. .
M lineaarisen yhtälön järjestelmät, joissa on n tuntematonta
Kronecker-Capellin lause.

Jotta tietty lineaarinen yhtälöjärjestelmä olisi johdonmukainen, on välttämätöntä ja riittävää, että järjestelmämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin järjestelmän laajennetun matriisin arvo, soi(Α) = soi(Α|B).
Jos soi(Α) ≠ soi(Α|B), järjestelmällä ei ilmeisesti ole ratkaisuja.
Jos soi(Α) = soi(Α|B), kaksi tapausta on mahdollista:
1) rank(Α) = n(tuntemattomien lukumäärä) - ratkaisu on ainutlaatuinen ja se voidaan saada käyttämällä Cramerin kaavoja;
2) sijoitus (Α)< n - Ratkaisuja on äärettömän monta.
Gaussin menetelmä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen

Luodaan laajennettu matriisi ( A|B) tietyn järjestelmän tuntemattomien ja oikeanpuoleisten kertoimista.
Gaussin menetelmä eli menetelmä tuntemattomien eliminoimiseksi koostuu laajennetun matriisin ( A|B). Palatakseni yhtälöjärjestelmään, kaikki tuntemattomat on määritetty.
Merkkijonojen perusmuunnoksia ovat seuraavat:
1) vaihda kaksi riviä;
2) merkkijonon kertominen muulla kuin 0:lla;
3) toisen merkkijonon lisääminen merkkijonoon kerrottuna mielivaltaisella luvulla;
4) nollaviivan heittäminen.
Laajennettu matriisi, joka on pelkistetty diagonaalimuotoon, vastaa lineaarinen järjestelmä, joka vastaa tätä, jonka ratkaisu ei aiheuta vaikeuksia. .
Homogeenisten lineaaristen yhtälöiden järjestelmä.
Homogeenisella järjestelmällä on muoto:

se vastaa matriisiyhtälöä A X = 0.
1) Homogeeninen järjestelmä on aina johdonmukainen, koska r(A) = r(A|B), on aina nollaratkaisu (0, 0, …, 0).
2) Jotta homogeenisella järjestelmällä olisi nollasta poikkeava ratkaisu, on välttämätöntä ja riittävää se r = r(A)< n , joka vastaa Δ = 0.
3) Jos r< n , silloin ilmeisesti Δ = 0, silloin syntyy vapaita tuntemattomia c 1, c 2, …, c n-r, järjestelmässä on ei-triviaaleja ratkaisuja, ja niitä on äärettömän paljon.
4) Yleinen ratkaisu X klo r< n voidaan kirjoittaa matriisimuodossa seuraavasti:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
missä on ratkaisut X1, X2, …, Xn-r muodostavat perustavanlaatuisen ratkaisujärjestelmän.
5) Perusratkaisujen järjestelmä voidaan saada homogeenisen järjestelmän yleisestä ratkaisusta:

,
jos asetamme parametrien arvot peräkkäin yhtä suureksi kuin (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Yleisratkaisun laajentaminen perusratkaisujärjestelmän kannalta on tietue yleisestä ratkaisusta perusjärjestelmään kuuluvien ratkaisujen lineaarisen yhdistelmän muodossa.
Lause. Jotta lineaaristen homogeenisten yhtälöiden ratkaisulla olisi nollasta poikkeava ratkaisu, on välttämätöntä ja riittävää, että Δ ≠ 0.
Joten jos determinantti Δ ≠ 0, niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.
Jos Δ ≠ 0, niin lineaarisilla homogeenisilla yhtälöillä on ääretön määrä ratkaisuja.
Lause. Jotta homogeenisella järjestelmällä olisi nollasta poikkeava ratkaisu, se on välttämätöntä ja riittävää r(A)< n .
Todiste:
1) r ei voi olla enempää n(matriisin järjestys ei ylitä sarakkeiden tai rivien määrää);
2) r< n , koska Jos r = n, niin järjestelmän päädeterminantti Δ ≠ 0, ja Cramerin kaavojen mukaan on olemassa ainutlaatuinen triviaaliratkaisu x 1 = x 2 = … = x n = 0, mikä on ehdon vastaista. tarkoittaa, r(A)< n .
Seuraus. Homogeenisen järjestelmän aikaansaamiseksi n lineaariset yhtälöt kanssa n Tuntemattomilla oli nollasta poikkeava ratkaisu, on välttämätöntä ja riittävää, että Δ = 0.

