ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ-ಗ್ರಾಫಿಕಲ್ ವಿಧಾನ (ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕತಾನತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.)
ಬೋರ್ಡಿನ ಮೇಲೆ ಎಪಿಗ್ರಾಫ್ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ
ಯಾವುದು ಉತ್ತಮ?
ಹಿಂದಿನದನ್ನು ಹೋಲಿಸುವುದು, ಅದನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ತರುವುದು
ಪ್ರಸ್ತುತದೊಂದಿಗೆ.
ಕೊಜ್ಮಾ ಪ್ರುಟ್ಕೋವ್
ಹಂತ 1: ಹಿಂದಿನ ಅನುಭವವನ್ನು ನವೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ.
ಚುನಾಯಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ನಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ಯಾವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದ್ದೇವೆ?
(ಸಮೀಕರಣದ ಬದಲಿಗಂ(f(X))= ಗಂ(ಜಿ(X) ಸಮೀಕರಣ f(X)= ಜಿ(X),
ಅಪವರ್ತನ, ಹೊಸ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಪರಿಚಯ.)
ಹಂತ 2: ಹೊಸ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಪ್ರೇರಣೆ, ಅದರ ಪರಿಹಾರವು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ-ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿಧಾನದ ಬಳಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.
ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ. ಅದರ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡೋಣ.
ವ್ಯಾಯಾಮ. ಇಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸರಣಿಗಳಿವೆ. ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಗಳ ಮೂಲಕ ಗುಂಪು ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬರೆಯಿರಿ. ನೀವು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬಹುದು, ನಂತರ ಜೋಡಿ ಅಥವಾ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ.
ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ .
ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಓದುತ್ತಾರೆ.
ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀವು ನೋಡಿದ್ದೀರಿ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಅವರ ವಿಚಾರ ನಿಮಗೆ ಚಿರಪರಿಚಿತ. ಅವಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿ.
(1) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿf(X)= ಜಿ(X) ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. 2) ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿf(X) ಮತ್ತು ಜಿ(X) 3) ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಇವು ಸಮೀಕರಣದ ಅಂದಾಜು ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ.)
ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೆಲವು ಆಸ್ತಿಯ ಉಲ್ಲೇಖದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು (ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ನಾವು ಗ್ರಾಫಿಕಲ್ ಬಗ್ಗೆ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ-ಗ್ರಾಫಿಕಲ್ ವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ).
ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕತಾನತೆಯ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ
ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕತಾನತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ನವೀಕರಿಸುವುದು
ಪಾಠದ ಎಪಿಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಮನವಿ ಮಾಡಿ.
ವ್ಯಾಯಾಮ. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಯಾವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಏಕತಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಏಕತಾನತೆಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಹೆಸರಿಸೋಣ.
ಪವರ್, y=x ಆರ್, ಎಲ್ಲಿಆರ್- ಭಾಗಶಃ
ಆರ್> 0 , ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ
ಆರ್<0 , ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ
ಬೇರು ಎನ್- ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಂದ X
ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ
Y=ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x
ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ
Y=ಆರ್ಕೋಸ್ x
ಅವರೋಹಣ
Y=arctg x
ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ
Y=arcctg x
ಅವರೋಹಣ
ವೈ= X 2 ಎನ್ +1 , ಎನ್- ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ
ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ
ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಏಕತಾನತೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕತಾನತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯ ಜೊತೆಗೆ, ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕತಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಾವು ಹಲವಾರು ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. (ಕಡಿಮೆ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಇದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗುವುದು.)
ಮುದ್ರಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸ.
ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ fಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆX, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆಸಿಕಾರ್ಯ f+ ಸಿಮೂಲಕವೂ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆX.
ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ fಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆXಮತ್ತು ಸಿ>0, ಕಾರ್ಯ cfಮೂಲಕವೂ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆX.
ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ fಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆX, ನಂತರ ಕಾರ್ಯ - fಈ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ fಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆXಮತ್ತು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆX, ನಂತರ ಕಾರ್ಯ 1/ fಈ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ fಮತ್ತು ಜಿಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳX, ನಂತರ ಅವರ ಮೊತ್ತ f+ ಜಿ
ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ fಮತ್ತು ಜಿಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿವೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲX, ನಂತರ ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನf· ಜಿಈ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಹ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.
ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ fಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲXಮತ್ತು ಎನ್ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯf ಎನ್ ಮೂಲಕವೂ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆX
ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ fಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ X, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ ಜಿಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆಇ(f) ಕಾರ್ಯಗಳು f, ನಂತರ ಸಂಯೋಜನೆ ಜಿ° fಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಹ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆX.
ಕಾರ್ಯ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು .
ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿವೈ= f(ಜಿ(X)), ಎಲ್ಲಿ X € Xಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆಯು= ಜಿ(X),
X € XX ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ (ಕಡಿಮೆ); ಕಾರ್ಯವೈ= f(ಯು), ಯು € ಯು, ಯು= ಜಿ(X) ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕತಾನತೆ (ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದು).ಯು. ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವೈ= f(ಜಿ(X)), X € Xಸಹ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಏಕತಾನತೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆX, ಮತ್ತು:
ಸಂಯೋಜನೆ f° ಜಿಎರಡು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳುfಮತ್ತುಜಿಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ,
ಸಂಯೋಜನೆ f° ಜಿಎರಡು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಕಾರ್ಯಗಳುfಮತ್ತುಜಿಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ,
ಸಂಯೋಜನೆ f° ಜಿಕಾರ್ಯಗಳು fಮತ್ತುಜಿ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು (ಯಾವುದೇ) ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ, ಇದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಯಾಮ.
ಯಾವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಏಕತಾನತೆಯೆಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಏಕತಾನತೆಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿ. ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಂದೆ ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಇರಿಸಿ. ಉತ್ತರವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ (ಸರಪಳಿಯಿಂದ ಸರಪಳಿ)
ವೈ= √ X+2,
ವೈ=8-3 X,
ವೈ= ಲಾಗ್ 2 2 X,
ವೈ=2 √ 5- X,
ವೈ= cos 2 X,
ವೈ= ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ (X-9),
ವೈ=4 X +9 X ,
ವೈ=3 √ -2 X +4 ,
y=ln(2 X +5 X ),
10) ವೈ= ಲಾಗ್ 0,2 (-4 X-5),
11) ವೈ= ಲಾಗ್ 2 (2 - X +5 -2 X ),
12) ವೈ= √ 6-4 X- X 2
ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕತಾನತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕತಾನತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಅದೇ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪಾಠವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸುವುದು.
ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಯಾವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀವು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದೀರಿ?
ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದೇ?
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ವಿಧಾನವನ್ನು "ಗುರುತಿಸುವುದು" ಹೇಗೆ?
ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪಟ್ಟಿ.
ಭಾಗ 1.
ಭಾಗ 2.
ಪ್ರಮಾಣಿತ ಶಾಲಾ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಅವುಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಅಥವಾ ಬದಲಿಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ F(x) = G(x) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಜ್ಞಾನವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದೇ ಸಮೀಕರಣದ ನಿಖರವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧಗೊಳಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಕಾರ್ಯದ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್; ಕಾರ್ಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿ; ಕ್ರಿಯೆಯ ಏಕತಾನತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು; ಕಾರ್ಯದ ಪೀನತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು; ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.
ಕೆಲಸದ ಉದ್ದೇಶ: ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕೆಲವು ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು, ಪ್ರತಿ ಆಸ್ತಿಯ ಸಾರವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ, ಅದರ ಬಳಕೆಗೆ ಶಿಫಾರಸುಗಳನ್ನು ನೀಡಿ, ಬಳಕೆಗೆ ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿ.
ಎಲ್ಲಾ ಕೆಲಸಗಳು ವಿವಿಧ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ.
ಅಧ್ಯಾಯ 1. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.
y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯವು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ.
f(x) = g(x) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಇಲ್ಲಿ f(x) ಮತ್ತು g(x) D1, D2 ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣದ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಡಿ ಪ್ರದೇಶವು ಎರಡೂ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದ x ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, D = D1∩ D2. D ಸೆಟ್ ಖಾಲಿಯಾಗಿರುವಾಗ (D= ∅) ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. (ಅನುಬಂಧ ಸಂಖ್ಯೆ 1).
1. ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ (x+2) +2x- x2 = x-2.
ODZ:-1 =0⇔-3
ಉತ್ತರ: ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.
2. (x2-4x+3 +1)log5x5 + 1x(8x-2x2-6 + 1) = 0.
ODZ: x2-4x+3>=0,x>0.8x-2x2-6>=0⇔x∈(-infinity;1∪ 3;infinity),x>01
ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: x = 1.
