സ്വതന്ത്ര അൺഡാംഡ് ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ സമവാക്യം. ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ സമവാക്യം നനഞ്ഞ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ സമവാക്യം

ആന്ദോളന സർക്യൂട്ട് ഉത്തേജിപ്പിക്കുന്നതിന്, കപ്പാസിറ്റർ പ്രീ-ചാർജ്ജ് ചെയ്തു, അതിൻ്റെ പ്ലേറ്റുകളിലേക്ക് ഒരു ചാർജ് നൽകുന്നു ± q. പിന്നെ സമയത്തിൻ്റെ പ്രാരംഭ നിമിഷത്തിൽ t= 0 (ചിത്രം 19, എ)കപ്പാസിറ്ററിൻ്റെ പ്ലേറ്റുകൾക്കിടയിൽ ഒരു വൈദ്യുത മണ്ഡലം ഉയരും. നിങ്ങൾ ഒരു ഇൻഡക്റ്ററിലേക്ക് ഒരു കപ്പാസിറ്റർ അടയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, കപ്പാസിറ്റർ ഡിസ്ചാർജ് ചെയ്യാൻ തുടങ്ങും, കൂടാതെ സർക്യൂട്ടിൽ ഒരു കറൻ്റ് ഒഴുകും, കാലക്രമേണ വർദ്ധിക്കും. ഐ. കപ്പാസിറ്റർ പൂർണ്ണമായും ഡിസ്ചാർജ് ചെയ്യുമ്പോൾ, കപ്പാസിറ്ററിൻ്റെ വൈദ്യുത മണ്ഡലത്തിൻ്റെ ഊർജ്ജം പൂർണ്ണമായും ഊർജ്ജമായി മാറും. കാന്തികക്ഷേത്രംകോയിലുകൾ (ചിത്രം 19, ബി). ഈ നിമിഷം മുതൽ, സർക്യൂട്ടിലെ കറൻ്റ് കുറയും, തൽഫലമായി, കോയിലിൻ്റെ കാന്തികക്ഷേത്രം ദുർബലമാകാൻ തുടങ്ങും, തുടർന്ന്, ഫാരഡെയുടെ നിയമമനുസരിച്ച്, അതിൽ ഒരു വൈദ്യുതധാര പ്രചോദിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു, അത് ലെൻസിൻ്റെ നിയമത്തിന് അനുസൃതമായി ഒഴുകുന്നു. കപ്പാസിറ്ററിൻ്റെ ഡിസ്ചാർജ് കറൻ്റിൻ്റെ അതേ ദിശ. കപ്പാസിറ്റർ റീചാർജ് ചെയ്യാൻ തുടങ്ങും, ഒരു വൈദ്യുത മണ്ഡലം ഉയർന്നുവരും, വൈദ്യുതധാരയെ ദുർബലപ്പെടുത്തുന്നു, അത് ഒടുവിൽ പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകും, ​​കൂടാതെ കപ്പാസിറ്റർ പ്ലേറ്റുകളിലെ ചാർജ് പരമാവധി എത്തും (ചിത്രം 19, വി). അടുത്തതായി, അതേ പ്രക്രിയകൾ വിപരീത ദിശയിൽ സംഭവിക്കാൻ തുടങ്ങും (ചിത്രം 19, ജി), അക്കാലത്തെ സിസ്റ്റം t=T (ടി- ആന്ദോളന കാലയളവ്) അതിൻ്റെ യഥാർത്ഥ അവസ്ഥയിലേക്ക് മടങ്ങും (ചിത്രം 19, എ). ഇതിനുശേഷം, കപ്പാസിറ്റർ ഡിസ്ചാർജ് ചെയ്യുന്നതിനും ചാർജ് ചെയ്യുന്നതിനുമുള്ള പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന സൈക്കിളിൻ്റെ ആവർത്തനം ആരംഭിക്കും, അതായത്, ചാർജ് തുകയുടെ ആനുകാലികമായ അൺഡാംഡ് ആന്ദോളനങ്ങൾ ആരംഭിക്കും. qകപ്പാസിറ്റർ പ്ലേറ്റുകളിൽ, വോൾട്ടേജ് യു സികപ്പാസിറ്ററിലും കറൻ്റിലും ഐ, ഇൻഡക്റ്ററിലൂടെ ഒഴുകുന്നു. ഫാരഡെയുടെ നിയമം അനുസരിച്ച്, വോൾട്ടേജ് യു സികപ്പാസിറ്ററിൽ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഒരു അനുയോജ്യമായ സർക്യൂട്ടിൻ്റെ ഇൻഡക്‌ടറിലെ കറൻ്റിൻ്റെ മാറ്റത്തിൻ്റെ തോത് അനുസരിച്ചാണ്, അതായത്:

എന്ന വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി U C =q/C, എ I=dq/dt,നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു സ്വതന്ത്ര അൺഡംപ്ഡ് ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യംചാർജ്ജ് അളവ് qകപ്പാസിറ്റർ പ്ലേറ്റുകളിൽ:

അഥവാ .

ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഫംഗ്ഷനാണ് q(ടി), അതാണ് സൌജന്യ അൺഡംപ്ഡ് ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ സമവാക്യംചാർജ്ജ് അളവ് qകപ്പാസിറ്റർ പ്ലേറ്റുകളിൽ:

എവിടെ q(ടിടി;

q 0 - കപ്പാസിറ്റർ പ്ലേറ്റുകളിൽ ചാർജ് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തി;

- വൃത്താകൃതിയിലുള്ള (അല്ലെങ്കിൽ ചാക്രിക) ആന്ദോളനം ആവൃത്തി ();

2 /ടി(ടി- ആന്ദോളന കാലയളവ്, –തോംസൻ്റെ ഫോർമുല);

- സമയത്തിൻ്റെ നിമിഷത്തിലെ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ഘട്ടം ടി;

- ആന്ദോളനങ്ങളുടെ പ്രാരംഭ ഘട്ടം, അതായത്, സമയത്തിൻ്റെ നിമിഷത്തിലെ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ഘട്ടം ടി=0.

സ്വതന്ത്ര നനഞ്ഞ ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ സമവാക്യം.ഒരു യഥാർത്ഥ ഓസിലേറ്ററി സർക്യൂട്ടിൽ, ഇൻഡക്‌ടൻസ് കോയിലിന് പുറമേ അത് കണക്കിലെടുക്കുന്നു എൽ,ശേഷിയുള്ള കപ്പാസിറ്റർ കൂടെ, സർക്യൂട്ടിൽ ഒരു പ്രതിരോധം ഉള്ള ഒരു റെസിസ്റ്ററും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു ആർ, പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, ഇത് യഥാർത്ഥ ഓസിലേറ്ററി സർക്യൂട്ടിലെ ആന്ദോളനങ്ങൾ നനയ്ക്കുന്നതിനുള്ള കാരണമാണ്. ലഭ്യമാണ് നനഞ്ഞ ആന്ദോളനങ്ങൾ- ആന്ദോളനങ്ങൾ, യഥാർത്ഥ ഓസിലേറ്ററി സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഊർജ്ജ നഷ്ടം കാരണം കാലക്രമേണ അതിൻ്റെ വ്യാപ്തി കുറയുന്നു.

ഒരു കപ്പാസിറ്റൻസുള്ള ഒരു സീരീസ്-കണക്‌റ്റഡ് കപ്പാസിറ്ററിൽ ഒരു യഥാർത്ഥ ഓസിലേറ്ററി വോൾട്ടേജ് സർക്യൂട്ടിൻ്റെ ഒരു സർക്യൂട്ടിനായി കൂടെപ്രതിരോധം ഉള്ള ഒരു റെസിസ്റ്ററും ആർമടക്കുക. അപ്പോൾ, ഒരു യഥാർത്ഥ ഓസിലേറ്ററി സർക്യൂട്ടിൻ്റെ സർക്യൂട്ടിനായുള്ള ഫാരഡെയുടെ നിയമം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് എഴുതാം:

,

കോയിലിലെ സ്വയം-ഇൻഡക്ഷൻ്റെ ഇലക്ട്രോമോട്ടീവ് ഫോഴ്സ് എവിടെയാണ്;

യു സി- കപ്പാസിറ്ററിലുടനീളം വോൾട്ടേജ് ( U C =q/C);

ഐ.ആർ- റെസിസ്റ്ററിലുടനീളം വോൾട്ടേജ്.