Käytännössä kaksi muuta tapausta ovat kuitenkin yleisiä:

– Järjestelmä on epäjohdonmukainen (ei ratkaisuja);
– Järjestelmä on johdonmukainen ja siinä on äärettömän monta ratkaisua.

Huomautus : Termi "yhtenäisyys" tarkoittaa, että järjestelmällä on ainakin jokin ratkaisu. Useissa ongelmissa on ensin tutkittava järjestelmän yhteensopivuus, katso artikkeli matriisien järjestys.

Itse alkeismatriisimuunnokset ovat täsmälleen samat, ero on ratkaisun lopussa. Katsotaanpa ensin pari esimerkkiä, kun järjestelmässä ei ole ratkaisuja (epäjohdonmukainen).

Esimerkki 1

Mikä tässä järjestelmässä pistää heti silmään? Yhtälöiden määrä on pienempi kuin muuttujien määrä. Jos yhtälöiden lukumäärä on pienempi kuin muuttujien lukumäärä, niin voimme heti sanoa, että järjestelmä on joko epäjohdonmukainen tai sillä on äärettömän monta ratkaisua. Ja jäljellä on vain ottaa selvää.

Ratkaisun alku on täysin tavallinen - kirjoitamme muistiin järjestelmän laajennetun matriisin ja saatamme sen vaiheittaiseen muotoon käyttämällä alkeismuunnoksia:

(1) Vasemmassa yläkulmassa meidän on saatava +1 tai -1. Ensimmäisessä sarakkeessa ei ole tällaisia numeroita, joten rivien uudelleenjärjestely ei tee mitään. Yksikön on järjestettävä itsensä, ja tämä voidaan tehdä useilla tavoilla. Tein näin: Ensimmäiselle riville lisäämme kolmannen rivin kerrottuna -1:llä.

(2) Nyt saamme kaksi nollaa ensimmäiseen sarakkeeseen. Toiselle riville lisätään ensimmäinen rivi kerrottuna 3:lla. Kolmannelle riville lisätään ensimmäinen rivi kerrottuna 5:llä.

(3) Kun muunnos on suoritettu, on aina suositeltavaa tarkistaa, onko mahdollista yksinkertaistaa tuloksena olevia merkkijonoja? Voi. Jaamme toisen rivin 2:lla ja saamme samalla vaaditun -1:n toisessa vaiheessa. Jaa kolmas rivi –3:lla.

(4) Lisää toinen rivi kolmanteen riviin.

Luultavasti kaikki huomasivat huonon linjan, joka johtui alkeellisista muutoksista: . On selvää, että näin ei voi olla. Todellakin, kirjoitetaan tuloksena oleva matriisi uudelleen takaisin lineaariseen yhtälöjärjestelmään:

Jos alkeismuunnosten tuloksena saadaan muotoinen merkkijono, jossa on jokin muu luku kuin nolla, niin järjestelmä on epäjohdonmukainen (ei ratkaisuja).

Kuinka kirjoittaa tehtävän loppu? Piirretään valkoisella liidulla: "alkeismuunnosten tuloksena saadaan muodon merkkijono , jossa " ja annetaan vastaus: järjestelmässä ei ole ratkaisuja (epäjohdonmukainen).

Jos järjestelmän yhteensopivuutta edellytyksen mukaan vaaditaan TUTKIMUKSESTA, niin ratkaisu on muotoiltava vankempaan tyyliin konseptin avulla. matriisiranka ja Kronecker-Capellin lause.

Huomaa, että tässä ei ole Gaussin algoritmin käänteistä - ei ole ratkaisuja eikä yksinkertaisesti löydy mitään.

Esimerkki 2

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Muistutan jälleen, että ratkaisusi voi poiketa minun ratkaisustani, Gaussin algoritmilla ei ole vahvaa "jäykkyyttä".

