Vzorec na pridanie aritmetickej progresie. Ako nájsť aritmetickú progresiu? Príklady aritmetického postupu s riešením. Aritmetický postup. stručne o hlavnej veci

Čo je hlavnou podstatou vzorca?

Tento vzorec vám umožňuje nájsť akýkoľvek PODĽA JEHO ČÍSLA" n" .

Samozrejme, treba poznať aj prvý pojem 1 a rozdiel v postupe d, no, bez týchto parametrov nemôžete zapísať konkrétny postup.

Zapamätať si (alebo oslniť) tento vzorec nestačí. Musíte pochopiť jeho podstatu a aplikovať vzorec v rôznych problémoch. A tiež nezabudnúť v pravú chvíľu, áno...) Ako nezabudnúť- Neviem. A tu ako si zapamätať V prípade potreby vám určite poradím. Pre tých, ktorí dokončia lekciu až do konca.)

Pozrime sa teda na vzorec pre n-tý člen aritmetickej progresie.

Čo je to vzorec vo všeobecnosti? Mimochodom, pozrite sa, ak ste to nečítali. Všetko je tam jednoduché. Zostáva zistiť, čo to je n-tý termín.

Progresia v všeobecný pohľad možno zapísať ako rad čísel:

1, 2, 3, 4, 5, .....

1- označuje prvý člen aritmetického postupu, a 3- tretí člen, a 4- štvrtý a tak ďalej. Ak máme záujem o piaty termín, povedzme, že pracujeme s a 5, ak stodvadsiate - s 120.

Ako to môžeme definovať všeobecne? akýkoľvek termín aritmetického postupu, s akýkoľvekčíslo? Veľmi jednoduché! Páči sa ti to:

a n

Tak to je n-tý člen aritmetického postupu. Písmeno n skryje všetky čísla členov naraz: 1, 2, 3, 4 atď.

A čo nám takýto rekord dáva? Len si pomyslite, namiesto čísla napísali písmeno...

Tento zápis nám poskytuje výkonný nástroj na prácu s aritmetickou progresiou. Použitie notácie a n, môžeme rýchlo nájsť akýkoľvekčlenom akýkoľvek aritmetická progresia. A vyriešiť kopu ďalších problémov s progresiou. Ďalej uvidíte sami.

Vo vzorci pre n-tý člen aritmetickej postupnosti:

a n = a1 + (n-1)d

1- prvý člen aritmetického postupu;

n- členské číslo.

Vzorec spája kľúčové parametre akejkoľvek progresie: a n; a 1; d A n. Všetky problémy s progresiou sa točia okolo týchto parametrov.

Vzorec n-tého členu možno použiť aj na napísanie konkrétneho postupu. Problém môže napríklad povedať, že postup je určený podmienkou:

a n = 5 + (n-1) 2.

Takýto problém môže byť slepou uličkou... Neexistuje ani séria, ani rozdiel... Ale pri porovnaní podmienky so vzorcom je ľahké pochopiť, že v tomto postupe ai = 5 a d = 2.

A môže to byť ešte horšie!) Ak vezmeme rovnakú podmienku: a n = 5 + (n-1) 2,Áno, otvoriť zátvorky a priniesť podobné? Dostávame nový vzorec:

a n = 3 + 2n.

Toto Len nie všeobecne, ale pre konkrétny postup. Tu sa skrýva úskalia. Niektorí ľudia si myslia, že prvý termín je trojka. Aj keď v skutočnosti je prvý termín päť... O niečo nižšie budeme pracovať s takto upraveným vzorcom.

V problémoch s progresiou existuje iná notácia - a n+1. Toto je, ako ste uhádli, „n plus prvý“ člen postupu. Jeho význam je jednoduchý a neškodný.) Ide o člen postupnosti, ktorého číslo je o jednu väčšie ako číslo n. Napríklad, ak v nejakom probléme vezmeme a n teda piate volebné obdobie a n+1 bude šiestym členom. Atď.

Najčastejšie označenie a n+1 nachádza vo vzorcoch opakovania. Nebojte sa tohto strašidelného slova!) Toto je len spôsob vyjadrenia člena aritmetického postupu cez predchádzajúci. Povedzme, že máme aritmetickú progresiu v tejto forme pomocou opakujúceho sa vzorca:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Štvrtý - cez tretí, piaty - cez štvrtý atď. Ako môžeme okamžite počítať, povedzme, dvadsiaty termín? 20? Ale neexistuje!) Kým nezistíme 19. termín, nemôžeme počítať 20. Toto je základný rozdiel medzi opakujúcim sa vzorcom a vzorcom n-tého členu. Opakované funguje iba cez predchádzajúcečlen a vzorec n-tého členu je cez najprv a umožňuje hneď nájsť ľubovoľného člena podľa jeho čísla. Bez počítania celého radu čísel v poradí.

V aritmetickej progresii je ľahké zmeniť opakujúci sa vzorec na pravidelný. Spočítajte pár po sebe idúcich výrazov, vypočítajte rozdiel d, v prípade potreby nájdite prvý termín 1, napíšte vzorec v jeho obvyklom tvare a pracujte s ním. S takýmito úlohami sa v Štátnej akadémii vied často stretávame.

Aplikácia vzorca pre n-tý člen aritmetickej postupnosti.

Najprv sa pozrime na priamu aplikáciu vzorca. Na konci predchádzajúcej lekcie sa vyskytol problém:

Je daná aritmetická progresia (a n). Nájdite 121, ak a 1 = 3 a d = 1/6.

