किसी बिंदु के अभिकेन्द्रीय सामान्य त्वरण का मापांक निर्धारित किया जाता है। सेंट्रिपेटल त्वरण - सूत्र व्युत्पत्ति और व्यावहारिक अनुप्रयोग। गैस कानून लागू करने का कार्य

इससे निकलने वाली दो किरणें एक कोण बनाती हैं। इसका मान रेडियन और डिग्री दोनों में निर्दिष्ट किया जा सकता है। अब, केंद्र बिंदु से कुछ दूरी पर, मानसिक रूप से एक वृत्त बनाएं। इस मामले में रेडियन में व्यक्त कोण का माप, दो किरणों द्वारा अलग किए गए चाप L की लंबाई का केंद्र बिंदु और वृत्त रेखा (R) के बीच की दूरी के मान का गणितीय अनुपात है, अर्थात :

यदि अब हम वर्णित प्रणाली को भौतिक के रूप में कल्पना करते हैं, तो न केवल कोण और त्रिज्या की अवधारणाओं को, बल्कि अभिकेन्द्रीय त्वरण, घूर्णन आदि को भी इस पर लागू किया जा सकता है। उनमें से अधिकांश घूमते हुए वृत्त पर एक बिंदु के व्यवहार का वर्णन करते हैं। वैसे, एक ठोस डिस्क को वृत्तों के एक समूह द्वारा भी दर्शाया जा सकता है, जिसका अंतर केवल केंद्र से दूरी में होता है।

ऐसी घूर्णनशील प्रणाली की एक विशेषता क्रांति की अवधि है। यह इंगित करता है कि एक मनमाने वृत्त पर एक बिंदु को अपनी मूल स्थिति में लौटने या, जो कि सत्य भी है, 360 डिग्री घूमने में लगने वाला समय है। स्थिर घूर्णन गति पर, पत्राचार T = (2 * 3.1416) / Ug (इसके बाद, Ug कोण है) है।

घूर्णी गति 1 सेकंड में किए गए पूर्ण क्रांतियों की संख्या को इंगित करती है। स्थिर गति से, हमें v = 1 / T मिलता है।

समय और घूर्णन के तथाकथित कोण पर निर्भर करता है। अर्थात्, यदि हम वृत्त पर एक मनमाना बिंदु A को मूल बिंदु के रूप में लेते हैं, तो सिस्टम के घूर्णन के दौरान यह बिंदु समय t में A1 पर स्थानांतरित हो जाएगा, जिससे त्रिज्या A-केंद्र और A1-केंद्र के बीच एक कोण बनेगा। समय और कोण को जानकर आप कोणीय वेग की गणना कर सकते हैं।

और चूँकि वृत्त, गति और गति है, तो अभिकेन्द्रीय त्वरण भी है। यह वक्रीय गति के मामले में गति का वर्णन करने वाले घटकों में से एक है। शब्द "सामान्य" और "केन्द्राभिमुख त्वरण" समान हैं। अंतर यह है कि दूसरे का उपयोग एक वृत्त में गति का वर्णन करने के लिए किया जाता है जब त्वरण वेक्टर को सिस्टम के केंद्र की ओर निर्देशित किया जाता है। इसलिए, यह जानना हमेशा आवश्यक होता है कि पिंड (बिंदु) कैसे चलता है और उसका अभिकेन्द्रीय त्वरण कैसे होता है। इसकी परिभाषा इस प्रकार है: यह गति के परिवर्तन की दर है, जिसका वेक्टर वेक्टर की दिशा के लंबवत निर्देशित होता है और बाद की दिशा को बदलता है। विश्वकोश इंगित करता है कि ह्यूजेंस इस मुद्दे के अध्ययन में लगे हुए थे। उनके द्वारा प्रस्तावित अभिकेन्द्र त्वरण का सूत्र इस प्रकार दिखता है:

एसीएस = (वी*वी) / आर,

जहाँ r यात्रा किये गये पथ की वक्रता त्रिज्या है; वी - गति की गति।

वह सूत्र जिसके द्वारा अभिकेंद्री त्वरण की गणना की जाती है, उत्साही लोगों के बीच अभी भी गर्म बहस चल रही है। उदाहरण के लिए, हाल ही में एक जिज्ञासु सिद्धांत सामने आया है।

ह्यूजेंस, प्रणाली पर विचार करते हुए, इस तथ्य से आगे बढ़े कि शरीर प्रारंभिक बिंदु ए पर मापी गई गति वी के साथ त्रिज्या आर के एक चक्र में चलता है। चूंकि जड़ता वेक्टर को निर्देशित किया जाता है, एक सीधी रेखा एबी के रूप में एक प्रक्षेपवक्र होता है प्राप्त किया। हालाँकि, अभिकेन्द्र बल शरीर को बिंदु C पर एक वृत्त पर रखता है। यदि हम केंद्र को O के रूप में नामित करते हैं और रेखाएँ AB, BO (BS और CO का योग), साथ ही AO खींचते हैं, तो हमें एक त्रिकोण मिलता है। पायथागॉरियन कानून के अनुसार:

BS=(a*(t*t)) / 2, जहां a त्वरण है; टी - समय (ए * टी * टी - यह गति है)।

यदि अब हम पायथागॉरियन सूत्र का उपयोग करें, तो:

R2+t2+v2 = R2+(a*t2*2*R) / 2+ (a*t2/2)2, जहां R त्रिज्या है और गुणन चिह्न के बिना अल्फ़ान्यूमेरिक वर्तनी डिग्री है।

ह्यूजेन्स ने स्वीकार किया कि, चूंकि समय t छोटा है, इसलिए इसे गणना में नजरअंदाज किया जा सकता है। पिछले सूत्र को परिवर्तित करने के बाद, वह सुप्रसिद्ध Acs = (v * v) / r पर आ गई।

हालाँकि, चूँकि समय का वर्ग होता है, एक प्रगति होती है: जितना बड़ा t, उतनी अधिक त्रुटि। उदाहरण के लिए, 0.9 के लिए, लगभग 20% के कुल मूल्य को ध्यान में नहीं रखा जाता है।

अभिकेन्द्रीय त्वरण की अवधारणा किसके लिए महत्वपूर्ण है? आधुनिक विज्ञान, लेकिन, जाहिर है, इस मुद्दे को खत्म करना जल्दबाजी होगी।

हमें इस ग्रह पर अस्तित्व में रहने की अनुमति देता है। आप कैसे समझ सकते हैं कि अभिकेन्द्रीय त्वरण क्या होता है? इस भौतिक मात्रा की परिभाषा नीचे प्रस्तुत की गई है।

टिप्पणियों

वृत्त में घूम रहे किसी पिंड के त्वरण का सबसे सरल उदाहरण एक रस्सी पर एक पत्थर को घुमाकर देखा जा सकता है। आप रस्सी को खींचते हैं, और रस्सी चट्टान को केंद्र की ओर खींचती है। समय के प्रत्येक क्षण में, रस्सी पत्थर को एक निश्चित मात्रा में गति देती है, और हर बार एक नई दिशा में। आप रस्सी की गति को कमजोर झटकों की एक श्रृंखला के रूप में कल्पना कर सकते हैं। एक झटका - और रस्सी अपनी दिशा बदलती है, एक और झटका - एक और परिवर्तन, और इसी तरह एक चक्र में। यदि आप अचानक रस्सी को छोड़ देते हैं, तो झटके रुक जाएंगे और उनके साथ गति की दिशा में परिवर्तन भी रुक जाएगा। पत्थर वृत्त की स्पर्श रेखा की दिशा में गति करेगा। प्रश्न उठता है: "इस क्षण में शरीर किस त्वरण से गति करेगा?"

अभिकेन्द्रीय त्वरण का सूत्र

सबसे पहले, यह ध्यान देने योग्य है कि एक वृत्त में शरीर की गति जटिल है। पत्थर एक ही समय में दो प्रकार की गति में भाग लेता है: एक बल की कार्रवाई के तहत, यह घूर्णन के केंद्र की ओर बढ़ता है, और साथ ही, वृत्त की स्पर्शरेखीय रूप से, यह इस केंद्र से दूर चला जाता है। न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, एक पत्थर को एक डोरी पर पकड़ने वाला बल उस डोरी के साथ घूर्णन के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। त्वरण वेक्टर को भी वहीं निर्देशित किया जाएगा।

मान लीजिए कुछ समय के लिए, हमारा पत्थर, V गति से समान रूप से चलते हुए, बिंदु A से बिंदु B तक पहुँच जाता है। मान लीजिए कि जिस समय पिंड बिंदु B को पार करता है, उस समय अभिकेन्द्रीय बल उस पर कार्य करना बंद कर देता है। फिर कुछ समय के लिए यह बिंदु K पर पहुंचेगा। यह स्पर्शरेखा पर स्थित है। यदि एक ही समय में केवल अभिकेन्द्र बल ही पिंड पर कार्य करते हैं, तो समय t में, समान त्वरण के साथ चलते हुए, यह बिंदु O पर समाप्त होगा, जो एक वृत्त के व्यास का प्रतिनिधित्व करने वाली सीधी रेखा पर स्थित है। दोनों खंड सदिश हैं और सदिश योग नियम का पालन करते हैं। समय अवधि t के लिए इन दो गतियों के योग के परिणामस्वरूप, हम चाप AB के अनुदिश परिणामी गति प्राप्त करते हैं।

यदि समय अंतराल t को नगण्य रूप से छोटा लिया जाए, तो चाप AB, जीवा AB से थोड़ा भिन्न होगा। इस प्रकार, चाप के अनुदिश गति को जीवा के अनुदिश गति से बदलना संभव है। इस मामले में, तार के साथ पत्थर की गति सीधी गति के नियमों का पालन करेगी, अर्थात, एबी द्वारा तय की गई दूरी पत्थर की गति और उसके आंदोलन के समय के उत्पाद के बराबर होगी। एबी = वी एक्स टी.