(1-4+3 +1)log515 + (8-2-6 + 1) = 0,
0 = 0 - ನಿಜ.
x = 3. (9-12+3+1)log535 +13(24-18-6+1) = 0, log535 +13 = 0 - ತಪ್ಪಾಗಿದೆ.
ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮಾತ್ರ).
1. x+27-x(x-9 +1) = 1.
ODZ: x-9>=0, x>=9.
x>=9 x+2>0, 7-x 0, ಹೀಗೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೂರು ಅಂಶಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಪರಿಹಾರಗಳು.
ಉತ್ತರ: ∅.
2. 3-x2+ x+2 = x-2.
ODZ: 3-x2>=0,x+2>=0,⇔ 3-x(3+x)>=0,x>=-2,⇔ -3=-2,⇔
ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
ಉತ್ತರ: ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.
ಅಧ್ಯಾಯ 2. ಕಾರ್ಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯು ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ವೇರಿಯಬಲ್ y ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ.
ಅಸಮಾನತೆ fx>=M X (resp. fx) ಮೇಲೆ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ M ಸಂಖ್ಯೆಯಿದ್ದರೆ X ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕೆಳಗೆ (resp. ಮೇಲೆ) ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.
y = f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ) M >0 ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ವಾದದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ f(x ) ಹಿಡಿದಿದೆ
f(x) = g(x) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಇಲ್ಲಿ g(x) ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು D1, D2 ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ E1 ಮತ್ತು E2 ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. x1 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆ f(x1) = g(x1) ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ f(x1) ಎಂಬುದು x = x1 ನಲ್ಲಿ f(x) ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು g(x1) x = x1 ನಲ್ಲಿ g(x) ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, f(x) ಮತ್ತು g(x) ಕಾರ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (E1∩E2 !=∅). E1 ಮತ್ತು E2 ಸೆಟ್‌ಗಳು ಅಂತಹ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಮೂಲಭೂತ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಅನುಬಂಧ ಸಂಖ್ಯೆ 2).
f(x) = g(x) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡೋಣ. f(x)>=0 ಮತ್ತು g(x)
1. x2+2xsinxy+1=0.
ಪರಿಹಾರ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಘಟಕವಿದೆ, ಅಂದರೆ ನಾವು ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು: x2+ 2xsinxy+ sin2xy+cos2xy=0.
ಮೊದಲ ಮೂರು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚೌಕವಾಗಿದೆ:
(x+sinxy)2+cos2xy =0.
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವಿದೆ; ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ: cosxy=0,x+sinxy=0.
cosxy=0 ಆಗಿದ್ದರೆ, sinxy= +-1, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎರಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: x+1=0,cosxy=0 ಅಥವಾ x-1=0,cosxy=0.
ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳು x=1, y = PI 2 + PIm, m∈Z, ಮತ್ತು x=-1, y = PI 2 + PIm, m∈Z ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಿಗಳಾಗಿವೆ.
ಉತ್ತರ: x=1, y = PI 2 + PIm, m∈Z, ಮತ್ತು x=-1, y = PI 2 + PIm, m∈Z.
X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ y = f(x), y = g(x) ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವು A ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವು A ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು f(x ) = g(x) ಎಂಬುದು X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ fx=A,gx=A ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
1. ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ
2cos222x-x2=a+3sin(22x-x2+1).
t= 22x-x2 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದ ನಂತರ ನಾವು cos(2t+PI3)=a-12 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ.
t=2m ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು m ನ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ. ಆದರೆ m=2х - x 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಂತರ tmax = 22·1-1=2. ಹೀಗಾಗಿ, t= 22x-x2 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ (0;2, ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್ cos (2t+PI3) ಮಧ್ಯಂತರ -1;0.5). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಮತ್ತು ಆ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ -1ಉತ್ತರ: -12. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (log23)x+a+2 = (log94)x2+a2-6a-5.
ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಉತ್ತರ: a=1+32 ಆಗಿದ್ದರೆ x= - 5+32 ಮತ್ತು a= 1-32 ಆಗಿದ್ದರೆ x=-5+32.
ನೀವು ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. (ಅನುಬಂಧ ಸಂಖ್ಯೆ 3).
ಅಧ್ಯಾಯ 3. ಕಾರ್ಯದ ಏಕತಾನತೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ y = f(x) ಈ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ X ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ (ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ) ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ).
ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, x1∈X, x2∈X ಮತ್ತು x1 ರಿಂದ X ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು x1∈X, x2∈X ಮತ್ತು x1 f(x2) ನಿಂದ ಈ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ y = f(x) x1∈X, x2∈X ಮತ್ತು x1=f(x2)) X ನಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ) ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.
X ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು X ನಲ್ಲಿ ಮೊನೊಟೋನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು X ನಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗದ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು X ನಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಮೊನೊಟೋನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕತಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
1. ಒಂದು ಸೆಟ್ X ನಲ್ಲಿ f ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ C ಗೆ f + C ಕಾರ್ಯವು X ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.
2. X ಮತ್ತು C > 0 ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ f ಫಂಕ್ಷನ್ ಹೆಚ್ಚಾದರೆ, X ನಲ್ಲಿ Cf ಫಂಕ್ಷನ್ ಕೂಡ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.
3. ಒಂದು ಸೆಟ್ X ನಲ್ಲಿ f ಫಂಕ್ಷನ್ ಹೆಚ್ಚಾದರೆ, ಈ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ - f ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
4. X ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ f ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು X ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ, ಈ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ 1f ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
5. ಒಂದು ಸೆಟ್ X ನಲ್ಲಿ f ಮತ್ತು g ಕಾರ್ಯಗಳು ಹೆಚ್ಚಾದರೆ, ಈ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ f + g ಕೂಡ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.
6. X ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ f ಮತ್ತು g ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, X ನಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ fg ಕೂಡ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ.
7. X ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ f ಫಂಕ್ಷನ್ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು n ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿದ್ದರೆ, X ನಲ್ಲಿ fn ಫಂಕ್ಷನ್ ಕೂಡ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ.
8. f(x) ಮತ್ತು g(x) ಎರಡೂ ಕಾರ್ಯಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ, h(x) = f(g(x)) ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ. ಮತ್ತು ಇತರವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ, ನಂತರ h(x) = f(g(x)) ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ.
ಪ್ರಮೇಯ 1.
X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ f(x) ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, f(x) = C ಸಮೀಕರಣವು X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 2.
X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ f(x) ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, f(g(x)) = f(h(x)) ಸಮೀಕರಣವು X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ g(x) = h(x) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. .
ಪ್ರಮೇಯ 3.
X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ f(x) ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾದರೆ ಮತ್ತು X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ g(x) ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ, g(x) = f(x) ಸಮೀಕರಣವು X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 4.
X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ f(x) ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾದರೆ, f(f(x)) = x ಸಮೀಕರಣವು X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ f(x) = x ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
1. ಸಮೀಕರಣವು ನಿಖರವಾಗಿ ಮೂರು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ
4-x-alog3(x2-2x+3)+2-x2+2xlog13(2x-a+2)=0.
ಪರಿಹಾರ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ
2x2-2xlog3(x2-2x+3)= 22x-a-1log3(2x-a+2).
ನಾವು u = x2-2x, v=2x-a-1 ಅನ್ನು ಹಾಕಿದರೆ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ
2ulog3(u+3)= 2vlog3(v+3).
ಫಂಕ್ಷನ್ f (t) = 2tlog3(t+3) t >-2 ಗಾಗಿ ಏಕತಾನವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು u = v, x2-2x = 2x-a-1⇔(x-1) ಗೆ ಹೋಗಬಹುದು. )2=2x -a.
ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಆಕೃತಿಯಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಮೂರು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
1. y = 2x-a ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೃಂಗವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ y = (x-1) 2 ನ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಇದೆ, ಇದು a = 1 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ;
2. ಗ್ರಾಫ್ y = 2x-a ನ ಎಡ ಕಿರಣವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಬಲವು ಅದನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ; ಇದು a=12 ರೊಂದಿಗೆ ಸಾಧ್ಯ;
3. ಬಲ ಕಿರಣವು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಡ ಕಿರಣವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು a=32 ಆಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.
ಎರಡನೇ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ. ಎಡ ಕಿರಣದ ಸಮೀಕರಣವು y = 2a-2x ಆಗಿದೆ, ಅದರ ಇಳಿಜಾರು -2 ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
2(x -1) = -2 ⇒ x = 0 ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (0; 1). ಈ ಬಿಂದುವು ಕಿರಣಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂಬ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ, ನಾವು a=12 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
ಮೂರನೇ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ಅಥವಾ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಪರಿಗಣನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.
ಉತ್ತರ: 0.5; 1;1.5.
ನಾವು ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. (ಅನುಬಂಧ ಸಂಖ್ಯೆ 4).