എന്ന വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി I=dq/dt,നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു സ്വതന്ത്ര നനഞ്ഞ ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യംചാർജ്ജ് അളവ് qകപ്പാസിറ്റർ പ്ലേറ്റുകളിൽ:

അഥവാ ,

ആന്ദോളനം ഡാംപിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് എവിടെയാണ് (), .

q(ടി), അതാണ് സ്വതന്ത്ര നനഞ്ഞ ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ സമവാക്യംചാർജ്ജ് അളവ് qകപ്പാസിറ്റർ പ്ലേറ്റുകളിൽ:

എവിടെ q(ടി) - സമയത്തിൻ്റെ നിമിഷത്തിൽ കപ്പാസിറ്റർ പ്ലേറ്റുകളിലെ ചാർജിൻ്റെ അളവ് ടി;

- സമയത്തിൻ്റെ നിമിഷത്തിൽ ചാർജിൻ്റെ നനഞ്ഞ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തി ടി;

q 0 - നനഞ്ഞ ചാർജ് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ പ്രാരംഭ വ്യാപ്തി;

- വൃത്താകൃതിയിലുള്ള (അല്ലെങ്കിൽ ചാക്രിക) ആന്ദോളന ആവൃത്തി ( );

- സമയത്തിൻ്റെ നിമിഷത്തിൽ നനഞ്ഞ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ഘട്ടം ടി;

- നനഞ്ഞ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ പ്രാരംഭ ഘട്ടം.

ഒരു യഥാർത്ഥ ഓസിലേറ്ററി സർക്യൂട്ടിലെ ഫ്രീ ഡാംപ്ഡ് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ കാലയളവ്:

.

നിർബന്ധിച്ചു വൈദ്യുതകാന്തിക വൈബ്രേഷനുകൾ . ഒരു യഥാർത്ഥ ഓസിലേറ്ററി സിസ്റ്റത്തിൽ അൺഡംപഡ് ആന്ദോളനങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നതിന്, ആന്ദോളന പ്രക്രിയയിൽ ഊർജ്ജ നഷ്ടം നികത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഒരു യഥാർത്ഥ ആന്ദോളന സർക്യൂട്ടിലെ അത്തരം നഷ്ടപരിഹാരം ഒരു ബാഹ്യ ആൾട്ടർനേറ്റിംഗ് വോൾട്ടേജിൻ്റെ സഹായത്തോടെ സാധ്യമാണ്, ഒരു ഹാർമോണിക് നിയമം അനുസരിച്ച് ഇടയ്ക്കിടെ വ്യത്യാസപ്പെടുന്നു യു(ടി):

.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നിർബന്ധിത വൈദ്യുതകാന്തിക ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യംഫോം എടുക്കും:

അഥവാ .

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഫംഗ്ഷനാണ് q(ടി):

സ്ഥിരമായ അവസ്ഥയിൽ, നിർബന്ധിത ആന്ദോളനങ്ങൾ ഒരു ആവൃത്തിയിൽ സംഭവിക്കുന്നു wഹാർമോണിക് ആണ്, കൂടാതെ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തിയും ഘട്ടവും ഇനിപ്പറയുന്ന എക്സ്പ്രഷനുകളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:

; .

ബാഹ്യ ഉറവിടത്തിൻ്റെ അനുരണന ആവൃത്തിയിൽ ചാർജ് മൂല്യത്തിൻ്റെ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തി പരമാവധി ഉണ്ടെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു:

.

നിർബന്ധിത ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തിയിൽ കുത്തനെ വർദ്ധനവുണ്ടാകുന്ന പ്രതിഭാസത്തെ നിർബന്ധിത ആൾട്ടർനേറ്റിംഗ് വോൾട്ടേജിൻ്റെ ആവൃത്തി ആവൃത്തിയോട് അടുത്തുള്ള ഒരു ആവൃത്തിയെ സമീപിക്കുന്നു അനുരണനം.