आइए हम वांछित अभिकेन्द्रीय त्वरण को अक्षर a से निरूपित करें। तब केवल अभिकेन्द्रीय त्वरण की क्रिया के तहत यात्रा किए गए पथ की गणना समान रूप से त्वरित गति के सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

दूरी AB गति और समय के गुणनफल के बराबर है, अर्थात AB = V x t,

एओ - एक सीधी रेखा में चलने के लिए समान रूप से त्वरित गति सूत्र का उपयोग करके पहले गणना की गई: एओ = 2/2 पर।

इन आंकड़ों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने और उन्हें रूपांतरित करने पर, हमें अभिकेन्द्रीय त्वरण के लिए एक सरल और सुरुचिपूर्ण सूत्र मिलता है:

शब्दों में, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: एक वृत्त में घूम रहे किसी पिंड का अभिकेन्द्रीय त्वरण उस वृत्त की त्रिज्या से रैखिक वेग के वर्ग को विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है जिसके साथ शरीर घूमता है। इस मामले में अभिकेंद्री बल नीचे दिए गए चित्र जैसा दिखेगा।

कोणीय वेग

कोणीय वेग वृत्त की त्रिज्या से विभाजित रैखिक वेग के बराबर होता है। इसका विपरीत भी सत्य है: V = ωR, जहां ω कोणीय वेग है

यदि हम इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम कोणीय वेग के लिए केन्द्रापसारक त्वरण की अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं। यह इस तरह दिखेगा:

गति परिवर्तन के बिना त्वरण

और फिर भी, केंद्र की ओर निर्देशित त्वरण वाला कोई पिंड तेजी से क्यों नहीं चलता और घूर्णन के केंद्र के करीब नहीं जाता? इसका उत्तर त्वरण के शब्दों में ही निहित है। तथ्य बताते हैं कि वृत्ताकार गति वास्तविक है, लेकिन इसे बनाए रखने के लिए केंद्र की ओर त्वरण की आवश्यकता होती है। इस त्वरण के कारण उत्पन्न बल की कार्रवाई के तहत, गति में परिवर्तन होता है, जिसके परिणामस्वरूप गति का प्रक्षेपवक्र लगातार घुमावदार होता है, हर समय वेग वेक्टर की दिशा बदलती रहती है, लेकिन इसका निरपेक्ष मान नहीं बदलता है। एक वृत्त में घूमते हुए, हमारा लंबे समय से पीड़ित पत्थर अंदर की ओर बढ़ता है, अन्यथा यह स्पर्शरेखीय रूप से आगे बढ़ता रहेगा। समय का हर क्षण, एक स्पर्श रेखा पर निकलते हुए, पत्थर केंद्र की ओर आकर्षित होता है, लेकिन उसमें गिरता नहीं है। सेंट्रिपेटल त्वरण का एक और उदाहरण एक वॉटर स्कीयर होगा जो पानी पर छोटे-छोटे वृत्त बनाएगा। एथलीट का आंकड़ा झुका हुआ है; ऐसा प्रतीत होता है कि वह गिर रहा है, आगे बढ़ रहा है और आगे की ओर झुक रहा है।

इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि त्वरण से पिंड की गति नहीं बढ़ती है, क्योंकि वेग और त्वरण सदिश एक दूसरे के लंबवत हैं। वेग वेक्टर में जोड़ा गया त्वरण केवल गति की दिशा बदलता है और शरीर को कक्षा में रखता है।

सुरक्षा मार्जिन पार हो गया

पिछले अनुभव में, हम एक आदर्श रस्सी से निपट रहे थे जो टूटती नहीं थी। लेकिन, मान लीजिए कि हमारी रस्सी सबसे आम है, और आप उस प्रयास की गणना भी कर सकते हैं जिसके बाद यह आसानी से टूट जाएगी। इस बल की गणना करने के लिए, रस्सी के सुरक्षा मार्जिन की तुलना उस भार से करना पर्याप्त है जो पत्थर के घूमने के दौरान अनुभव होता है। पत्थर को तेज़ गति से घुमाकर, आप उसे अधिक गति देते हैं, और इसलिए अधिक त्वरण देते हैं।