Tento problém možno vyriešiť bez akýchkoľvek vzorcov, jednoducho na základe významu aritmetickej progresie. Pridajte a pridajte... Hodinu alebo dve.)

A podľa vzorca bude riešenie trvať menej ako minútu. Môžete si to načasovať.) Poďme sa rozhodnúť.

Podmienky poskytujú všetky údaje na použitie vzorca: ai = 3, d = 1/6. Zostáva zistiť, čo sa rovná n.Žiaden problém! Musíme nájsť 121. Takže píšeme:

Venujte prosím pozornosť! Namiesto indexu n objavilo sa konkrétne číslo: 121. Čo je celkom logické.) Zaujíma nás člen aritmetickej postupnosti číslo sto dvadsať jeden. Toto bude naše n. Toto je zmysel n= 121 dosadíme ďalej do vzorca, v zátvorkách. Všetky čísla dosadíme do vzorca a vypočítame:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

To je všetko. Rovnako rýchlo by sa dal nájsť päťsto desiaty výraz a tisíc a tretí ľubovoľný. Dali sme namiesto toho n požadované číslo v indexe písmena " a" a v zátvorkách a počítame.

Dovoľte mi pripomenúť vám bod: tento vzorec vám umožňuje nájsť akýkoľvekčlen aritmetického postupu PODĽA JEHO ČÍSLA" n" .

Vyriešme problém prefíkanejším spôsobom. Poďme sa stretnúť s nasledujúcim problémom:

Nájdite prvý člen aritmetickej postupnosti (a n), ak a 17 = -2; d = -0,5.

Ak máte nejaké ťažkosti, poviem vám prvý krok. Napíšte vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti!Áno áno. Zapíšte si rukami priamo do zošita:

a n = a1 + (n-1)d

A teraz, keď sa pozrieme na písmená vzorca, chápeme, aké údaje máme a čo nám chýba? Dostupné d=-0,5, je tu sedemnásty člen... Je to tak? Ak si myslíš, že je to tak, potom problém nevyriešiš, áno...

Stále máme číslo n! V stave a 17 = -2 skryté dva parametre. Ide o hodnotu sedemnásteho členu (-2), ako aj o jeho číslo (17). Tie. n=17. Táto „maličkosť“ často prekĺzne cez hlavu a bez nej (bez „maličkosti“, nie hlavy!) sa problém vyriešiť nedá. Aj keď... a tiež bez hlavy.)

Teraz môžeme jednoducho hlúpo nahradiť naše údaje do vzorca:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Ó áno, 17 vieme, že je to -2. Dobre, nahradíme:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

To je v podstate všetko. Zostáva vyjadriť prvý člen aritmetického postupu zo vzorca a vypočítať ho. Odpoveď bude: a 1 = 6.

Táto technika - zapísanie vzorca a jednoduché nahradenie známych údajov - veľmi pomáha jednoduché úlohy. Samozrejme, musíte byť schopní vyjadriť premennú zo vzorca, ale čo robiť!? Bez tejto zručnosti sa matematika vôbec nedá študovať...

Ďalšia populárna hádanka:

Nájdite rozdiel aritmetickej progresie (a n), ak a 1 = 2; a 15 = 12.

Čo robíme? Budete prekvapení, píšeme vzorec!)

a n = a1 + (n-1)d

Zamyslime sa nad tým, čo vieme: ai = 2; a15=12; a (obzvlášť vyzdvihnem!) n=15. Neváhajte to nahradiť do vzorca:

12 = 2 + (15-1) d

Robíme aritmetiku.)

12 = 2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Toto je správna odpoveď.

Takže úlohy pre a n, a 1 A d rozhodol. Zostáva len naučiť sa nájsť číslo:

Číslo 99 je členom aritmetickej postupnosti (a n), kde a 1 = 12; d=3. Nájdite číslo tohto člena.

Nám známe množstvá dosadíme do vzorca n-tého člena:

a n = 12 + (n-1) 3

Na prvý pohľad sú tu dve neznáme veličiny: a n a n. ale a n- toto je nejaký člen progresie s číslom n...A tohto člena progresu poznáme! Je to 99. Nepoznáme jej číslo. n, Takže toto číslo je to, čo potrebujete nájsť. Člen progresie 99 dosadíme do vzorca:

99 = 12 + (n-1) 3

Vyjadrujeme zo vzorca n, my si myslíme. Dostávame odpoveď: n=30.

A teraz problém na rovnakú tému, ale kreatívnejší):

Určite, či číslo 117 je členom aritmetickej postupnosti (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Opäť napíšeme vzorec. Čo, nie sú tam žiadne parametre? Hm... Prečo máme oči?) Vidíme prvý termín progresie? Vidíme. Toto je -3,6. Pokojne môžete napísať: a1 = -3,6. Rozdiel d Poznáte to zo seriálu? Je to jednoduché, ak viete, aký je rozdiel v aritmetickej progresii:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Takže sme urobili najjednoduchšiu vec. Zostáva sa vysporiadať s neznámym číslom n a nezrozumiteľné číslo 117. V predchádzajúcom probléme sa aspoň vedelo, že bol daný termín postupu. Ale tu ani nevieme... Čo robiť!? No, čo robiť, čo robiť... Zapnúť Tvorivé schopnosti!)