വിഷയം 10. വൈദ്യുതകാന്തിക തരംഗങ്ങൾ

മാക്സ്വെല്ലിൻ്റെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, വൈദ്യുതകാന്തിക മണ്ഡലങ്ങൾ വൈദ്യുതകാന്തിക തരംഗങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ നിലനിൽക്കും, ഘട്ടം പ്രവേഗം ഇതിൻ്റെ വിതരണം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് പദപ്രയോഗത്തിലൂടെയാണ്:

,

യഥാക്രമം വൈദ്യുത, ​​കാന്തിക സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ എവിടെയാണ്,

ഇഒപ്പം എം- മാധ്യമത്തിൻ്റെ വൈദ്യുത, ​​കാന്തിക പ്രവേശനക്ഷമത, യഥാക്രമം,

കൂടെ- ശൂന്യതയിൽ പ്രകാശവേഗത () .

ഒരു ശൂന്യതയിൽ ( ഇ= 1, എം= l) വൈദ്യുതകാന്തിക തരംഗങ്ങളുടെ വ്യാപനത്തിൻ്റെ വേഗത പ്രകാശത്തിൻ്റെ വേഗതയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു ( കൂടെ), ഇത് മാക്സ്വെല്ലിൻ്റെ സിദ്ധാന്തവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു

പ്രകാശം വൈദ്യുതകാന്തിക തരംഗങ്ങളാണെന്ന്.

മാക്സ്വെല്ലിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് വൈദ്യുതകാന്തിക തരംഗങ്ങൾആകുന്നു തിരശ്ചീനമായ,അതായത്, വൈദ്യുത കാന്തിക മണ്ഡലങ്ങളുടെ വെക്റ്ററുകളും ശക്തികളും പരസ്പരം ലംബവും വെക്റ്ററിന് ലംബമായി ഒരു തലത്തിൽ കിടക്കുന്നതുമാണ്.

തരംഗ പ്രചരണ വേഗത, വെക്റ്ററുകൾ , കൂടാതെ ഒരു വലത് കൈ സ്ക്രൂ സിസ്റ്റം (ചിത്രം 20) രൂപീകരിക്കുക.

മാക്‌സ്‌വെല്ലിൻ്റെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന്, ഒരു വൈദ്യുതകാന്തിക തരംഗത്തിൽ വെക്‌ടറുകളും ആന്ദോളനങ്ങളും ഒരേ ഘട്ടങ്ങളിലാണ് (ചിത്രം 20), അതായത് ശക്തി മൂല്യങ്ങൾ. ഇഒപ്പം എൻവൈദ്യുത, ​​കാന്തിക മണ്ഡലങ്ങൾ ഒരേസമയം പരമാവധി എത്തുകയും ഒരേ സമയം പൂജ്യത്തിലേക്ക് തിരിയുകയും തൽക്ഷണ മൂല്യങ്ങൾ ഇഒപ്പം എൻബന്ധത്താൽ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു: .

ഒരു തലം മോണോക്രോമാറ്റിക് വൈദ്യുതകാന്തിക തരംഗത്തിൻ്റെ സമവാക്യം(സൂചികകൾ ചെയ്തത്ഒപ്പം zചെയ്തത് ഇഒപ്പം എൻവെക്‌ടറുകൾ ചിത്രത്തിന് അനുസൃതമായി പരസ്പരം ലംബമായ അക്ഷങ്ങളിലൂടെ നയിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് മാത്രം അവർ ഊന്നിപ്പറയുന്നു. 20).

ആന്ദോളനങ്ങൾകാലക്രമേണ ഒരു നിശ്ചിത ആവർത്തന സ്വഭാവമുള്ള ചലനങ്ങളെ അല്ലെങ്കിൽ പ്രക്രിയകളെ വിളിക്കുന്നു. പ്രകൃതിയിലും സാങ്കേതികവിദ്യയിലും ഓസിലേറ്ററി പ്രക്രിയകൾ വ്യാപകമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ക്ലോക്ക് പെൻഡുലത്തിൻ്റെ സ്വിംഗ്, ഒന്നിടവിട്ട് വൈദ്യുതിമുതലായവ. പെൻഡുലം ആന്ദോളനം ചെയ്യുമ്പോൾ, പിണ്ഡത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ് മാറുന്നു. ആൾട്ടർനേറ്റിംഗ് കറൻ്റ്സർക്യൂട്ടിൽ വോൾട്ടേജും കറൻ്റും ചാഞ്ചാടുന്നു. വൈബ്രേഷനുകളുടെ ഭൗതിക സ്വഭാവം വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും, അതിനാൽ, മെക്കാനിക്കൽ, വൈദ്യുതകാന്തിക മുതലായവ വൈബ്രേഷനുകൾ ഉണ്ട്, എന്നിരുന്നാലും, വ്യത്യസ്ത ആന്ദോളന പ്രക്രിയകൾ ഒരേ സ്വഭാവസവിശേഷതകളാലും ഒരേ സമവാക്യങ്ങളാലും വിവരിക്കുന്നു. അതുകൊണ്ട് പ്രയോജനം പൊതുവായ സമീപനംവൈബ്രേഷനുകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിലേക്ക് വ്യത്യസ്ത ശാരീരിക സ്വഭാവമുള്ളത്.

ആന്ദോളനങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു സൗ ജന്യം, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മൂലകങ്ങൾക്കിടയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ആന്തരിക ശക്തികളുടെ സ്വാധീനത്തിൽ മാത്രമാണ് അവ സംഭവിക്കുന്നതെങ്കിൽ, ബാഹ്യശക്തികളാൽ സിസ്റ്റം സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുത്ത് സ്വയം അവശേഷിക്കുന്നു. സ്വതന്ത്ര വൈബ്രേഷനുകൾ എപ്പോഴും നനഞ്ഞ ആന്ദോളനങ്ങൾ , കാരണം യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റങ്ങളിൽ ഊർജ്ജ നഷ്ടം അനിവാര്യമാണ്. ഊർജ നഷ്ടം ഇല്ലാത്ത ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അനുയോജ്യമായ സാഹചര്യത്തിൽ, സ്വതന്ത്ര ആന്ദോളനങ്ങൾ (ആവശ്യമുള്ളിടത്തോളം തുടരുന്നു) എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു സ്വന്തം.

സൌജന്യ അൺഡംപ്ഡ് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ലളിതമായ തരം ഹാർമോണിക് വൈബ്രേഷനുകൾ -സൈൻ (കോസൈൻ) നിയമം അനുസരിച്ച് കാലക്രമേണ ആന്ദോളനത്തിൻ്റെ അളവ് മാറുന്ന ആന്ദോളനങ്ങൾ. പ്രകൃതിയിലും സാങ്കേതികവിദ്യയിലും കാണപ്പെടുന്ന വൈബ്രേഷനുകൾക്ക് പലപ്പോഴും ഹാർമോണിക്കിനോട് അടുത്ത സ്വഭാവമുണ്ട്.

ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങളെ ഹാർമോണിക് ആന്ദോളന സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യം വിവരിക്കുന്നു:

എവിടെ എ- ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തി, ആന്ദോളന അളവിൻ്റെ പരമാവധി മൂല്യം എക്സ്; - സ്വാഭാവിക ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള (സൈക്ലിക്) ആവൃത്തി; - സമയത്തിൻ്റെ നിമിഷത്തിലെ ആന്ദോളനത്തിൻ്റെ പ്രാരംഭ ഘട്ടം ടി= 0; - സമയത്തിൻ്റെ നിമിഷത്തിലെ ആന്ദോളനത്തിൻ്റെ ഘട്ടം ടി.ആന്ദോളന ഘട്ടം ഒരു നിശ്ചിത സമയത്ത് ആന്ദോളനം ചെയ്യുന്ന അളവിൻ്റെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നു. കോസൈൻ +1 മുതൽ -1 വരെ വ്യത്യാസപ്പെടുന്നതിനാൽ എക്സ്+ മുതൽ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം എമുമ്പ് - എ.

സമയം ടിസിസ്റ്റം ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ആന്ദോളനം പൂർത്തിയാക്കുന്ന സമയത്ത് വിളിക്കുന്നു ആന്ദോളനത്തിൻ്റെ കാലഘട്ടം. സമയത്ത് ടിആന്ദോളന ഘട്ടം 2 വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു π , അതായത്.

എവിടെ . (14.2)

ആന്ദോളന കാലഘട്ടത്തിൻ്റെ പരസ്പരബന്ധം

അതായത്, ഒരു യൂണിറ്റ് സമയത്തിൽ നടത്തുന്ന പൂർണ്ണമായ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ ആന്ദോളന ആവൃത്തി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ (14.2), (14.3) നമുക്ക് ലഭിക്കും

ആവൃത്തിയുടെ യൂണിറ്റ് ഹെർട്സ് (Hz): 1 സെക്കൻറിൽ ഒരു പൂർണ്ണ ആന്ദോളനം സംഭവിക്കുന്ന ആവൃത്തിയാണ് 1 Hz.

സ്വതന്ത്ര വൈബ്രേഷനുകൾ സംഭവിക്കാവുന്ന സിസ്റ്റങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു ഓസിലേറ്ററുകൾ . സ്വതന്ത്ര വൈബ്രേഷനുകൾ ഉണ്ടാകുന്നതിന് ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് എന്ത് ഗുണങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം? മെക്കാനിക്കൽ സംവിധാനം ഉണ്ടായിരിക്കണം സ്ഥിരമായ സന്തുലിതാവസ്ഥ, പുറത്തുകടക്കുമ്പോൾ ദൃശ്യമാകുന്നു സന്തുലിതാവസ്ഥയിലേക്ക് നയിക്കുന്ന ശക്തി പുനഃസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഈ സ്ഥാനം, അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധ്യതയുള്ള ഊർജ്ജവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. ലിസ്റ്റുചെയ്ത ഗുണങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന നിരവധി ഓസിലേറ്ററി സിസ്റ്റങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ഏത് അളവിലും വരുന്ന മാറ്റങ്ങൾ സൈൻ അല്ലെങ്കിൽ കോസൈൻ നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വിവരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് അത്തരം ആന്ദോളനങ്ങളെ ഹാർമോണിക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു കപ്പാസിറ്ററും (സർക്യൂട്ടിൽ ഉൾപ്പെടുത്തുന്നതിന് മുമ്പ് ചാർജ്ജ് ചെയ്യപ്പെട്ടത്) ഒരു ഇൻഡക്റ്ററും (ചിത്രം 1) അടങ്ങുന്ന ഒരു സർക്യൂട്ട് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ചിത്രം 1.

ഹാർമോണിക് വൈബ്രേഷൻ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)

$t$ എന്നത് എവിടെയാണ് സമയം; $q$ ചാർജ്, $q_0$-- മാറ്റങ്ങൾ സമയത്ത് അതിൻ്റെ ശരാശരി (പൂജ്യം) മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് ചാർജിൻ്റെ പരമാവധി വ്യതിയാനം; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- ആന്ദോളന ഘട്ടം; $(\alpha )_0$- പ്രാരംഭ ഘട്ടം; $(\omega )_0$ - ചാക്രിക ആവൃത്തി. ഈ കാലയളവിൽ, ഘട്ടം $2\pi $ ആയി മാറുന്നു.

ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യം:

സജീവമായ പ്രതിരോധം ഉൾക്കൊള്ളാത്ത ഒരു ഓസിലേറ്ററി സർക്യൂട്ടിനായി ഡിഫറൻഷ്യൽ രൂപത്തിലുള്ള ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ സമവാക്യം.

ഏതെങ്കിലും തരത്തിലുള്ള ആനുകാലിക ആന്ദോളനങ്ങൾഹാർമോണിക് സീരീസ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഹാർമോണിക് വൈബ്രേഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയായി കൃത്യമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയും.

ഒരു കോയിലും കപ്പാസിറ്ററും അടങ്ങുന്ന ഒരു സർക്യൂട്ടിൻ്റെ ആന്ദോളന കാലയളവിനായി, നമുക്ക് തോംസൻ്റെ ഫോർമുല ലഭിക്കും:

പദപ്രയോഗം (1) സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വേർതിരിച്ചാൽ, $I(t)$ എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഫോർമുല നമുക്ക് ലഭിക്കും:

കപ്പാസിറ്ററിനു കുറുകെയുള്ള വോൾട്ടേജ് ഇങ്ങനെ കണ്ടെത്താം:

(5), (6) ഫോർമുലകളിൽ നിന്ന്, നിലവിലെ ശക്തി കപ്പാസിറ്ററിലെ വോൾട്ടേജിനേക്കാൾ $\frac(\pi )(2).$

സമവാക്യങ്ങൾ, പ്രവർത്തനങ്ങൾ, വെക്റ്റർ ഡയഗ്രമുകൾ എന്നിവയുടെ രൂപത്തിൽ ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

സമവാക്യം (1) സ്വതന്ത്ര അൺഡാംഡ് ആന്ദോളനങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

നനഞ്ഞ ആന്ദോളന സമവാക്യം

സർക്യൂട്ടിലെ കപ്പാസിറ്റർ പ്ലേറ്റുകളിലെ ചാർജിലെ മാറ്റം ($q$), പ്രതിരോധം (ചിത്രം 2) കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ഫോമിൻ്റെ ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം വിവരിക്കും:

ചിത്രം 2.

സർക്യൂട്ടിൻ്റെ ഭാഗമായ പ്രതിരോധം $R\

ഇവിടെ $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ എന്നത് സൈക്ലിക് ആന്ദോളന ആവൃത്തിയാണ്. $\beta =\frac(R)(2L)-$damping coficiency. നനഞ്ഞ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തി ഇപ്രകാരം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

$t=0$-ൽ കപ്പാസിറ്ററിലെ ചാർജ് $q=q_0$-ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, സർക്യൂട്ടിൽ കറൻ്റ് ഇല്ലെങ്കിൽ, $A_0$-ന് നമുക്ക് എഴുതാം:

സമയത്തിൻ്റെ പ്രാരംഭ നിമിഷത്തിലെ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ഘട്ടം ($(\alpha )_0$) ഇതിന് തുല്യമാണ്:

$R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ ചാർജിലെ മാറ്റം ഒരു ആന്ദോളനമല്ലെങ്കിൽ, കപ്പാസിറ്ററിൻ്റെ ഡിസ്ചാർജിനെ aperiodic എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 1

വ്യായാമം:പരമാവധി ചാർജ് മൂല്യം $q_0=10\ C$ ആണ്. $T= 5 s$ എന്ന കാലയളവിനൊപ്പം ഇത് യോജിപ്പോടെ വ്യത്യാസപ്പെടുന്നു. സാധ്യമായ പരമാവധി കറൻ്റ് നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം:

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനമായി ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

നിലവിലെ ശക്തി കണ്ടെത്തുന്നതിന്, പദപ്രയോഗം (1.1) സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വേർതിരിക്കേണ്ടതാണ്:

നിലവിലെ ശക്തിയുടെ പരമാവധി (ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡ് മൂല്യം) എക്സ്പ്രഷൻ ആണ്:

പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ചാർജിൻ്റെ ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡ് മൂല്യം ($q_0=10\ C$) നമുക്ക് അറിയാം. ആന്ദോളനങ്ങളുടെ സ്വാഭാവിക ആവൃത്തി നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തണം. നമുക്ക് അത് പ്രകടിപ്പിക്കാം:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\ഇടത്(1.4\വലത്).\]

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യങ്ങൾ (1.3), (1.2) എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ആവശ്യമുള്ള മൂല്യം കണ്ടെത്തും:

പ്രശ്ന സാഹചര്യങ്ങളിലെ എല്ലാ അളവുകളും SI സിസ്റ്റത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ, ഞങ്ങൾ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തും:

ഉത്തരം:$I_0=12.56\ A.$

ഉദാഹരണം 2

വ്യായാമം:ഒരു ഇൻഡക്‌ടർ $L=1$H ഉം ഒരു കപ്പാസിറ്ററും അടങ്ങുന്ന ഒരു സർക്യൂട്ടിലെ ആന്ദോളനത്തിൻ്റെ കാലഘട്ടം എന്താണ്, സർക്യൂട്ടിലെ നിലവിലെ ശക്തി നിയമം അനുസരിച്ച് മാറുകയാണെങ്കിൽ: $I\left(t\right)=-0.1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ കപ്പാസിറ്ററിൻ്റെ കപ്പാസിറ്റൻസ് എന്താണ്?

പരിഹാരം:

നിലവിലെ ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകളുടെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, ഇത് പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

$(\omega )_0=20\pi $ എന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, അതിനാൽ, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ആന്ദോളന കാലയളവ് കണക്കാക്കാം:

\ \

ഒരു ഇൻഡക്‌ടറും കപ്പാസിറ്ററും അടങ്ങുന്ന ഒരു സർക്യൂട്ടിനായുള്ള തോംസൻ്റെ സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച്, നമുക്കുള്ളത്:

നമുക്ക് ശേഷി കണക്കാക്കാം:

ഉത്തരം:$T=0.1$ c, $C=2.5\cdot (10)^(-4)F.$