लगभग 20 मिमी के जूट रस्सी व्यास के साथ, इसकी तन्यता ताकत लगभग 26 kN है। गौरतलब है कि रस्सी की लंबाई कहीं भी नजर नहीं आती. 1 किलो भार को 1 मीटर की त्रिज्या वाली रस्सी पर घुमाते हुए, हम गणना कर सकते हैं कि इसे तोड़ने के लिए आवश्यक रैखिक गति 26 x 10 3 = 1 किलो x V 2/1 मीटर है। इस प्रकार, जिस गति से अधिक होना खतरनाक है वह होगी √ 26 x 10 3 = 161 मीटर/सेकेंड के बराबर हो।

गुरुत्वाकर्षण

प्रयोग पर विचार करते समय, हमने गुरुत्वाकर्षण की क्रिया की उपेक्षा की, क्योंकि इतनी तेज़ गति पर इसका प्रभाव नगण्य रूप से छोटा होता है। लेकिन आप देख सकते हैं कि एक लंबी रस्सी को खोलते समय, शरीर एक अधिक जटिल प्रक्षेप पथ का वर्णन करता है और धीरे-धीरे जमीन के करीब पहुंचता है।

खगोलीय पिंड

यदि हम वृत्ताकार गति के नियमों को अंतरिक्ष में स्थानांतरित करते हैं और उन्हें आकाशीय पिंडों की गति पर लागू करते हैं, तो हम कई लंबे समय से परिचित सूत्रों को फिर से खोज सकते हैं। उदाहरण के लिए, जिस बल से कोई पिंड पृथ्वी की ओर आकर्षित होता है उसे सूत्र द्वारा जाना जाता है:

हमारे मामले में, कारक g वही अभिकेन्द्रीय त्वरण है जो पिछले सूत्र से प्राप्त हुआ था। केवल इस मामले में, पत्थर की भूमिका पृथ्वी की ओर आकर्षित एक खगोलीय पिंड द्वारा निभाई जाएगी, और रस्सी की भूमिका पृथ्वी के आकर्षण बल द्वारा निभाई जाएगी। कारक g को हमारे ग्रह की त्रिज्या और उसके घूमने की गति के रूप में व्यक्त किया जाएगा।

परिणाम

अभिकेंद्रीय त्वरण का सार एक गतिमान पिंड को कक्षा में बनाए रखने का कठिन और धन्यवाद रहित कार्य है। एक विरोधाभासी मामला तब देखा जाता है, जब निरंतर त्वरण के साथ, शरीर अपना वेग नहीं बदलता है। अप्रशिक्षित दिमाग के लिए, ऐसा कथन बल्कि विरोधाभासी है। फिर भी, नाभिक के चारों ओर एक इलेक्ट्रॉन की गति की गणना करते समय, और एक ब्लैक होल के चारों ओर एक तारे के घूमने की गति की गणना करते समय, सेंट्रिपेटल त्वरण एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

चूँकि रैखिक गति समान रूप से दिशा बदलती है, तो वृत्त के अनुदिश गति को एकसमान नहीं कहा जा सकता, यह समान रूप से त्वरित होती है।

कोणीय वेग

वृत्त पर एक बिंदु चुनें 1 . आइए एक दायरा बनाएं. समय की एक इकाई के लिए, बिंदु बिंदु पर चला जाएगा 2 . इस मामले में, त्रिज्या कोण का वर्णन करती है। कोणीय वेग संख्यात्मक रूप से प्रति इकाई समय त्रिज्या के घूर्णन कोण के बराबर है।

अवधि और आवृत्ति

परिभ्रमण काल टीवह समय है जो शरीर को एक चक्कर लगाने में लगता है।

RPM प्रति सेकंड क्रांतियों की संख्या है।

आवृत्ति और अवधि संबंध से संबंधित हैं

कोणीय वेग से संबंध

लाइन की गति

वृत्त पर प्रत्येक बिंदु कुछ गति से चलता है। इस गति को रैखिक कहा जाता है। रैखिक वेग वेक्टर की दिशा हमेशा वृत्त की स्पर्श रेखा से मेल खाती है।उदाहरण के लिए, ग्राइंडर के नीचे से चिंगारी तात्कालिक गति की दिशा को दोहराते हुए चलती है।

वृत्त पर एक बिंदु पर विचार करें जो एक चक्कर लगाता है, जो समय व्यतीत होता है - यही वह अवधि है टी. किसी बिंदु द्वारा तय किया गया पथ एक वृत्त की परिधि है।

केन्द्राभिमुख त्वरण

किसी वृत्त के अनुदिश चलते समय, त्वरण वेक्टर हमेशा वेग वेक्टर के लंबवत होता है, जो वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।

पिछले सूत्रों का उपयोग करके, हम निम्नलिखित संबंध प्राप्त कर सकते हैं

वृत्त के केंद्र से निकलने वाली एक ही सीधी रेखा पर स्थित बिंदुओं (उदाहरण के लिए, ये पहिये की सुई पर स्थित बिंदु हो सकते हैं) में समान कोणीय वेग, अवधि और आवृत्ति होगी। यानी, वे एक ही तरह से घूमेंगे, लेकिन अलग-अलग रैखिक गति के साथ। बिंदु केंद्र से जितना दूर होगा, वह उतनी ही तेजी से आगे बढ़ेगा।

वेगों के योग का नियम घूर्णी गति के लिए भी मान्य है। यदि किसी पिंड या संदर्भ तंत्र की गति एक समान नहीं है, तो कानून तात्कालिक वेगों पर लागू होता है। उदाहरण के लिए, घूमते हिंडोले के किनारे पर चलने वाले व्यक्ति की गति हिंडोले के किनारे के घूमने की रैखिक गति और व्यक्ति की गति के वेक्टर योग के बराबर होती है।

पृथ्वी दो मुख्य कार्यों में सम्मिलित है घूर्णी गतियाँ: दैनिक (अपनी धुरी के चारों ओर) और कक्षीय (सूर्य के चारों ओर)। सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की परिक्रमा की अवधि 1 वर्ष या 365 दिन है। पृथ्वी अपनी धुरी पर पश्चिम से पूर्व की ओर घूमती है, इस घूर्णन की अवधि 1 दिन या 24 घंटे है। अक्षांश भूमध्य रेखा के तल और पृथ्वी के केंद्र से उसकी सतह पर एक बिंदु तक की दिशा के बीच का कोण है।

न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार किसी भी त्वरण का कारण कोई बल होता है। यदि कोई गतिमान पिंड अभिकेन्द्रीय त्वरण का अनुभव करता है, तो इस त्वरण का कारण बनने वाले बलों की प्रकृति भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, यदि कोई पिंड रस्सी से बंधा हुआ एक वृत्त में घूमता है, तो सक्रिय बललोचदार बल है.

यदि डिस्क पर पड़ा कोई पिंड अपनी धुरी के चारों ओर डिस्क के साथ घूमता है, तो ऐसा बल घर्षण बल है। यदि बल कार्य करना बंद कर दे तो वस्तु एक सीधी रेखा में चलती रहेगी

A से B तक वृत्त पर एक बिंदु की गति पर विचार करें। रैखिक वेग बराबर है वी एऔर वी बीक्रमश। त्वरण समय की प्रति इकाई गति में परिवर्तन है। आइए सदिशों का अंतर ज्ञात करें।

पदार्थ बिंदु को वृत्त के अनुदिश समान रूप से घूमने दें। तब इसकी गति का मापांक नहीं बदलता ($v=const$)। लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि किसी भौतिक बिंदु का त्वरण शून्य है। वेग वेक्टर को बिंदु के प्रक्षेपवक्र पर स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित किया जाता है। वृत्त में घूमते समय गति लगातार अपनी दिशा बदलती रहती है। अतः बिंदु त्वरण के साथ घूम रहा है।

विचारित पिंड की गति के प्रक्षेपवक्र से संबंधित बिंदु ए और बी पर विचार करें। इन बिंदुओं के लिए वेग परिवर्तन वेक्टर है:

\[\Delta \overline(v)=(\overline(v))"-\overline(v)\left(1\right).\]

यदि बिंदु A और B के बीच गति का समय छोटा है, तो चाप AB, जीवा AB से थोड़ा भिन्न होता है। त्रिभुज AOB और BMN समरूप हैं, इसलिए:

\[\frac(\Delta v)(v)=\frac(\Delta l)(r)=\alpha \left(2\right).\]

हम औसत त्वरण मॉड्यूल को इस प्रकार पाते हैं:

\[\left\langel a\right\rangel =\frac(\Delta v)(\Delta t)=\frac(v\Delta l)(r\Delta t)\left(3\right).\]

तात्कालिक त्वरण मान $\left\langel a\right\rangel $ से $\Delta t\ से 0\ $ की सीमा पर जाकर प्राप्त किया जा सकता है:

औसत त्वरण वेक्टर वेग वेक्टर के बराबर एक कोण बनाता है:

\[\beta =\frac(\pi +\alpha )(2)\left(5\right).\]