Toinen ratkaisun tekninen ominaisuus: alkeismuunnokset voidaan pysäyttää Heti, heti kun rivi kuten , missä . Tarkastellaan ehdollista esimerkkiä: oletetaan, että ensimmäisen muunnoksen jälkeen matriisi saadaan . Matriisia ei ole vielä pelkistetty echelon-muotoon, mutta muita alkeismuunnoksia ei tarvita, koska muotoon on ilmestynyt rivi, jossa . Vastaus on annettava välittömästi, että järjestelmä ei ole yhteensopiva.

Kun lineaarisella yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja, tämä on melkein lahja, koska saadaan lyhyt ratkaisu, joskus kirjaimellisesti 2-3 vaiheessa.

Mutta kaikki tässä maailmassa on tasapainossa, ja ongelma, johon järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua, on vain pidempi.

Esimerkki 3

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Alku on taas vakio. Kirjataan muistiin järjestelmän laajennettu matriisi ja saatetaan se alkeismuunnoksilla vaiheittaiseen muotoon:

Siinä kaikki, ja sinä pelkäsit.

(1) Huomaa, että kaikki ensimmäisen sarakkeen luvut ovat jaollisia kahdella, joten 2 on hyvä vasemmassa yläkulmassa. Toiselle riville lisäämme ensimmäisen rivin kerrottuna -4:llä. Kolmannelle riville lisäämme ensimmäisen rivin kerrottuna -2:lla. Neljännelle riville lisätään ensimmäinen rivi kerrottuna -1:llä.

Huomio! Monia saattaa houkutella neljäs rivi vähentää ensimmäinen linja. Tämä voidaan tehdä, mutta se ei ole välttämätöntä. Kokemus osoittaa, että virheiden todennäköisyys laskelmissa kasvaa useita kertoja. Lisää vain: Lisää neljännelle riville ensimmäinen rivi kerrottuna -1 - tarkalleen!

(2) Kolme viimeistä riviä ovat suhteellisia, joista kaksi voidaan poistaa.

Tässä meidän on jälleen näytettävä lisääntynyt huomio, mutta ovatko viivat todella verrannollisia? Varmuuden vuoksi (etenkin teekannulle) olisi hyvä idea kertoa toinen rivi -1:llä ja jakaa neljäs rivi 2:lla, jolloin saadaan kolme identtistä riviä. Ja vasta sen jälkeen poista niistä kaksi.

Alkuainemuunnosten seurauksena järjestelmän laajennettu matriisi pelkistyy vaiheittaiseen muotoon:

Kun kirjoitat tehtävää muistikirjaan, on suositeltavaa tehdä samat muistiinpanot lyijykynällä selvyyden vuoksi.

Kirjoitetaan uudelleen vastaava yhtälöjärjestelmä:

Täällä ei ole hajuakaan "tavallisesta" yksittäisestä ratkaisusta järjestelmään. Ei ole myöskään huonoa linjaa. Tämä tarkoittaa, että tämä on kolmas jäljellä oleva tapaus - järjestelmässä on äärettömän monta ratkaisua. Joskus ehdon mukaan on tarpeen tutkia järjestelmän yhteensopivuutta (eli todistaa, että ratkaisu on olemassa), voit lukea tästä artikkelin viimeisestä kappaleesta Kuinka löytää matriisin sijoitus? Mutta käydään nyt läpi perusasiat:

Loputon joukko ratkaisuja järjestelmään kirjoitetaan lyhyesti ns järjestelmän yleinen ratkaisu .

Löydämme järjestelmän yleisen ratkaisun käyttämällä Gaussin menetelmän käänteistä.

Ensin meidän on määritettävä, mitä muuttujia meillä on perus, ja mitkä muuttujat vapaa. Sinun ei tarvitse vaivata itseäsi lineaarialgebran termien kanssa, muista vain, että sellaisia on olemassa perusmuuttujia Ja vapaat muuttujat.

Perusmuuttujat "istuvat" aina tiukasti matriisin portailla.
Tässä esimerkissä perusmuuttujat ovat ja

Vapaat muuttujat ovat kaikki kaikessa jäljelle jäänyt muuttujat, jotka eivät saaneet askelta. Meidän tapauksessamme niitä on kaksi: – vapaat muuttujat.

Nyt tarvitset Kaikki perusmuuttujia ilmaista vain läpi vapaat muuttujat.