my predpokladaťže 117 je predsa členom našej progresie. S neznámym číslom n. A rovnako ako v predchádzajúcom probléme, skúsme nájsť toto číslo. Tie. napíšeme vzorec (áno, áno!)) a dosadíme naše čísla:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Opäť vyjadrujeme zo vzorcan, spočítame a dostaneme:

Ojoj! Číslo vyšlo zlomkové! Sto jeden a pol. A zlomkové čísla v postupnosti nemôže byť. Aký záver môžeme vyvodiť? Áno! Číslo 117 nie ječlenom našej progresie. Je to niekde medzi sto prvým a sto druhým termínom. Ak by počet dopadol prirodzene, t.j. je kladné celé číslo, potom by číslo bolo členom progresie s nájdeným číslom. A v našom prípade bude odpoveď na problém: Nie

Úloha založená na skutočnej verzii GIA:

Aritmetická progresia je daná podmienkou:

a n = -4 + 6,8 n

Nájdite prvý a desiaty termín postupu.

Tu je postup nastavený nezvyčajným spôsobom. Nejaký vzorec... Stáva sa to.) Avšak tento vzorec (ako som napísal vyššie) - aj vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti! Tiež povoľuje nájdite ľubovoľného člena postupu podľa jeho čísla.

Hľadáme prvého člena. Ten, kto si myslí. že prvý člen je mínus štyri sa fatálne mýli!) Pretože vzorec v úlohe je upravený. Prvý člen aritmetického postupu v ňom skryté. Nevadí, teraz to nájdeme.)

Rovnako ako v predchádzajúcich problémoch, nahrádzame n=1 do tohto vzorca:

a1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Tu! Prvý termín je 2,8, nie -4!

Rovnakým spôsobom hľadáme desiaty výraz:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

To je všetko.

A teraz, pre tých, ktorí dočítali tieto riadky, sľúbený bonus.)

Predpokladajme, že v ťažkej bojovej situácii štátnej skúšky alebo jednotnej štátnej skúšky ste zabudli na užitočný vzorec pre n-tý termín aritmetického postupu. Niečo si pamätám, ale akosi neisto... Alebo n tam, resp n+1, príp n-1... Ako byť!?

Pokojne! Tento vzorec sa dá ľahko odvodiť. Nie je to veľmi striktné, ale určite to stačí na dôveru a správne rozhodnutie!) Aby sme urobili záver, stačí si zapamätať základný význam aritmetického postupu a mať pár minút času. Stačí si nakresliť obrázok. Pre prehľadnosť.

Nakreslite číselnú os a označte na nej prvú. druhý, tretí atď. členov. A všimneme si rozdiel d medzi členmi. Páči sa ti to:

Pozeráme sa na obrázok a premýšľame: čo znamená druhý výraz? Po druhé jeden d:

a 2 = a 1 + 1 d

Aký je tretí termín? Po tretie termín sa rovná prvému termínu plus dva d.

a 3 = a 1 + 2 d

Máš to? Nie nadarmo niektoré slová zvýrazním tučným písmom. Dobre, ešte jeden krok).

Aký je štvrtý termín? Po štvrté termín sa rovná prvému termínu plus tri d.

a 4 = a 1 + 3 d

Je načase si uvedomiť, že počet medzier, t.j. d, Vždy o jeden menej ako je počet člena, ktorého hľadáte n. Teda do počtu n, počet medzier bude n-1. Vzorec teda bude (bez variácií!):

a n = a1 + (n-1)d

Vo všeobecnosti sú vizuálne obrázky veľmi užitočné pri riešení mnohých problémov v matematike. Nezanedbávajte obrázky. Ale ak je ťažké nakresliť obrázok, potom ... iba vzorec!) Okrem toho vzorec n-tého termínu vám umožňuje pripojiť k riešeniu celý silný arzenál matematiky - rovnice, nerovnice, systémy atď. Do rovnice sa nedá vložiť obrázok...

Úlohy na samostatné riešenie.

Zohriať sa:

1. V aritmetickej postupnosti (a n) a 2 = 3; a5 = 5,1. Nájdite 3.

Pomôcka: podľa obrázku sa dá problém vyriešiť za 20 sekúnd... Podľa vzorca to vychádza ťažšie. Ale na zvládnutie vzorca je to užitočnejšie.) V časti 555 je tento problém vyriešený pomocou obrázka aj vzorca. Cítiť rozdiel!)

A toto už nie je zahrievanie.)

2. V aritmetickej progresii (a n) a 85 = 19,1; a 236 = 49, 3. Nájdite 3 .

Čo, nechceš nakresliť obrázok?) Samozrejme! Lepšie podľa vzorca, áno...

3. Aritmetický postup je daný podmienkou:ai = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Nájdite stodvadsiaty piaty termín tohto postupu.

V tejto úlohe je postup špecifikovaný opakujúcim sa spôsobom. Ale rátať do stodvadsiateho piateho termínu... Nie každý je toho schopný.) Ale vzorec n-tého termínu je v moci každého!

4. Daná aritmetická progresia (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Nájdite číslo najmenšieho kladného člena progresie.

5. Podľa podmienok úlohy 4 nájdite súčet najmenších kladných a najväčších záporných členov postupu.

6. Súčin piateho a dvanásteho členu rastúcej aritmetickej progresie sa rovná -2,5 a súčet tretieho a jedenásteho členu sa rovná nule. Nájdite 14.

Nie je to najjednoduchšia úloha, áno...) Metóda „končekov prstov“ tu nebude fungovať. Budete musieť písať vzorce a riešiť rovnice.