$\Delta t\to 0\ $ के लिए कोण $\alpha \to 0 है।$ यह पता चलता है कि तात्कालिक त्वरण वेक्टर वेग वेक्टर के साथ एक कोण $\frac(\pi )(2)$ बनाता है।

हमने पाया है कि एक वृत्त के अनुदिश समान रूप से घूमने वाले एक भौतिक बिंदु में गति प्रक्षेपवक्र के केंद्र (वेग वेक्टर के लंबवत) की ओर निर्देशित त्वरण होता है, इसका मापांक वृत्त की त्रिज्या से विभाजित वेग वर्ग के बराबर होता है। ऐसा त्वरण को अभिकेन्द्रीय या सामान्य कहा जाता है, आमतौर पर $(\overline(a))_n$ द्वारा दर्शाया जाता है।

जहां $\omega $ भौतिक बिंदु का कोणीय वेग है ($v=\omega \cdot r$)।

अभिकेन्द्रीय त्वरण की परिभाषा

परिभाषा

इसलिए, केन्द्राभिमुख त्वरण(सामान्य स्थिति में) एक भौतिक बिंदु के पूर्ण त्वरण का एक घटक है, जो दर्शाता है कि वक्ररेखीय गति के दौरान वेग वेक्टर की दिशा कितनी तेजी से बदलती है। कुल त्वरण का दूसरा घटक स्पर्शरेखीय त्वरण है, जो वेग के परिमाण में परिवर्तन के लिए जिम्मेदार है।

अभिकेन्द्रीय त्वरण है:

\[(\overline(a))_n=\frac(v^2)(r^2)\overline(r\ )\left(7\right),\]

जहां $e_r=\frac(\overline(r\ ))(r)$ प्रक्षेपवक्र के वक्रता केंद्र से विचारित बिंदु तक निर्देशित एक इकाई वेक्टर है।

पहली बार, अभिकेन्द्रीय त्वरण के लिए सही सूत्र एच. ह्यूजेंस द्वारा प्राप्त किए गए थे।

अंतर्राष्ट्रीय इकाई प्रणाली में अभिकेन्द्रीय त्वरण की इकाई मीटर को दूसरे वर्ग से विभाजित करने पर प्राप्त होती है:

\[\left=\frac(m)(s^2).\]

समाधान वाली समस्याओं के उदाहरण

उदाहरण 1

व्यायाम।डिस्क एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमती है। डिस्क त्रिज्या के घूर्णन के कोण को बदलने का नियम समीकरण को परिभाषित करता है: $\varphi =5t^2+7\ (rad)$. डिस्क के बिंदु A का सेंट्रिपेटल त्वरण क्या है, जो घूर्णन की शुरुआत से चौथे सेकंड के अंत तक घूर्णन अक्ष से $r=$0.5 मीटर की दूरी पर है?

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं.

अभिकेन्द्रीय त्वरण का मापांक बराबर है: \

हम किसी बिंदु के घूर्णन का कोणीय वेग इस प्रकार ज्ञात करते हैं:

\[\ओमेगा =\frac(d\varphi )(dt)\ (1.2)\]

समय के आधार पर घूर्णन के कोण को बदलने का समीकरण:

\[\omega =\frac(d\left(5t^2+7\right))(dt)=10t\ \left(1.3\right).\]

चौथे सेकंड के अंत में, कोणीय वेग है:

\[\ओमेगा \left(t=4\right)=10\cdot 4=40\ \left(\frac(rad)(c)\right).\]

अभिव्यक्ति (1.1) का उपयोग करके हम अभिकेन्द्रीय त्वरण का मान ज्ञात करते हैं:

उत्तर।$a_n=800\frac(m)(s^2)$.

उदाहरण 2

व्यायाम।एक भौतिक बिंदु की गति समीकरण द्वारा दी गई है: $\overline(r)\left(t\right)=0.5\ (\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline( j) (\sin (\omega t)\ )\ ))$, जहां $\omega =2\ \frac(rad)(c)$. बिंदु का सामान्य त्वरण क्या है?

समाधान।समस्या को हल करने के आधार के रूप में, हम अभिकेन्द्रीय त्वरण की परिभाषा को इस प्रकार लेते हैं:

समस्या की स्थितियों से यह देखा जा सकता है कि बिंदु का प्रक्षेपवक्र एक वृत्त है। पैरामीट्रिक समीकरण: $\overline(r)\left(t\right)=0.5\ (\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin (\omega t )\ )\ ))$, जहां $\omega =2\ \frac(rad)(c)$ को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

\[\left\( \begin(array)(c) x=0.5(\cos \left(2t\right);;\ ) \\ y=0.5(\sin \left(2t\right) .\ ) \ अंत(सरणी) \दाएं.\]

प्रक्षेपवक्र की त्रिज्या इस प्रकार पाई जा सकती है:

गति घटक हैं:

\ \

गति का मापांक प्राप्त करें:

हम अभिव्यक्ति (2.2) में गति और वृत्त की त्रिज्या के मान को प्रतिस्थापित करते हैं, हमारे पास है:

उत्तर।$a_n=2\frac(m)(s^2)$.