Gaussin algoritmin käänteinen toimintatapa toimii perinteisesti alhaalta ylöspäin.
Järjestelmän toisesta yhtälöstä ilmaisemme perusmuuttujan:

Katso nyt ensimmäistä yhtälöä: . Ensin korvataan löydetty lauseke siihen:

On vielä ilmaista perusmuuttuja vapailla muuttujilla:

Lopulta saimme mitä tarvitsimme - Kaikki perusmuuttujat ( ja ) ilmaistaan vain läpi vapaat muuttujat:

Itse asiassa yleinen ratkaisu on valmis:

Kuinka kirjoittaa yleinen ratkaisu oikein?
Vapaat muuttujat kirjoitetaan yleisratkaisuun "itsekseen" ja tiukasti paikoilleen. Tässä tapauksessa vapaat muuttujat tulee kirjoittaa toiseen ja neljänteen paikkaan:
.

Tuloksena olevat lausekkeet perusmuuttujille ja se on luonnollisesti kirjoitettava ensimmäiseen ja kolmanteen kohtaan:

Ilmaisten muuttujien antaminen mielivaltaiset arvot, voit löytää äärettömän monta yksityisiä ratkaisuja. Suosituimmat arvot ovat nollia, koska tietty ratkaisu on helpoin saada. Korvataan yleiseen ratkaisuun:

– yksityinen ratkaisu.

Toinen makea pari on niitä, korvataan ne yleiseen ratkaisuun:

– toinen yksityinen ratkaisu.

On helppo nähdä, että yhtälöjärjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua(koska voimme antaa vapaita muuttujia minkä tahansa arvot)

Jokainen tietyn ratkaisun on tyydyttävä jokaiselle järjestelmän yhtälö. Tämä on perusta ratkaisun oikeellisuuden "nopealle" tarkastukselle. Otetaan esimerkiksi tietty ratkaisu ja korvataan se alkuperäisen järjestelmän jokaisen yhtälön vasemmalla puolella:

Kaiken on tultava yhteen. Ja minkä tahansa saamasi ratkaisun kohdalla kaiken pitäisi myös olla samaa mieltä.

Mutta tarkasti ottaen tietyn ratkaisun tarkistaminen on joskus harhaanjohtavaa, ts. jokin tietty ratkaisu voi täyttää järjestelmän jokaisen yhtälön, mutta itse yleinen ratkaisu löytyy itse asiassa väärin.

Siksi yleisen ratkaisun todentaminen on perusteellisempaa ja luotettavampaa. Kuinka tarkistaa tuloksena oleva yleinen ratkaisu ?

Se ei ole vaikeaa, mutta melko tylsää. Meidän on otettava ilmaisuja perus muuttujia, tässä tapauksessa ja , ja korvaa ne järjestelmän kunkin yhtälön vasemmalla puolella.

Järjestelmän ensimmäisen yhtälön vasemmalla puolella:

Järjestelmän toisen yhtälön vasemmalla puolella:

Alkuperäisen yhtälön oikea puoli saadaan.

Esimerkki 4

Ratkaise järjestelmä Gaussin menetelmällä. Etsi yleinen ratkaisu ja kaksi erityistä ratkaisua. Tarkista yleinen ratkaisu.

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Tässä muuten yhtälöiden määrä on taas pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä, mikä tarkoittaa, että on heti selvää, että järjestelmä on joko epäjohdonmukainen tai sillä on ääretön määrä ratkaisuja. Mikä on tärkeää itse päätösprosessissa? Huomio ja vielä kerran huomio. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Ja vielä pari esimerkkiä materiaalin vahvistamiseksi

Esimerkki 5

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä. Jos järjestelmässä on äärettömän monta ratkaisua, etsi kaksi tiettyä ratkaisua ja tarkista yleinen ratkaisu

Ratkaisu: Kirjataan muistiin järjestelmän laajennettu matriisi ja viedään se alkeismuunnoksilla porrastettuun muotoon:

(1) Lisää ensimmäinen rivi toiselle riville. Kolmannelle riville lisätään ensimmäinen rivi kerrottuna 2:lla. Neljännelle riville lisätään ensimmäinen rivi kerrottuna 3:lla.
(2) Kolmannelle riville lisätään toinen rivi kerrottuna -5:llä. Neljännelle riville lisätään toinen rivi kerrottuna -7:llä.
(3) Kolmas ja neljäs rivi ovat samat, poistamme yhden niistä.