Odpovede (v neporiadku):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Stalo? Je to pekné!)

Nevychádza všetko? Stáva sa. Mimochodom, v poslednej úlohe je jeden jemný bod. Pri čítaní problému bude potrebná opatrnosť. A logika.

Riešenie všetkých týchto problémov je podrobne popísané v časti 555. A prvok fantázie pre štvrtý a jemný bod pre šiesty a všeobecné prístupy k riešeniu akýchkoľvek problémov zahŕňajúcich vzorec n-tého člena - všetko je opísané. Odporúčam.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Napríklad postupnosť \(2\); \(5\); \(8\); \(jedenásť\); \(14\)... je aritmetický postup, pretože každý nasledujúci prvok sa líši od predchádzajúceho o tri (od predchádzajúceho sa dá získať pridaním troch):

V tejto postupnosti je rozdiel \(d\) kladný (rovná sa \(3\)), a preto je každý ďalší člen väčší ako predchádzajúci. Takéto progresie sa nazývajú zvyšujúci sa.

\(d\) však môže byť aj záporné číslo. Napríklad, v aritmetickej postupnosti \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... rozdiel postupu \(d\) sa rovná mínus šiestim.

A v tomto prípade bude každý ďalší prvok menší ako predchádzajúci. Tieto progresie sa nazývajú klesajúci.

Zápis aritmetického postupu

Postup je označený malým latinským písmenom.

Čísla, ktoré tvoria postupnosť, sa nazývajú členov(alebo prvky).

Označujú sa rovnakým písmenom ako aritmetický postup, ale s číselným indexom rovným číslu prvku v poradí.

Napríklad aritmetická postupnosť \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) pozostáva z prvkov \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) a tak ďalej.

Inými slovami, pre postup \(a_n = \vľavo\(2; 5; 8; 11; 14…\vpravo\)\)

Riešenie úloh aritmetického postupu

Vyššie uvedené informácie už v zásade postačujú na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému s aritmetickou progresiou (vrátane tých, ktoré ponúka OGE).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je určený podmienkami \(b_1=7; d=4\). Nájsť \(b_5\).
Riešenie:

odpoveď: \(b_5=23\)

Príklad (OGE). Sú uvedené prvé tri členy aritmetickej progresie: \(62; 49; 36…\) Nájdite hodnotu prvého záporného člena tejto progresie.
Riešenie:

	Sú nám dané prvé prvky postupnosti a vieme, že ide o aritmetický postup. To znamená, že každý prvok sa líši od svojho suseda rovnakým číslom. Poďme zistiť, ktorý z nich, odčítaním predchádzajúceho od nasledujúceho prvku: \(d=49-62=-13\).
	Teraz môžeme obnoviť náš postup k (prvému negatívnemu) prvku, ktorý potrebujeme.
	Pripravený. Môžete napísať odpoveď.

odpoveď: \(-3\)

Príklad (OGE). Zadaných niekoľko po sebe nasledujúcich prvkov aritmetického postupu: \(…5; x; 10; 12,5...\) Nájdite hodnotu prvku označeného písmenom \(x\).
Riešenie:

	Aby sme našli \(x\), potrebujeme vedieť, ako veľmi sa líši nasledujúci prvok od predchádzajúceho, inými slovami, progresívny rozdiel. Nájdeme to z dvoch známych susedných prvkov: \(d=12,5-10=2,5\).
	A teraz môžeme ľahko nájsť to, čo hľadáme: \(x=5+2,5=7,5\).
	Pripravený. Môžete napísať odpoveď.

odpoveď: \(7,5\).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je definovaný nasledujúcimi podmienkami: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Nájdite súčet prvých šiestich členov tejto postupnosti.
Riešenie:

	Musíme nájsť súčet prvých šiestich členov postupu. Ale ich význam nepoznáme, je nám daný len prvý prvok. Preto najprv vypočítame hodnoty jednu po druhej pomocou toho, čo je nám dané: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) A po vypočítaní šiestich prvkov, ktoré potrebujeme, nájdeme ich súčet.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Požadované množstvo bolo nájdené.

odpoveď: \(S_6=9\).

Príklad (OGE). V aritmetickom postupe \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Nájdite rozdiel tohto postupu.
Riešenie:

odpoveď: \(d=7\).

Dôležité vzorce pre aritmetický postup

Ako vidíte, veľa problémov s aritmetickou progresiou možno vyriešiť jednoducho pochopením hlavnej veci – že aritmetická progresia je reťazec čísel a každý nasledujúci prvok v tomto reťazci sa získa pridaním rovnakého čísla k predchádzajúcemu ( rozdiel v progresii).

Niekedy však existujú situácie, keď je rozhodovanie „hlavou“ veľmi nepohodlné. Predstavte si napríklad, že v úplne prvom príklade potrebujeme nájsť nie piaty prvok \(b_5\), ale tristoosemdesiaty šiesty \(b_(386)\). Mali by sme pridať štyri \(385\) krát? Alebo si predstavte, že v predposlednom príklade potrebujete nájsť súčet prvých sedemdesiatich troch prvkov. Budeš unavený z počítania...

Preto v takýchto prípadoch neriešia veci „hlavou“, ale používajú špeciálne vzorce odvodené pre aritmetický postup. A hlavné sú vzorec pre n-tý člen postupnosti a vzorec pre súčet \(n\) prvých členov.

Vzorec \(n\)-teho členu: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kde \(a_1\) je prvý člen postupnosti;
\(n\) – číslo požadovaného prvku;
\(a_n\) – člen postupnosti s číslom \(n\).