ಅಧ್ಯಾಯ 4. ಪೀನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
F(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ, X, u!=v ಮತ್ತು 0 ನಿಂದ ಯಾವುದೇ u ಮತ್ತು v ಗಾಗಿ X ನಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಪೀನದ ಕೆಳಮುಖವಾಗಿ (ಮೇಲಕ್ಕೆ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ BC ಯ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು (ಅಂದರೆ, B(u;f(u)) ಮತ್ತು C(v;f(v)) ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಒಂದು ವಿಭಾಗ, B ಮತ್ತು C ಬಿಂದುಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ (ಕೆಳಗೆ) ಪಾಯಿಂಟ್ ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ನ ಗ್ರಾಫ್, ಅದೇ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅನುಬಂಧ ಸಂಖ್ಯೆ 5).
ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಕ್ಕೆ ಪೀನವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಪೀನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ನಿಜ.
ಪ್ರಮೇಯ 1.
X, u ,v ∈X, u ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ f(x) ಕಾರ್ಯವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕೆಳಮುಖವಾಗಿ ಪೀನವಾಗಿರಲಿ
ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ಪ್ರಮೇಯ 1 ರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 2.
f(x) ಕಾರ್ಯವು X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಪೀನವಾಗಿದ್ದರೆ, u = u(x), v = v(x), u1=u1(x), v1 = v1(x) ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಾ x ಗಾಗಿ ಇರುತ್ತವೆ ODZ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (1) ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು u(x), v(x), u1(x), v1(x) X ನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಷರತ್ತು u ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ +v = u1 +v1, ನಂತರ ODZ ನಲ್ಲಿನ ಸಮೀಕರಣವು f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (2) ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು u (x) = u1(x), u(x) = v1(x) (3).
1. 41-sin4x+41-cos4x=412.
ಪರಿಹಾರ. ನಾವು fx= 41-x2, u=cos2x, v=sin2x, u1=v1=12 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದರೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (1) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. f"x= -x24(1-x2)3, f""x=-2+x244(1-x2)7, ನಂತರ fx ಕಾರ್ಯವು -1;1 ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಪೀನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಉಳಿದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ ಪ್ರಮೇಯ 2 ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣವು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ cos2x = 0.5, x = PI4 +PIk2, ಅಲ್ಲಿ k∈Z.
ಉತ್ತರ: x = PI4 +PIk2, ಅಲ್ಲಿ k∈Z.
ಪ್ರಮೇಯ 3.
X ಮತ್ತು u,v, λv+(1-λ)u∈X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ fx ಕಾರ್ಯವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಪೀನವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಸಮಾನತೆ f (λv+(1-λ)u) = λf(v)+(1-λ)f(u) (4) u=v ಅಥವಾ λ=0, ಅಥವಾ λ=1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. .
ಉದಾಹರಣೆಗಳು: sin2xcos3x+cos2xsin3x∙1+sin2xcos3x+cos2xsin3x= sin2xcos3x1+cos3x+cos2xsin3x1+sin3x.
ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (4) fx=x1+x= x+x2, u=sin3x, v= cos3x, λ=sin2x.
Fx ಕಾರ್ಯವು R ಮೇಲೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಪೀನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯ 3 ರ ಮೂಲಕ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು sinx=0, sin2x=1, cos3x=sin3x ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಅದರ ಪರಿಹಾರಗಳು PIk2, PI12+PIn3 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ k,n∈Z.
ಉತ್ತರ: PIk2, PI12+PIn3, ಅಲ್ಲಿ k,n∈Z.
ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪೀನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಅನುಬಂಧ ಸಂಖ್ಯೆ 6).
ಅಧ್ಯಾಯ 5. ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಿಂದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯ x ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೂ ಸಹ fx ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೌಲ್ಯ - x ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆ f-x = fx ಹೊಂದಿದೆ. ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯ x ಗೆ, ಮೌಲ್ಯ - x ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆ f-x = - fx ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು fx ಅನ್ನು ಬೆಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಕಾರ್ಯಗಳ ಡೊಮೇನ್‌ಗಳು ಶೂನ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಅಗತ್ಯ ಸ್ಥಿತಿ) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಿಂದ ವಾದದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಸಮ ಕಾರ್ಯವು ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಬೆಸ - ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 1.
ಎರಡು ಸಮ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅಂಶವು ಸಮ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 2.
ಎರಡು ಬೆಸ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅಂಶವು ಸಮ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.