Tämä on niin kauneutta:

Perusmuuttujat istuvat portaissa, joten - perusmuuttujat.
On vain yksi vapaa muuttuja, joka ei saanut askelta:

Käänteinen:
Ilmaistaan perusmuuttujat vapaalla muuttujalla:
Kolmannesta yhtälöstä:

Tarkastellaan toista yhtälöä ja korvataan löydetty lauseke siihen:

Tarkastellaan ensimmäistä yhtälöä ja korvataan löydetyt lausekkeet ja siihen:

Kyllä, tavallisia murtolukuja laskeva laskin on edelleen kätevä.

Joten yleinen ratkaisu on:

Vielä kerran, miten kävi? Vapaa muuttuja on yksinään oikeutetulla neljännellä sijalla. Tuloksena saadut perusmuuttujien lausekkeet sijoittivat myös järjestysjärjestyksessä.

Tarkastetaan heti yleinen ratkaisu. Työ on mustille, mutta olen jo tehnyt sen, joten ota kiinni =)

Korvaamme kolme sankaria , , järjestelmän kunkin yhtälön vasemmalle puolelle:

Yhtälöiden vastaavat oikeat puolet saadaan, jolloin yleinen ratkaisu löytyy oikein.

Nyt löydetystä yleisratkaisusta saamme kaksi erityistä ratkaisua. Ainoa vapaa muuttuja täällä on kokki. Ei tarvitse raahata aivojasi.

Olkoon sitten – yksityinen ratkaisu.
Olkoon sitten – toinen yksityinen ratkaisu.

Vastaus: Yhteinen päätös: , yksityiset ratkaisut: , .

Minun ei olisi pitänyt muistaa mustia... ...koska kaikenlaisia sadistisia motiiveja tuli mieleeni ja muistin kuuluisan photoshopin, jossa Ku Klux Klansmenit valkoisissa kaapuissa juoksevat kentän poikki mustan jalkapalloilijan perässä. Istun ja hymyilen hiljaa. Tiedätkö kuinka häiritsevää...

Suuri osa matematiikasta on haitallista, joten samanlainen lopullinen esimerkki sen ratkaisemiseksi itse.

Esimerkki 6

Etsi yleinen ratkaisu lineaariyhtälöjärjestelmälle.

Olen jo tarkistanut yleisen ratkaisun, vastaukseen voi luottaa. Ratkaisusi voi poiketa minun ratkaisustani, pääasia, että yleiset ratkaisut osuvat yhteen.

Todennäköisesti monet ihmiset huomasivat epämiellyttävän hetken ratkaisuissa: hyvin usein Gaussin menetelmän käänteisen kurssin aikana jouduimme puuhailemaan tavallisia murtolukuja. Käytännössä tapaukset, joissa murtolukuja ei ole, ovat paljon harvinaisempia. Valmistaudu henkisesti ja mikä tärkeintä, teknisesti.

Pysähdyn joihinkin ratkaisun ominaisuuksiin, joita ei löytynyt ratkaistuista esimerkeistä.

Järjestelmän yleinen ratkaisu voi joskus sisältää vakion (tai vakioita), esimerkiksi: . Tässä yksi perusmuuttujista on yhtä suuri kuin vakioluku: . Tässä ei ole mitään eksoottista, sitä tapahtuu. Ilmeisesti tässä tapauksessa mikä tahansa ratkaisu sisältää viisi ensimmäisessä asemassa.

Harvoin, mutta on olemassa järjestelmiä, joissa yhtälöiden määrä on suurempi kuin muuttujien määrä. Gaussin menetelmä toimii ankarimmissa olosuhteissa, järjestelmän laajennettu matriisi tulee tyynesti pienentää porrastettuun muotoon käyttämällä standardialgoritmia. Tällainen järjestelmä voi olla epäjohdonmukainen, sillä voi olla äärettömän monta ratkaisua, ja kummallista kyllä, sillä voi olla yksi ratkaisu.