केन्द्राभिमुख त्वरण- बिंदु त्वरण घटक, जो वक्रता वाले प्रक्षेपवक्र के लिए वेग वेक्टर की दिशा में परिवर्तन की दर को दर्शाता है (दूसरा घटक, स्पर्शरेखा त्वरण, वेग मापांक में परिवर्तन को दर्शाता है)। प्रक्षेपवक्र के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित, जो इस शब्द का कारण है। परिमाण वक्रता त्रिज्या से विभाजित गति के वर्ग के बराबर है। शब्द "अभिकेंद्री त्वरण" शब्द के समतुल्य है " सामान्य त्वरण". बलों के योग का वह घटक जो इस त्वरण का कारण बनता है, अभिकेन्द्रीय बल कहलाता है।

अभिकेन्द्र त्वरण का सबसे सरल उदाहरण एकसमान वृत्तीय गति (वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित) के लिए त्वरण वेक्टर है।

तीव्र त्वरणअक्ष के लंबवत समतल पर प्रक्षेपित होने पर, यह एक अभिकेन्द्र के रूप में दिखाई देता है।

विश्वकोश यूट्यूब

• 1 / 5

  A n = v 2 R (\displaystyle a_(n)=(\frac (v^(2))(R))\ ) a n = ω 2 R , (\displaystyle a_(n)=\omega ^(2)R\ ,)

  कहाँ a n (\displaystyle a_(n)\ )- सामान्य (केन्द्राभिमुख) त्वरण, वी (\डिस्प्लेस्टाइल वी\ )- (तात्कालिक) प्रक्षेपवक्र के साथ गति की रैखिक गति, ω (\displaystyle \ओमेगा \ )- (तात्कालिक) प्रक्षेपवक्र के वक्रता केंद्र के सापेक्ष इस आंदोलन का कोणीय वेग, आर (\डिस्प्लेस्टाइल आर\ )- किसी दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या। (पहले सूत्र और दूसरे के बीच संबंध स्पष्ट है, दिया गया है v = ω R (\displaystyle v=\omega R\ )).

  उपरोक्त भावों में निरपेक्ष मान शामिल हैं। इन्हें गुणा करके सदिश रूप में आसानी से लिखा जा सकता है ई आर (\displaystyle \mathbf (e) _(R))- प्रक्षेपवक्र के वक्रता केंद्र से दिए गए बिंदु तक इकाई वेक्टर:

  a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(R)= (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R) ) ए एन = ω 2 आर . (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=\omega ^(2)\mathbf (R) .)

  ये सूत्र एक स्थिर (निरपेक्ष मान में) गति के साथ गति के मामले में और एक मनमाना मामले पर समान रूप से लागू होते हैं। हालाँकि, दूसरे में, यह ध्यान में रखना होगा कि सेंट्रिपेटल त्वरण पूर्ण त्वरण वेक्टर नहीं है, बल्कि केवल प्रक्षेपवक्र के लंबवत इसका घटक है (या, जो समान है, तात्कालिक वेग वेक्टर के लंबवत); कुल त्वरण वेक्टर में स्पर्शरेखा घटक भी शामिल है ( स्पर्शरेखा त्वरण) a τ = d v / d t (\displaystyle a_(\tau )=dv/dt\ ), प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा के साथ दिशा में मेल खाता है (या, जो तात्कालिक गति के साथ समान है)।

  प्रेरणा एवं निष्कर्ष

  त्वरण वेक्टर का घटकों में अपघटन - एक प्रक्षेपवक्र (स्पर्शरेखा त्वरण) के वेक्टर स्पर्शरेखा के साथ और दूसरा इसके ऑर्थोगोनल (सामान्य त्वरण) के साथ - सुविधाजनक और उपयोगी हो सकता है, यह अपने आप में बहुत स्पष्ट है। स्थिर मॉड्यूलो गति के साथ चलते समय, स्पर्शरेखीय घटक शून्य के बराबर हो जाता है, अर्थात, इस महत्वपूर्ण विशेष मामले में, यह बना रहता है केवलसामान्य घटक. इसके अलावा, जैसा कि नीचे देखा जा सकता है, इनमें से प्रत्येक घटक ने अपने स्वयं के गुण और संरचना का उच्चारण किया है, और सामान्य त्वरण में इसके सूत्र की संरचना में एक महत्वपूर्ण और गैर-तुच्छ ज्यामितीय सामग्री शामिल है। एक वृत्त में गति के महत्वपूर्ण विशेष मामले का उल्लेख नहीं किया गया है।