ನಾವು F(x)=0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದೋಣ, ಅಲ್ಲಿ F(x) ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
F(x) = 0 ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅಲ್ಲಿ F(x) ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಧನಾತ್ಮಕ (ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ) ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆದವುಗಳಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಹುಡುಕಲು ಸಾಕು, ಮತ್ತು ಬೆಸ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಮೂಲವು x = ಆಗಿರುತ್ತದೆ. 0 ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಎಫ್ (x) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಸಮ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, x = 0 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನೇರ ಪರ್ಯಾಯದಿಂದ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, x>=0 ಗಾಗಿ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಸಾಕು. x=0 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಎರಡು ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: (0;2, 2;ಅನಂತ.
a) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0;2 ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
8x= 2x+2-x+2, 23x=24, x= 43.
ಬಿ) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ 2; ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಅನಂತತೆ:
8x= 2x+2+x-2.23x=22x, x=0.
ಆದರೆ x = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಲ್ಲ, ನಂತರ x>0 ಗೆ ಈ ಸಮೀಕರಣವು x = 43 ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ x = - 43 ಸಹ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ.
ಉತ್ತರ: 43; - 43.
ಚುನಾಯಿತ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣದ ಶಿಕ್ಷಕರು ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು, ಗಣಿತ ಒಲಂಪಿಯಾಡ್‌ಗಳಿಗೆ ತಯಾರಿ, ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲು ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಲಸವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಎಂದು ಲೇಖಕರು ನಂಬುತ್ತಾರೆ.
ಅಂತಹ ಪರಿಹಾರದ ನಿಖರತೆಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಹಾಯದಿಂದ ನೀವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ.
ಮೊದಲ ದಾರಿ . ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು f(x) = 0 ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ನಂತರ, y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ f(x) ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳ ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ಗಳು ಎತ್ತುಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ y = 0.
ಎರಡನೇ ದಾರಿ . ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ. ಅದನ್ನು j(x) = g(x) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ. ಇದರ ನಂತರ, y = j(x) ಮತ್ತು y = g(x) ಎಂಬ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳ ಅಬ್ಸಿಸಾಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವು abscissa x o ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. j(x o) = g(x o). ಈ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ x 0 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಮೂಲ ಬೇರ್ಪಡಿಕೆ
ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ಹಂತಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
1) ಬೇರುಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆ;
2) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಖರತೆಗೆ ಬೇರುಗಳ ಪರಿಷ್ಕರಣೆ.
f(x) = 0 ಸಮೀಕರಣದ x ಮೂಲವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ f(x) = 0 ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ.
ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಮೂಲ ಬೇರ್ಪಡಿಕೆಯ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿಧಾನ - ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನದಂತೆಯೇ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ.
ವಕ್ರರೇಖೆಯು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಮುಟ್ಟಿದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x 3 - 3x + 2 = 0 ಸಮೀಕರಣವು ಮೂರು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: x 1 = -2; x 2 = x 3 = 1 )
ಸಮೀಕರಣವು ಮೂರು ಪಟ್ಟು ನೈಜ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅಕ್ಷದ ಸಂಪರ್ಕದ ಹಂತದಲ್ಲಿ X ವಕ್ರರೇಖೆ y = f(x) ಒಂದು ವಿಭಕ್ತಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x 3 - 3x 2 + 3x - 1 = 0 ಸಮೀಕರಣವು x 1 = x 2 = x 3 = 1 ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ).
ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮೂಲ ಬೇರ್ಪಡಿಕೆ ವಿಧಾನ . ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ.
ಪ್ರಮೇಯ 1 . ಎಫ್ (x) ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಈ ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಂತರ ವಿಭಾಗದೊಳಗೆ ಎಫ್ (x) = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಮೂಲವಿದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 2. ಎಫ್ (x) ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಏಕತಾನತೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ವಿಭಾಗವು f(x) = 0 ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಮೂಲವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ .
ಪ್ರಮೇಯ 3 . ಎಫ್ (x) ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಈ ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f "(x) ವಿಭಾಗದ ಒಳಗೆ ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ವಿಭಾಗದ ಒಳಗೆ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ f(x) = 0 ಮತ್ತು, ಮೇಲಾಗಿ, ಒಂದು ಅನನ್ಯ.
f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನೀಡಿದರೆ, ಆಗ ಕಾರ್ಯದ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಡೊಮೇನ್ (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್). ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅದರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ವಾದದ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ.
y = f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ , ವಾದವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ , ವಾದವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕತಾನತೆಯ , ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅದು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಎಫ್(x) ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಿ, ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f "(x) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರ ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ f "(x) >0, ನಂತರ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ . ಮಧ್ಯಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. f "(x)<0, то функция в этом интервале ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ .
ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ f(x) ಕಾರ್ಯವು ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ f ""(x)>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಕೆಳಗೆ ಪೀನ ; f ""(x) ವೇಳೆ<0, то график функции является ಅಪ್ ಪೀನ .
ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ಅನಂತಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ), ಆದರೆ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ .
ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನ:
1) f "(x) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ - ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನ.
2) ಎಫ್ (x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಮಾಡಿ, ಊಹಿಸಿ X ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
ಎ) ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು (ಬೇರುಗಳು) ಅಥವಾ ಅವುಗಳಿಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವವುಗಳು;
ಬಿ) ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು (ಅಜ್ಞಾತ ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ).
ಉದಾಹರಣೆ. 2 x - 5x - 3 = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ.
ನಾವು f(x) = 2 x - 5x - 3 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. f(x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ.
ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f "(x) = 2 x ln(2) - 5 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.
ನಾವು ಈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ:
2 x ಲಾಗ್ (2) - 5 = 0 ; 2 x ln(2) = 5 ; 2 x = 5/ln(2) ; xlg(2) = lg(5) - lg(ln(2)) .
ನಾವು ಎಫ್ (x) ಕಾರ್ಯದ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಊಹಿಸಿ X ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಎ) ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು (ಉತ್ಪನ್ನದ ಬೇರುಗಳು) ಅಥವಾ ಅವುಗಳಿಗೆ ಹತ್ತಿರ; ಬಿ) ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು (ಅಜ್ಞಾತ ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ):
ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ (-1.0) ಮತ್ತು (4.5) ಇರುತ್ತದೆ.
ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ-ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನ f(x)< g(x). 1. Подбором найдем корень уравнения f(x)=g(x), используя свойства монотонных функций; 2. Построим схематически графики обеих функций, проходящие через точку с найденной абсциссой; 3. Выберем решение неравенства, соответствующее знаку неравенства; 4. Запишем ответ. :
ಸ್ಲೈಡ್ 9ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಿಂದ "ಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳು". ಪ್ರಸ್ತುತಿಯೊಂದಿಗೆ ಆರ್ಕೈವ್ನ ಗಾತ್ರವು 174 KB ಆಗಿದೆ.ಬೀಜಗಣಿತ 11 ನೇ ತರಗತಿ
ಇತರ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳ ಸಾರಾಂಶ"ಮೂರನೇ ಹಂತದ ಸಮೀಕರಣಗಳು" - (1). ಟಾರ್ಟಾಗ್ಲಿಯಾ ನಿರಾಕರಿಸುತ್ತಾನೆ. ಫೆಬ್ರವರಿ 12 ರಂದು, ಕಾರ್ಡಾನೊ ತನ್ನ ವಿನಂತಿಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತಾನೆ. "ಗ್ರೇಟ್ ಆರ್ಟ್" X3 + px + q = 0. ಉದಾಹರಣೆ: x3 – 5 x2 + 8 x – 4 = 0 x3 – 2 x2 –3 x2 + 8x – 4 = 0 x2 (x – 2) – (3 x2 – 8x + 4) = 0 3 x2 – 8x + 4 = 0 x = 2 x = 2/3 x2 (x – 2) – (3 (x –2) (x – 2/3)) = 0 x2 (x – 2) – (( x – 2) (3x – 2)) = 0 (x – 2)(x2 – 3x + 2) = 0 x – 2 = 0 x2 – 3x + 2 = 0 x = 2 x = 2 x = 1 ಉತ್ತರ: x = 2; x = 1. ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವು ನೀಡುತ್ತದೆ: ಪುರಸಭೆಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆ "ಸೆಕೆಂಡರಿ ಶಾಲೆ ಸಂಖ್ಯೆ 24". X3 + ಕೊಡಲಿ = ಬಿ (1). ಇಲ್ಲಿ p = 6 ಮತ್ತು q = -2. ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆ:
“ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್” - Ch. 4. "ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ" ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಆಯ್ಕೆಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. §4. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಚ. 2. ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಗ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳು. §1. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ದೇಹದ ಪರಿಮಾಣ. §6. ಪರಿಚಯ. ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ ಮೊತ್ತಗಳು. §3. ಯಾಂತ್ರಿಕ ಕೆಲಸ. ಗುರಿ: ಸಮಗ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನಿರ್ಮಾಣದ ವಿಧಾನಗಳು: ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಟೀಕೆಗಳು. §2. ಏಕೀಕರಣ ವಿಧಾನಗಳು. §3. ತೀರ್ಮಾನ. ಅಧ್ಯಾಯ 3. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅನ್ವಯ. §1.
“ಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳು” - 2) ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ f(x)< g(x), 0<а<1. "Что значит решить задачу? Обоснование: 12). Сравните основание а с единицей: Если 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಮತ್ತು ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳ ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಆದರೆ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಗ್ರಾಫಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟ. ಏಕತಾನತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಆಯ್ಕೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾದಾಗ ನೀಡಲಾಗುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಪುರಸಭೆಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆ "ಜಿಮ್ನಾಷಿಯಂ ಸಂಖ್ಯೆ 24" ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ-ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿಧಾನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳು. ಶಿಕ್ಷಕರಿಂದ ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಡ್ಯಾನಿಲಿನಾ ಓಲ್ಗಾ ಸೆರ್ಗೆವ್ನಾ. ಮಗದನ್ 2007 «
ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ - ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನ" ಪಾಠದ ಉದ್ದೇಶ: ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕಾರದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು - ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಏಕತಾನತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಪಾಠ ರಚನೆ: ಶಿಕ್ಷಕರಿಂದ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಭಾಷಣ, ಪಾಠದ ವಿಷಯದ ಪರಿಚಯ, ಗುರಿ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಪಾಠದ ವಿಷಯವನ್ನು ಸದುಪಯೋಗಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಹಿಂದೆ ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ನವೀಕರಿಸುವುದು ನಿರೂಪಕರ ಪ್ರಸ್ತುತಿ, ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮಾದರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಸ ವಸ್ತುಗಳ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಕಲಿತ ವಿಷಯಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಬಲವರ್ಧನೆಯ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿ ಆಟದಂತೆಯೇ ಆಟವನ್ನು ನಡೆಸುವುದು: “ಏನು? ಎಲ್ಲಿ? ಯಾವಾಗ?" ಪಾಠವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸುವುದು. ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು; ಇಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನೀವು ಏನು ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ? ಆಯ್ಕೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು? ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಟದಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುವವರಿಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು: ಆತ್ಮೀಯ ತಜ್ಞರು, ಒಂದು ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದು ಒಂದೇ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಉತ್ತರ: ಎರಡು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. y = - ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ y=3 ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. x=1 ಎಂದಾಗ, ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಉತ್ತರ: x=1 ಆತ್ಮೀಯ ತಜ್ಞರು, ಒಂದು ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಉತ್ತರ: y = - ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. y=6 - x ಒಂದು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. x=2 ಎಂದಾಗ, ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಉತ್ತರ: x=2 3. ಆತ್ಮೀಯ ತಜ್ಞರೇ, ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲ x=3 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ಒಂದು ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ, ಅಸಮಾನತೆಯು x ನ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಉತ್ತರಿಸಿ. ಉತ್ತರ: ಅಸಮಾನತೆಯು x Є ಗಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, y = ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ y = ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ನ ಕೆಳಗೆ ಇದೆ 4. ಆತ್ಮೀಯ ತಜ್ಞರು, ಅನೇಕ ಜನರು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ. ಒಂದು ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅದು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಉತ್ತರ: x = -3 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವು ಹೊಂದಿದೆ ಒಂದೇ ಮೂಲ. 5. ಆತ್ಮೀಯ ತಜ್ಞರು, ನಾನು ನಿಮಗಾಗಿ ಕಠಿಣ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಅವನು ಒಬ್ಬನೇ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಉತ್ತರ: x=1 ಒಂದೇ ಮೂಲ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ - ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನ. ________________________________________________________________________
ಪಾಠದ ಉದ್ದೇಶ: ಏಕತಾನತೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ. _________________________________________________________________________
ಉಲ್ಲೇಖ ವಸ್ತು ಉದಾಹರಣೆ 1: ಉದಾಹರಣೆ 2: ಕಾರ್ಯಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿವೆ ಉಲ್ಲೇಖ ವಸ್ತು 2. ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ: 3. ಎರಡು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.ಡೌನ್‌ಲೋಡ್:
ಮುನ್ನೋಟ:
