Практик талаас нь авч үзвэл хамгийн сонирхолтой нь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олохын тулд деривативыг ашиглах явдал юм. Энэ нь юутай холбоотой вэ? Ашиг орлогоо нэмэгдүүлэх, зардлыг багасгах, тоног төхөөрөмжийн оновчтой ачааллыг тодорхойлох ... Өөрөөр хэлбэл, амьдралын олон салбарт зарим параметрүүдийг оновчтой болгох асуудлыг шийдэх ёстой. Энэ бол функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох асуудал юм.

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ихэвчлэн X интервалаас хайдаг бөгөөд энэ нь функцын бүхэл бүтэн муж эсвэл домэйны хэсэг юм. X интервал нь өөрөө шугамын хэсэг, нээлттэй интервал байж болно , хязгааргүй интервал .

Энэ нийтлэлд бид y=f(x) нэг хувьсагчийн тодорхой өгөгдсөн функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох талаар ярих болно.

Хуудасны навигаци.

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга - тодорхойлолт, дүрслэл.

Үндсэн тодорхойлолтуудын талаар товчхон ярилцъя.

Функцийн хамгийн том утга , аль аль нь тэгш бус байдал нь үнэн юм.

Функцийн хамгийн бага утга X интервал дээрх y=f(x)-ийг ийм утга гэнэ , аль аль нь тэгш бус байдал нь үнэн юм.

Эдгээр тодорхойлолтууд нь зөн совинтой байдаг: функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утга нь абсцисс бүхий авч үзэж буй интервал дээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн хамгийн том (хамгийн бага) утга юм.

Хөдөлгөөнгүй цэгүүднь функцийн дериватив алга болох аргументийн утгууд юм.

Хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олоход яагаад суурин цэгүүд хэрэгтэй байна вэ? Энэ асуултын хариултыг Фермагийн теоремоор өгсөн болно. Энэ теоремоос харахад хэрэв дифференциалагдах функц нь аль нэг цэгт экстремум (орон нутгийн хамгийн бага эсвэл орон нутгийн максимум) байвал энэ цэг нь хөдөлгөөнгүй байна. Тиймээс функц нь ихэвчлэн X интервал дээрх хамгийн их (хамгийн бага) утгыг энэ интервалаас хөдөлгөөнгүй цэгүүдийн аль нэгэнд авдаг.

Түүнчлэн, функц нь энэ функцийн анхны дериватив байхгүй, функц өөрөө тодорхойлогддог цэгүүдэд ихэвчлэн хамгийн том, хамгийн бага утгыг авч болно.

Энэ сэдвээр хамгийн түгээмэл асуултуудын нэг болох "Функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утгыг үргэлж тодорхойлох боломжтой юу" гэсэн асуултад нэн даруй хариулъя? Үгүй ээ, үргэлж биш. Заримдаа X интервалын хил нь функцийн хүрээний хилтэй давхцдаг эсвэл X интервал нь хязгааргүй байдаг. Хязгааргүй болон тодорхойлолтын хүрээн дэх зарим функцууд нь хязгааргүй том ба хязгааргүй жижиг утгыг хоёуланг нь авч болно. Эдгээр тохиолдолд функцын хамгийн том ба хамгийн бага утгын талаар юу ч хэлж чадахгүй.

Тодорхой болгохын тулд бид график дүрслэлийг өгдөг. Зургийг хараарай - тэгвэл олон зүйл тодорхой болно.

Сегмент дээр

Эхний зурагт функц нь сегмент доторх суурин цэгүүдэд хамгийн том (max y ) ба хамгийн бага (min y ) утгуудыг авдаг [-6;6] .

Хоёр дахь зурагт үзүүлсэн тохиолдлыг авч үзье. сегментийг өөрчил. Энэ жишээнд функцийн хамгийн бага утгыг хөдөлгөөнгүй цэг дээр, хамгийн том нь интервалын баруун хилтэй харгалзах абсцисс бүхий цэг дээр хүрнэ.

3-р зурагт [-3; 2] сегментийн хилийн цэгүүд нь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгатай тохирох цэгүүдийн абсцисса юм.

Нээлттэй хүрээнд

Дөрөв дэх зурагт функц нь нээлттэй интервал (-6;6) дотор суурин цэгүүдэд хамгийн том (max y ) ба хамгийн бага (min y ) утгуудыг авдаг.

Интервал дээр хамгийн том утгын талаар дүгнэлт хийх боломжгүй.

Хязгааргүйд

Долдугаар зурагт үзүүлсэн жишээн дээр функц нь x=1 абсцисс бүхий хөдөлгөөнгүй цэг дээр хамгийн том утгыг (max y ) авч, интервалын баруун хил дээр хамгийн бага утгад (min y ) хүрнэ. Хасах хязгааргүй үед функцийн утгууд асимптотоор y=3-д ойртоно.

Интервал дээр функц нь хамгийн бага эсвэл хамгийн том утгад хүрдэггүй. X=2 баруун тийш чиглэх тул функцын утга нь хасах хязгааргүй байх хандлагатай (х=2 шулуун шугам нь босоо асимптот), абсцисса нэмэх хязгааргүй байх хандлагатай тул функцын утга нь асимптотоор y=3-д ойртоно. . Энэ жишээний график дүрслэлийг Зураг 8-д үзүүлэв.

Сегмент дээрх тасралтгүй функцын хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох алгоритм.

Бид сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох алгоритмыг бичдэг.

1. Бид функцийн домэйныг олоод бүх сегментийг агуулж байгаа эсэхийг шалгана.
2. Бид эхний дериватив байхгүй, сегментэд агуулагдах бүх цэгүүдийг олдог (ихэвчлэн ийм цэгүүд модулийн тэмдгийн дор аргументтай функцэд, бутархай-рациональ илтгэгчтэй чадлын функцэд тохиолддог). Хэрэв ийм цэг байхгүй бол дараагийн цэг рүү очно уу.
3. Бид сегментэд хамаарах бүх суурин цэгүүдийг тодорхойлдог. Үүнийг хийхийн тулд бид үүнийг тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, тохирох үндсийг сонгоно. Хэрэв хөдөлгөөнгүй цэг байхгүй эсвэл тэдгээрийн аль нь ч сегментэд багтахгүй бол дараагийн алхам руу очно уу.
4. Бид функцийн утгыг сонгосон суурин цэгүүд (хэрэв байгаа бол), эхний дериватив байхгүй (хэрэв байгаа бол), мөн x=a ба x=b цэгүүд дээр тооцоолно.
5. Функцийн олж авсан утгуудаас бид хамгийн том ба хамгийн бага утгыг сонгоно - тэдгээр нь функцийн хүссэн хамгийн их ба хамгийн бага утгууд байх болно.

Сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох жишээг шийдэхдээ алгоритмд дүн шинжилгээ хийцгээе.

Жишээ.

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол

• сегмент дээр;
• [-4;-1] интервал дээр.

Шийдэл.

Функцийн домэйн нь тэгээс бусад бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц, өөрөөр хэлбэл . Хоёр сегмент хоёулаа тодорхойлолтын хүрээнд багтдаг.

Бид дараахь функцийн деривативыг олно.

Функцийн дериватив нь сегментийн бүх цэгүүд болон [-4;-1] дээр байгаа нь ойлгомжтой.

Тогтвортой цэгүүдийг тэгшитгэлээс тодорхойлно. Цорын ганц жинхэнэ үндэс нь x=2 юм. Энэ суурин цэг нь эхний сегментэд ордог.

Эхний тохиолдолд бид функцийн утгыг сегментийн төгсгөл ба суурин цэг дээр тооцоолно, өөрөөр хэлбэл x=1, x=2 ба x=4:

Тиймээс функцийн хамгийн том утга x=1 , хамгийн бага утгад хүрнэ – x=2 үед.

Хоёрдахь тохиолдолд бид функцийн утгыг зөвхөн сегментийн төгсгөлд тооцдог [-4;-1] (энэ нь нэг суурин цэг агуулаагүй тул):

Шийдэл.

Функцийн хамрах хүрээнээс эхэлье. Бутархайн хуваагч дахь дөрвөлжин гурвалсан тоо алга болохгүй.

Асуудлын нөхцлийн бүх интервалууд функцийн домэйнд хамаарах эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.

Функцийг ялгаж үзье:

Мэдээжийн хэрэг, дериватив нь функцын бүх домэйн дээр байдаг.

Хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг олцгооё. Дериватив нь цагт алга болно. Энэ суурин цэг (-3;1] ба (-3;2) интервалд багтдаг.

Одоо та цэг бүр дээр олж авсан үр дүнг функцийн графиктай харьцуулж болно. Цэнхэр тасархай шугамууд нь асимптотуудыг заана.

Энэ нь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох замаар дуусгавар болно. Энэ нийтлэлд авч үзсэн алгоритмууд нь хамгийн бага үйлдлээр үр дүнд хүрэх боломжийг олгодог. Гэхдээ эхлээд функцийн өсөлт, бууралтын интервалыг тодорхойлж, дараа нь аль ч интервал дээрх функцийн хамгийн том, хамгийн бага утгын талаар дүгнэлт хийх нь ашигтай байж болно. Энэ нь илүү тодорхой дүр зургийг гаргаж, үр дүнгийн нарийн үндэслэлийг өгдөг.

Тодорхойлолт. Хэрэв функц е(x) нь [ интервал дээр тодорхойлогддог. а, б], интервалын цэг бүрт тасралтгүй байна ( а, б), цэг дээр абаруун талд, нэг цэг дээр тасралтгүй бзүүн талдаа үргэлжилсэн байвал функц гэж хэлнэ е(x) сегмент дээр тасралтгүй [а, б].

Өөрөөр хэлбэл функц е(x) [ интервал дээр тасралтгүй байна а, б] хэрэв гурван нөхцөл хангагдсан бол:

1) "x 0 Î( а, б): е(x) = е(x 0);

2) е(x) = е(а);

3) е(x) = е(б).

Интервал дээр үргэлжилдэг функцүүдийн хувьд бид зарим шинж чанаруудыг авч үздэг бөгөөд бид дараах теоремуудын хэлбэрээр нотлох баримтгүйгээр томъёолдог.

Теорем 1. Хэрэв функц е(x) [ интервал дээр тасралтгүй байна а, б], дараа нь энэ сегмент дэх хамгийн бага, хамгийн том утгад хүрнэ.

Энэ теорем нь (Зураг 1.15) интервал дээр [ а, б] ийм цэг байдаг x 1 тэр е(x 1) £ е(x) аль ч хувьд x-аас [ а, б] мөн нэг цэг байгаа x 2 (x 2 О[ а, б]) ийм " xÎ[ а, б] (е(x 2) ³ е(x)).

Утга е(x 1) өгөгдсөн функцийн хувьд хамгийн том нь [ а, б], a е(x 2) - хамгийн жижиг. Тэмдэглэх: е(x 1) = М, е(x 2) =м. Учир нь е(x) дараах тэгш бус байдал байна: " xÎ[ а, б] м£ е(x) £ М, тэгвэл бид теорем 1-ээс дараах үр дүнг олж авна.

Үр дагавар. Хэрэв функц е(x) нь сегмент дээр тасралтгүй байвал энэ сегмент дээр хязгаарлагдана.

Теорем 2. Хэрэв функц е(x) [ интервал дээр тасралтгүй байна а,б] ба сегментийн төгсгөлд өөр өөр тэмдгийн утгыг авдаг бол ийм дотоод цэг байдаг x 0 сегмент [ а, б], функц нь 0 болж хувирдаг, i.e. доллар x 0 Î ( а, б) (е(x 0) = 0).

Энэ теорем нь функцийн график гэж заасан y=f(x), сегмент дээр тасралтгүй [ а, б], тэнхлэгийг гаталж байна Үхэрутгууд нь дор хаяж нэг удаа е(а) ба е(б) эсрэг тэмдэгтэй байна. Тиймээс, (Зураг 1.16) е(а) > 0, е(б) < 0 и функция е(x) цэгүүдэд алга болдог x 1 , x 2 , x 3 .

Теорем 3. Функцийг зөвшөөр е(x) [ интервал дээр тасралтгүй байна а, б], е(а) = А, е(б) = Бболон А¹ Б. (Зураг 1.17). Дараа нь дурын тооны хувьд C, тоонуудын хооронд дүгнэсэн Аболон Б, ийм дотоод цэг байдаг x 0 сегмент [ а, б], юу е(x 0) = C.

Үр дагавар. Хэрэв функц е(x) [ интервал дээр тасралтгүй байна а, б], м- хамгийн бага утга е(x), М- функцийн хамгийн том утга е(x) сегмент дээр [ а, б], дараа нь функц (дор хаяж нэг удаа) ямар ч утгыг авдаг мхооронд мболон М, улмаар сегмент [ м, М] нь функцийн бүх утгуудын багц юм е(x) сегмент дээр [ а, б].