  औपचारिक व्युत्पत्ति

  स्पर्शरेखा और सामान्य घटकों में त्वरण का विस्तार (जिनमें से दूसरा सेंट्रिपेटल या सामान्य त्वरण है) को वेग वेक्टर के रूप में दर्शाए गए समय के संबंध में अंतर करके पाया जा सकता है v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau ))इकाई स्पर्शरेखा वेक्टर के माध्यम से ई τ (\displaystyle \mathbf (e) _(\tau )):

  a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , (\displaystyle \mathbf (a) =(\frac (d\mathbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( एन)\ ,)

  यहां हम प्रक्षेपवक्र के लिए इकाई सामान्य वेक्टर के लिए नोटेशन का उपयोग करते हैं एल (\डिस्प्लेस्टाइल एल\ )- प्रक्षेपवक्र की वर्तमान लंबाई के लिए ( एल = एल (टी) (\displaystyle एल=एल(टी)\ )); अंतिम संक्रमण भी स्पष्ट का उपयोग करता है

  d l / d t = v (\displaystyle dl/dt=v\ )

  और, ज्यामितीय विचारों से,

  डी ई τ डी एल = ई एन आर। (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))=(\frac (\mathbf (e) _(n))(R)).) v 2 R e n (\displaystyle (\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ )

  सामान्य (केन्द्राभिमुख) त्वरण. साथ ही, इसका अर्थ, इसमें शामिल वस्तुओं का अर्थ, साथ ही इस तथ्य का प्रमाण भी है कि यह वास्तव में स्पर्शरेखा वेक्टर के लिए ऑर्थोगोनल है (अर्थात, वह e n (\displaystyle \mathbf (e) _(n)\ )- वास्तव में एक सामान्य वेक्टर) - ज्यामितीय विचारों का पालन करेगा (हालांकि, यह तथ्य कि समय के संबंध में निरंतर लंबाई के किसी भी वेक्टर का व्युत्पन्न इस वेक्टर के लंबवत है, एक काफी सरल तथ्य है; इस मामले में, हम इस कथन को लागू करते हैं को d e τ d t (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt)))

  टिप्पणी

  यह देखना आसान है कि स्पर्शरेखीय त्वरण का निरपेक्ष मान केवल ज़मीनी त्वरण पर निर्भर करता है, जो इसके निरपेक्ष मान से मेल खाता है, सामान्य त्वरण के निरपेक्ष मान के विपरीत, जो ज़मीनी त्वरण पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि ज़मीनी गति पर निर्भर करता है।

  यहां प्रस्तुत विधियों, या उनकी विविधताओं का उपयोग वक्र की वक्रता और वक्र की वक्रता की त्रिज्या जैसी अवधारणाओं को प्रस्तुत करने के लिए किया जा सकता है (क्योंकि उस स्थिति में जब वक्र एक वृत्त है, आर (\डिस्प्लेस्टाइल आर)ऐसे वृत्त की त्रिज्या से मेल खाता है; यह दर्शाना भी कठिन नहीं है कि वृत्त समतल में है e τ , e n (\displaystyle \mathbf (e) _(\tau ),\,e_(n))दिशा में केन्द्रित है e n (\displaystyle e_(n)\ )इस बिंदु से दूर आर (\डिस्प्लेस्टाइल आर)इससे - दिए गए वक्र के साथ मेल खाएगा - प्रक्षेपवक्र - दिए गए बिंदु की दूरी में लघुता के दूसरे क्रम तक)।

  कहानी

  जाहिरा तौर पर, ह्यूजेंस सेंट्रिपेटल त्वरण (या केन्द्रापसारक बल) के लिए सही सूत्र प्राप्त करने वाले पहले व्यक्ति थे। व्यावहारिक रूप से उस समय से, यांत्रिक समस्याओं आदि को हल करने के लिए अभिकेन्द्रीय त्वरण पर विचार एक सामान्य तकनीक रही है।

  कुछ समय बाद, इन सूत्रों ने सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम की खोज में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई (तीसरे केप्लर के आधार पर, गुरुत्वाकर्षण के स्रोत की दूरी पर गुरुत्वाकर्षण बल की निर्भरता का कानून प्राप्त करने के लिए सेंट्रिपेटल त्वरण सूत्र का उपयोग किया गया था) अवलोकनों से प्राप्त कानून)।

  19वीं शताब्दी तक, शुद्ध विज्ञान और इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों दोनों के लिए सेंट्रिपेटल त्वरण पर विचार पहले से ही काफी नियमित हो गया था।