Хэрэв функц интервал дээр тасралтгүй байвал ( а, б) эсвэл [ сегмент дээр байна а, б] тасархайн цэгийн 1, 2, 3 теоремууд ийм функцийн хувьд үнэн байхаа болино.

Дүгнэж хэлэхэд урвуу функц байгаа тухай теоремыг авч үзье.

Интервал нь сегмент, интервал эсвэл төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй хагас интервал гэдгийг санаарай.

Теорем 4. Болъё е(x) интервал дээр тасралтгүй байна X, нэмэгдэнэ (эсвэл буурна). Xмөн хэд хэдэн утгын хүрээтэй Ю. Дараа нь функцийн хувьд y=f(x) урвуу функц байна x= j(y) интервал дээр тодорхойлогддог Ю, тасралтгүй ба нэмэгдэж (эсвэл буурах) дээр Юолон утгатай X.

Сэтгэгдэл. Функцийг зөвшөөр x= j(y) функцийн хувьд урвуу байна е(x). Аргументыг ихэвчлэн тэмдгээр тэмдэглэдэг тул x, мөн функцээр дамжуулан y, дараа нь бид урвуу функцийг бичнэ у=j(x).

Жишээ 1. Чиг үүрэг y=x 2 (Зураг 1.8, а) багц дээр X= хэрэв энэ нь (a , b) интервал дээр үргэлжилсэн бол a цэг дээр баруун талдаа, b цэг дээр зүүн талдаа үргэлжилдэг.

Функцийг дууддаг сегмент дээр тасралтгүйхэрэв интервалд тасралтгүй байвал, цэг дээр баруун талд тасралтгүй, тэр бол мөн цэг дээр зүүн талд тасралтгүй, тэр бол .

Сэтгэгдэл.[ a , b ] сегмент дээр үргэлжилсэн функц нь a ба b цэгүүдэд тасархай байж болно (Зураг 1)

[a, b] сегмент дээр тасралтгүй байх функцүүдийн багцыг C[a, b] тэмдгээр тэмдэглэнэ.

Интервал дээр үргэлжилсэн функцүүдийн үндсэн теоремууд.

Теорем 1(тасралтгүй функцийн хязгаарлагдмал байдлын талаар). Хэрэв f (x) функц нь [a, b] сегмент дээр тасралтгүй байвал энэ сегмент дээр хязгаарлагдана, өөрөөр хэлбэл. " x 0 [ a , b ] тэгш бус байдал | f (x)| ≤ C байх C > 0 тоо байна.

Теорем 2(Weierstrass). Хэрэв f (x) функц нь [a, b] сегмент дээр тасралтгүй байвал энэ интервал дээр хамгийн их утга M, хамгийн бага утга m хүрнэ, өөрөөр хэлбэл. бүх x О [ a , b ] -д m = f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) = M байх α , β О [ a , b ] цэгүүд байна (Зураг 2).

M-ийн хамгийн том утгыг max x тэмдгээр тэмдэглэнэ [a, b] тухай f (x) ба m-ийн хамгийн бага утга нь min x тэмдэг юм [a, b] тухай f(x).
Теорем 3(тэг байгаа эсэх дээр). Хэрэв f (x) функц нь [ a , b ] сегмент дээр тасралтгүй бөгөөд сегментийн төгсгөлд өөр өөр тэмдгийн тэгээс өөр утгыг авдаг бол (a, b) интервал дээр дор хаяж нэг цэг байна. ξ үед f (ξ) = 0 байна.
Теоремын геометрийн утга нь теоремын нөхцлийг хангасан функцийн график нь тэнхлэгийг заавал огтолно гэсэн үг юм. ҮХЭР(Зураг 3).

Сэтгэгдэл.Энэ теорем нь тэгшитгэлийн ойролцоо шийдлийн аргын үндэс болно

f(x) = 0,

(1)

хуваах (дихотоми) арга, эсвэл хоёр хэсэгт хуваах арга гэж нэрлэдэг.

Теорем 4(Болзано-Коши). Хэрэв f (x) функц нь [a, b] интервал дээр тасралтгүй байвал f (a) ба f (b) хоорондох бүх завсрын утгыг (a, b) авна.
Үргэлжилсэн урвуу функц байгаа эсэх
[a, b] сегмент дээр y = f (x) функц тодорхойлогдсон, хатуу монотон ба тасралтгүй байна. Дараа нь [ α , β ] (α = f (a), β = f (b)) интервал дээр урвуу функц x = g (y) байна, энэ нь бас хатуу монотон бөгөөд (α , β) интервал дээр үргэлжилдэг. ).

Тодорхойлолт 4. Хэрэв функц нь энэ сегментийн цэг бүрт тасралтгүй байвал (а цэг дээр энэ нь баруун талдаа үргэлжилсэн, өөрөөр хэлбэл, b цэг дээр зүүн талдаа тасралтгүй байдаг, өөрөөр хэлбэл) функцийг сегмент дээр тасралтгүй гэж нэрлэдэг.

Бүх үндсэн үндсэн функцууд нь тодорхойлолтын хүрээнд тасралтгүй байдаг.

Сегмент дээрх тасралтгүй функцүүдийн шинж чанарууд:

• 1) Хэрэв функц нь хэрчим дээр тасралтгүй байвал энэ сегмент дээр хязгаарлагдана (Вейерштрассын анхны теорем).
• 2) Хэрэв функц нь сегмент дээр тасралтгүй байвал энэ сегмент дээр хамгийн бага утга ба хамгийн их утгад (Weierstrass-ийн хоёр дахь теорем) хүрнэ (2-р зургийг үз).
• 3) Хэрэв функц нь сегмент дээр тасралтгүй бөгөөд түүний төгсгөлд өөр өөр тэмдгийн утгыг авдаг бол сегмент дотор дор хаяж нэг цэг байх болно (Больцано-Коши теорем).

Функцийн таслах цэг ба тэдгээрийн ангилал

функцын тасралтгүй байдлын цэгийн сегмент

Тасралтгүй байдлын нөхцөл хангагдаагүй цэгүүдийг энэ функцийн тасалдал гэж нэрлэдэг. Хэрэв функцийн тасалдлын цэг бол 1, 2-т заасан функцийн тасралтгүй байдлын гурван нөхцлийн дор хаяж нэг нь хангагдаагүй болно, тухайлбал:

1) Функц нь тухайн цэгийн ойролцоо тодорхойлогддог боловч тухайн цэг дээр тодорхойлогдоогүй. 2-р жишээнд авч үзсэн функц а) энэ цэг дээр тодорхойлогдоогүй тул тухайн цэг дээр завсарлагатай байна.

2) Функц нь цэг болон түүний хөрш дээр тодорхойлогддог, нэг талт хязгаарууд байдаг ба гэхдээ тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү биш: . Жишээлбэл, жишээ 2-ын b) функц нь цэг болон түүний хөрш дээр тодорхойлогддог, гэхдээ, учир нь, a.

3) Функц нь цэг болон түүний эргэн тойронд тодорхойлогддог, нэг талт хязгаарууд байдаг бөгөөд тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү боловч цэг дээрх функцийн утгатай тэнцүү биш: . Жишээлбэл, функц. Энд тасрах цэг байна: энэ үед функц тодорхойлогддог, нэг талын хязгаарууд байдаг бөгөөд бие биетэйгээ тэнцүү байдаг, гэхдээ, өөрөөр хэлбэл.

Функцийн таслах цэгийг дараах байдлаар ангилна.

Тодорхойлолт 5. Хэрэв энэ цэг дээр хязгаарлагдмал хязгаарууд байгаа боловч тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү биш бол тухайн цэгийг нэгдүгээр төрлийн функцийн тасархай цэг гэнэ: . Дараа нь хэмжигдэхүүнийг цэг дээрх функцийн үсрэлт гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 6. Хэрэв энэ цэг дээр хязгаарлагдмал хязгаарууд байгаа ба тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү бол тухайн цэгийг функцийн зөөврийн тасалдлын цэг гэж нэрлэдэг: , гэхдээ функц өөрөө цэг дээр тодорхойлогдоогүй, эсвэл тодорхойлогддог, гэхдээ.

Тодорхойлолт 7. Хэрэв энэ цэг дээр ядаж нэг талт хязгаар (эсвэл) байхгүй эсвэл хязгааргүйтэй тэнцүү байвал цэгийг хоёр дахь төрлийн функцийн тасалдал гэж нэрлэдэг.

Жишээ 3. Дараах функцүүдийн таслах цэгийг олж, тэдгээрийн төрлийг тодорхойлно уу: a) b)

Шийдэл. a) Функц нь u интервалууд дээр тодорхойлогддог бөгөөд тасралтгүй байдаг, учир нь эдгээр интервал бүр дээр тасралтгүй элементар функцээр өгөгддөг. Тиймээс өгөгдсөн функцийн таслах цэгүүд нь зөвхөн функц нь аналитик даалгавраа өөрчлөх цэгүүд байж болно, өөрөөр хэлбэл. оноо i. Функцийн нэг талт хязгаарыг цэг дээр олъё.

Нэг талын хязгаарууд байдаг бөгөөд хязгаарлагдмал боловч бие биентэйгээ тэнцүү биш тул цэг нь эхний төрлийн тасалдал юм. Функцийн үсрэлт:

Нэг цэгийн хувьд бид олдог.

Энгийн функцүүдийн тасралтгүй байдал

Функцийн тасралтгүй байдлын теоремууд нь харгалзах хязгаарын теоремуудаас шууд гардаг.

Теорем.Хоёр тасралтгүй функцийн нийлбэр, үржвэр ба quotient нь тасралтгүй функц юм (хуваагч нь тэг байх аргументийн утгуудаас бусад хэсгийн хувьд).

Теорем.Функцуудыг зөвшөөр у= φ (x) цэг дээр тасралтгүй байна X 0 ба функц y = е(у) цэг дээр тасралтгүй байна у 0 = φ (X 0). Дараа нь нарийн төвөгтэй функц е(φ (x)) тасралтгүй функцээс бүрдэх цэг дээр тасралтгүй байна x 0 .

Теорем.Хэрэв функц цагт = е(X) үргэлжилсэн бөгөөд хатуу нэгэн хэвийн байна [ а; б] тэнхлэг Өө, дараа нь урвуу функц цагт = φ (X) нь мөн харгалзах сегмент дээр тасралтгүй бөгөөд нэгэн хэвийн байна [ в;г] тэнхлэг OU(нотолгоо байхгүй).

Интервал дээр тасралтгүй үргэлжлэх функцууд нь хэд хэдэн чухал шинж чанартай байдаг. Бид тэдгээрийг нотлох баримтгүйгээр теорем хэлбэрээр томъёолдог.

Теорем (Weierstrass). Хэрэв функц нь сегмент дээр тасралтгүй байвал энэ сегмент дээрх хамгийн их ба хамгийн бага утгад хүрнэ.

Зураг 5-т үзүүлсэн функц цагт = е(x) [ интервал дээр тасралтгүй байна а; б], хамгийн их утгыг авна Мцэг дээр x 1 , хамгийн жижиг нь м-цэг дээр X 2. Хэнд ч зориулав X [а; б] м ≤ е(x) ≤ М.

Үр дагавар.Хэрэв функц нь интервал дээр тасралтгүй байвал энэ интервал дээр хязгаарлагдана.

Теорем (Болзано - Коши).Хэрэв функц цагт= е(x) [ интервал дээр тасралтгүй байна а; б] ба төгсгөлд нь тэгш бус утгыг авдаг е(а) = Аболон е(б) = =AT, дараа нь энэ сегмент дээр энэ нь мөн хоорондын бүх завсрын утгыг авдаг ГЭХДЭЭболон AT.

Геометрийн хувьд теорем нь ойлгомжтой (6-р зургийг үз).

Ямар ч тооны хувьд FROMхооронд дүгнэв ГЭХДЭЭболон AT, нэг цэг бий -тайэнэ сегмент дотор ийм е(-тай) = FROM. Чигээрээ цагт = FROMфункцийн графикийг дор хаяж нэг цэгээр огтолно.

Үр дагавар.Хэрэв функц цагт = е(x) [ интервал дээр тасралтгүй байна а; б] ба төгсгөлд нь, дараа нь сегмент дотор өөр өөр тэмдгийн утгыг авдаг. а; б] дор хаяж нэг цэг байна -тай, үүнд энэ функц е(x) алга болно: е(-тай) = 0.

Теоремын геометрийн утга: хэрэв тасралтгүй функцийн график тэнхлэгийн нэг талаас дамжвал Өөнөгөө рүү, дараа нь тэнхлэгийг гатлана Үхэр(7-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 7.