Tento vzorec nám umožňuje rýchlo nájsť aj tristotý alebo miliónty prvok, pričom poznáme iba prvý a rozdiel postupu.

Príklad. Aritmetický postup je určený podmienkami: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Nájdite \(b_(246)\).
Riešenie:

odpoveď: \(b_(246)=1850\).

Vzorec pre súčet prvých n členov: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kde

\(a_n\) – posledný sčítaný termín;

Príklad (OGE). Aritmetický postup je určený podmienkami \(a_n=3,4n-0,6\). Nájdite súčet prvých \(25\) členov tejto postupnosti.
Riešenie:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		Na výpočet súčtu prvých dvadsiatich piatich členov potrebujeme poznať hodnotu prvého a dvadsiateho piateho členu. Naša postupnosť je daná vzorcom n-tého člena v závislosti od jeho čísla (podrobnejšie pozri). Vypočítajme prvý prvok dosadením jedného za \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Teraz nájdime dvadsiaty piaty člen dosadením dvadsaťpäť namiesto \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		No a teraz si už ľahko vypočítame požadovanú sumu.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odpoveď je pripravená.

odpoveď: \(S_(25)=1090\).

Pre súčet \(n\) prvých výrazov môžete získať ďalší vzorec: stačí \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) namiesto \(a_n\) dosaďte vzorec \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dostaneme:

Vzorec pre súčet prvých n členov: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kde

\(S_n\) – požadovaný súčet \(n\) prvých prvkov;
\(a_1\) – prvý sčítaný člen;
\(d\) – progresívny rozdiel;
\(n\) – celkový počet prvkov.

Príklad. Nájdite súčet prvých \(33\)-ex členov aritmetickej postupnosti: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Riešenie:

odpoveď: \(S_(33)=-231\).

Zložitejšie problémy aritmetického postupu

Teraz máte všetky informácie, ktoré potrebujete na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému s aritmetickým postupom. Dokončite tému zvážením problémov, v ktorých musíte nielen aplikovať vzorce, ale aj trochu premýšľať (v matematike to môže byť užitočné ☺)

Príklad (OGE). Nájdite súčet všetkých záporných členov progresie: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Riešenie:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Úloha je veľmi podobná predchádzajúcej. Začneme riešiť to isté: najprv nájdeme \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Teraz by som chcel dosadiť \(d\) do vzorca pre súčet... a tu sa objavuje malá nuansa - nevieme \(n\). Inými slovami, nevieme, koľko výrazov bude potrebné pridať. Ako to zistiť? Zamyslime sa. Pridávanie prvkov zastavíme, keď dosiahneme prvý pozitívny prvok. To znamená, že musíte zistiť číslo tohto prvku. Ako? Zapíšme si vzorec na výpočet ľubovoľného prvku aritmetickej postupnosti: \(a_n=a_1+(n-1)d\) pre náš prípad.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Potrebujeme, aby \(a_n\) bolo väčšie ako nula. Poďme zistiť, čo \(n\) sa to stane.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obe strany nerovnosti vydelíme \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Prenášame mínus jedna, pričom nezabúdame na zmenu značiek
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Poďme počítať...
\(n>65 333…\)		...a ukáže sa, že prvý kladný prvok bude mať číslo \(66\). Podľa toho má posledný záporný znak \(n=65\). Pre každý prípad si to skontrolujme.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Musíme teda pridať prvých \(65\) prvkov.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odpoveď je pripravená.

odpoveď: \(S_(65)=-630,5\).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je určený podmienkami: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Nájdite súčet od \(26\)-teho do \(42\) prvku vrátane.
Riešenie:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	V tomto probléme musíte tiež nájsť súčet prvkov, ale nie od prvého, ale od \(26\)-ého. Pre takýto prípad nemáme vzorec. Ako sa rozhodnúť? Je to jednoduché – ak chcete získať súčet od \(26\)-teho do \(42\)-ého, musíte najskôr nájsť súčet od \(1\)-teho do \(42\)-ého a potom odpočítať z toho súčet od prvej po \(25\)-tu (pozri obrázok).
	Pre náš postup \(a_1=-33\) a rozdiel \(d=4\) (napokon je to štvorka, ktorú pridáme k predchádzajúcemu prvku, aby sme našli ďalší). Keď to vieme, nájdeme súčet prvých \(42\)-y prvkov.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Teraz súčet prvých \(25\) prvkov.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	A nakoniec vypočítame odpoveď.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

odpoveď: \(S=1683\).

Pre aritmetickú progresiu existuje niekoľko ďalších vzorcov, ktoré sme v tomto článku nezohľadnili kvôli ich nízkej praktickej užitočnosti. Môžete ich však ľahko nájsť.

Téma "aritmetický postup" sa študuje v kurze všeobecnej algebry na školách v 9. ročníku. Táto téma je dôležitá pre ďalšie hĺbkové štúdium matematiky číselných radov. V tomto článku sa zoznámime s aritmetickým postupom, jeho rozdielom, ako aj typickými problémami, s ktorými sa môžu školáci stretnúť.

Pojem algebraickej progresie

Postupnosť čísel je postupnosť čísel, v ktorej každý nasledujúci prvok možno získať z predchádzajúceho, ak použijeme nejaký matematický zákon. Existujú dva jednoduché typy progresie: geometrická a aritmetická, ktorá sa tiež nazýva algebraická. Pozrime sa na to podrobnejšie.

Predstavme si nejaké racionálne číslo, označme ho symbolom a 1, kde index označuje jeho poradové číslo v uvažovanom rade. Pridajme k 1 nejaké ďalšie číslo a nazvime ho d. Potom môže byť druhý prvok série vyjadrený takto: a 2 = a 1 + d. Teraz znova pridajte d, dostaneme: a 3 = a 2 + d. Pokračovaním v tejto matematickej operácii môžete získať celý rad čísel, ktoré sa budú nazývať aritmetická progresia.

Ako je možné pochopiť z vyššie uvedeného, ​​na nájdenie n-tého prvku tejto postupnosti musíte použiť vzorec: a n = a 1 + (n-1)*d. Vskutku, dosadením n=1 do výrazu dostaneme a 1 = a 1, ak n = 2, potom nasleduje vzorec: a 2 = a 1 + 1*d atď.

Ak je napríklad rozdiel aritmetickej postupnosti 5 a a 1 = 1, znamená to, že číselný rad daného typu má tvar: 1, 6, 11, 16, 21, ... vidíte, každý z jej členov je o 5 viac ako predchádzajúci .

Diferenčné vzorce aritmetického postupu

Z vyššie uvedenej definície uvažovaného radu čísel vyplýva, že na jeho definovanie potrebujete poznať dve čísla: a 1 a d. To druhé sa nazýva rozdiel tohto postupu. Jedinečne určuje správanie celej série. Ak je totiž d kladné, potom sa číselný rad bude neustále zväčšovať, naopak, ak je d záporné, čísla v rade budú narastať len v absolútnej hodnote, zatiaľ čo ich absolútna hodnota bude s rastúcim číslom n klesať.

Aký je rozdiel v aritmetickej progresii? Zoberme si dva základné vzorce, ktoré sa používajú na výpočet tejto hodnoty:

1. d = a n+1 -a n, tento vzorec vyplýva priamo z definície uvažovaného radu čísel.
2. d = (-a 1 +a n)/(n-1), tento výraz získame, ak d vyjadríme zo vzorca uvedeného v predchádzajúcom odseku článku. Všimnite si, že tento výraz sa stane nedefinovaným (0/0), ak n=1. Je to spôsobené tým, že na určenie rozdielu je potrebné poznať aspoň 2 prvky série.

Tieto dva základné vzorce sa používajú na riešenie akýchkoľvek problémov zahŕňajúcich nájdenie rozdielu v progresii. Existuje však ďalší vzorec, o ktorom musíte tiež vedieť.

Súčet prvých prvkov

Vzorec, pomocou ktorého môžete podľa historických dôkazov určiť súčet ľubovoľného počtu členov algebraickej progresie, prvýkrát získal „princ“ matematiky v 18. storočí Carl Gauss. Nemecký vedec, ešte ako chlapec na prvom stupni dedinskej školy, si všimol, že na sčítanie prirodzených čísel v rade od 1 do 100 je potrebné najprv sčítať prvý prvok a posledný (výsledná hodnota bude sa rovná súčtu predposledného a druhého, predposledného a tretieho prvku atď.), a potom by sa toto číslo malo vynásobiť počtom týchto súm, to znamená 50.

Vzorec, ktorý odráža uvedený výsledok v konkrétnom príklade, možno zovšeobecniť na ľubovoľný prípad. Bude to vyzerať takto: S n = n/2*(a n +a 1). Všimnite si, že na nájdenie uvedenej hodnoty nie je potrebná znalosť rozdielu d, ak sú známe dva členy progresie (a n a a 1).

Príklad č.1. Určte rozdiel, keď poznáte dva členy radu a1 a an

V článku vám ukážeme, ako aplikovať vyššie uvedené vzorce. Uveďme jednoduchý príklad: rozdiel aritmetickej progresie nie je známy, je potrebné určiť, čomu sa bude rovnať, ak a 13 = -5,6 a a 1 = -12,1.

Keďže poznáme hodnoty dvoch prvkov číselnej postupnosti a jeden z nich je prvé číslo, môžeme použiť vzorec č. 2 na určenie rozdielu d. Máme: d =(-1*(-12,1)+(-5,6))/12 = 0,54167. Vo výraze sme použili hodnotu n=13, keďže výraz s týmto konkrétnym poradovým číslom je známy.

Výsledný rozdiel naznačuje, že progresia sa zvyšuje, napriek tomu, že prvky uvedené v podmienkach úlohy majú zápornú hodnotu. Je vidieť, že a 13 >a 1, hoci |a 13 |<|a 1 |.

Príklad č.2. Pozitívne podmienky postupu v príklade č. 1

Využime výsledok získaný v predchádzajúcom príklade na vyriešenie nového problému. Je to formulované nasledovne: od akého poradového čísla začnú prvky progresie v príklade č. 1 nadobúdať kladné hodnoty?

Ako bolo ukázané, progresia, v ktorej a 1 = -12,1 ad = 0,54167 rastie, preto od určitého čísla začnú čísla nadobúdať len kladné hodnoty. Na určenie tohto čísla n je potrebné vyriešiť jednoduchú nerovnicu, ktorá sa matematicky zapíše takto: a n >0 alebo pomocou príslušného vzorca nerovnosť prepíšeme: a 1 + (n-1)*d>0. Je potrebné nájsť neznáme n, vyjadrime to: n>-1*a 1 /d + 1. Teraz zostáva dosadiť známe hodnoty rozdielu a prvý člen postupnosti. Dostaneme: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 alebo n>23,338. Keďže n môže nadobúdať iba celočíselné hodnoty, z výslednej nerovnosti vyplýva, že všetky členy v rade, ktoré majú číslo väčšie ako 23, budú kladné.

Skontrolujme odpoveď, ktorú sme dostali, pomocou vyššie uvedeného vzorca na výpočet 23. a 24. prvku tejto aritmetickej progresie. Máme: a 23 = -12,1 + 22*0,54167 = -0,18326 (záporné číslo); a24 = -12,1 + 23*0,54167 = 0,3584 (kladná hodnota). Získaný výsledok je teda správny: od n=24 budú všetky členy číselného radu väčšie ako nula.

Príklad č.3. Koľko polená sa zmestí?

Uveďme jeden zaujímavý problém: pri ťažbe dreva sa rozhodlo, že sa napílené kmene naskladajú na seba, ako je znázornené na obrázku nižšie. Koľko polená sa dá takto naskladať, keď viete, že sa zmestí celkovo 10 riadkov?

Na tomto spôsobe skladania polená si možno všimnúť jednu zaujímavosť: každý nasledujúci riadok bude obsahovať o jeden poleno menej ako predchádzajúci, čiže prebieha algebraická postupnosť, ktorej rozdiel je d = 1. Za predpokladu, že počet logov v každom riadku je členom tejto postupnosti, a tiež s prihliadnutím na to, že a 1 = 1 (na samom vrchu sa zmestí iba jeden log), nájdeme číslo a 10. Máme: a 10 = 1 + 1*(10-1) = 10. To znamená, že v 10. rade, ktorý leží na zemi, bude 10 polienok.

Celkový súčet tejto „pyramídovej“ štruktúry možno získať pomocou Gaussovho vzorca. Dostaneme: S 10 = 10/2*(10+1) = 55 log.

Koncept číselnej postupnosti znamená, že každé prirodzené číslo zodpovedá nejakej skutočnej hodnote. Takáto séria čísel môže byť ľubovoľná alebo môže mať určité vlastnosti - progresiu. V druhom prípade možno každý nasledujúci prvok (člen) sekvencie vypočítať pomocou predchádzajúceho.

Aritmetický postup je postupnosť číselných hodnôt, v ktorých sa susedné členy navzájom líšia rovnakým číslom (všetky prvky série, počnúc 2., majú podobnú vlastnosť). Toto číslo - rozdiel medzi predchádzajúcimi a nasledujúcimi členmi - je konštantné a nazýva sa progresívny rozdiel.

Rozdiel v postupe: definícia

Uvažujme postupnosť pozostávajúcu z j hodnôt A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j patrí do množiny prirodzených čísel N. Aritmetika progresia je podľa svojej definície postupnosť, v ktorej a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Hodnota d je požadovaný rozdiel tejto progresie.

d = a(j) – a(j-1).

Zlatý klinec:

• Rastúca progresia, v tomto prípade d > 0. Príklad: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Klesajúca progresia, potom d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresia rozdielov a jej arbitrárne prvky

Ak sú známe 2 ľubovoľné členy progresie (i-tá, k-tá), potom rozdiel pre danú postupnosť možno určiť na základe vzťahu:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, čo znamená d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Rozdiel progresie a jej prvý termín

Tento výraz pomôže určiť neznámu hodnotu iba v prípadoch, keď je známe číslo prvku sekvencie.

Postupový rozdiel a jeho súčet

Súčet progresie je súčtom jej členov. Na výpočet celkovej hodnoty jeho prvých j prvkov použite príslušný vzorec:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ale keďže a(j) = a(1) + d(j – 1), potom S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Aritmetická postupnosť je séria čísel, v ktorých je každé číslo väčšie (alebo menšie) ako predchádzajúce o rovnakú hodnotu.

Táto téma sa často zdá zložitá a nezrozumiteľná. Indexy písmen, n-tý člen progresie, rozdiel progresie - to všetko je nejako mätúce, áno... Poďme prísť na význam aritmetickej progresie a všetko bude hneď lepšie.)

Pojem aritmetická progresia.

Aritmetický postup je veľmi jednoduchý a jasný koncept. Máte nejaké pochybnosti? Márne.) Presvedčte sa sami.

Napíšem nedokončenú sériu čísel:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Môžete predĺžiť túto sériu? Aké čísla budú nasledovať po päťke? Každý... ehm..., skrátka každý si uvedomí, že na rad prídu čísla 6, 7, 8, 9 atď.

Skomplikujme si úlohu. Dám vám nedokončenú sériu čísel:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Budete môcť zachytiť vzor, ​​predĺžiť sériu a pomenovať siedmyčíslo riadku?

Ak ste si uvedomili, že toto číslo je 20, gratulujeme! Nielenže ste cítili kľúčové body aritmetického postupu, ale úspešne ich využíval aj v podnikaní! Ak ste na to neprišli, čítajte ďalej.

Teraz preložme kľúčové body zo vnemov do matematiky.)

Prvý kľúčový bod.

Aritmetická postupnosť sa zaoberá radom čísel. Toto je spočiatku mätúce. Zvykli sme si na riešenie rovníc, kreslenie grafov a to všetko... Ale tu rad rozširujeme, nájdeme číslo radu...

Je to v poriadku. Ide len o to, že pokroky sú prvým zoznámením sa s novým odvetvím matematiky. Sekcia sa nazýva "Série" a pracuje špecificky so sériami čísel a výrazov. Zvyknúť si na to.)

Druhý kľúčový bod.

V aritmetickej postupnosti sa akékoľvek číslo líši od predchádzajúceho o rovnakú sumu.

V prvom príklade je tento rozdiel jeden. Nech si vezmete akékoľvek číslo, je o jedno viac ako to predchádzajúce. V druhej - tri. Akékoľvek číslo je o tri viac ako predchádzajúce. V skutočnosti je to tento moment, ktorý nám dáva príležitosť pochopiť vzorec a vypočítať nasledujúce čísla.

Tretí kľúčový bod.

Tento moment nie je nápadný, áno... Ale je veľmi, veľmi dôležitý. Tu je: Každé číslo postupu je na svojom mieste. Je tu prvé číslo, je siedme, je štyridsiate piate atď. Ak ich náhodne zmiešate, vzor zmizne. Zmizne aj aritmetický postup. To, čo zostalo, je len séria čísel.

To je celá podstata.

V novej téme sa samozrejme objavujú nové pojmy a označenia. Treba ich poznať. Inak nepochopíte úlohu. Napríklad, budete sa musieť rozhodnúť niečo ako:

Napíšte prvých šesť členov aritmetickej postupnosti (a n), ak a 2 = 5, d = -2,5.

Inšpirujúce?) Listy, nejaké indexy... A tá úloha, mimochodom, nemôže byť jednoduchšia. Musíte len pochopiť význam pojmov a označení. Teraz túto záležitosť zvládneme a vrátime sa k úlohe.

Termíny a označenia.

Aritmetický postup je rad čísel, v ktorých je každé číslo iné ako predchádzajúce o rovnakú sumu.

Toto množstvo sa nazýva . Pozrime sa na tento koncept podrobnejšie.

Rozdiel aritmetického postupu.

Rozdiel aritmetického postupu je čiastka, o ktorú akékoľvek progresívne číslo viac predchádzajúci.

Jeden dôležitý bod. Venujte prosím pozornosť slovu „viac“. Matematicky to znamená, že každé číslo postupu je pridaním rozdiel aritmetického postupu oproti predchádzajúcemu číslu.

Na výpočet, povedzme druhýčísla série, musíte najprvčíslo pridať práve tento rozdiel aritmetického postupu. Pre výpočet piaty- rozdiel je nutný pridať Komu štvrtý, dobre, atď.

Rozdiel aritmetického postupu Možno pozitívny, potom sa každé číslo v sérii ukáže ako skutočné viac ako predchádzajúca. Táto progresia sa nazýva zvyšujúci sa. Napríklad:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Tu sa získa každé číslo pridaním kladné číslo, +5 k predchádzajúcemu.

Rozdiel môže byť negatívny, potom bude každé číslo v rade menej ako predchádzajúca. Tento postup sa nazýva (neuveríte!) klesajúci.

Napríklad:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Tu sa tiež získa každé číslo pridaním na predchádzajúce, ale už záporné číslo, -5.

Mimochodom, pri práci s progresiou je veľmi užitočné okamžite určiť jej povahu - či sa zvyšuje alebo znižuje. Veľmi to pomáha orientovať sa v rozhodnutí, rozpoznať svoje chyby a opraviť ich skôr, než bude príliš neskoro.

Rozdiel aritmetického postupu zvyčajne sa označuje písmenom d.

Ako nájsť d? Veľmi jednoduché. Je potrebné odpočítať od ľubovoľného čísla v rade predchádzajúcečíslo. Odčítať. Mimochodom, výsledok odčítania sa nazýva "rozdiel".)

Definujme napr. d na zvýšenie aritmetického postupu:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Zoberieme ľubovoľné číslo v rade, ktoré chceme, napríklad 11. Odčítame od neho predchádzajúce číslo tie. 8:

Toto je správna odpoveď. Pre tento aritmetický postup je rozdiel tri.

Môžete si to vziať akékoľvek postupové číslo, pretože pre konkrétny postup d-vždy to isté. Aspoň niekde na začiatku radu, aspoň v strede, aspoň kdekoľvek. Nemôžete vziať len prvé číslo. Jednoducho preto, že úplne prvé číslo žiadna predchádzajúca.)

Mimochodom, vedieť to d=3, nájdenie siedmeho čísla tohto postupu je veľmi jednoduché. K piatemu číslu pripočítajme 3 – dostaneme šieste, bude to 17. K šiestemu číslu pripočítame tri, dostaneme siedme číslo – dvadsať.

Poďme definovať d pre zostupný aritmetický postup:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Pripomínam, že bez ohľadu na znamenia určiť d z akéhokoľvek čísla odobrať predchádzajúce. Zvoľte ľubovoľné číslo postupu, napríklad -7. Jeho predchádzajúce číslo je -2. potom:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Rozdiel v aritmetickej progresii môže byť ľubovoľné číslo: celé číslo, zlomok, iracionálne, ľubovoľné číslo.

Iné termíny a označenia.

Každé číslo v rade sa volá člen aritmetického postupu.

Každý člen progresu má svoje číslo.Čísla sú prísne v poriadku, bez akýchkoľvek trikov. Prvý, druhý, tretí, štvrtý atď. Napríklad v postupnosti 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvý termín, päť je druhý, jedenásť je štvrtý, dobre, rozumiete...) Jasne pochopte - samotné čísla môže byť úplne čokoľvek, celé, zlomkové, negatívne, čokoľvek, ale číslovanie čísel- prísne v poriadku!

Ako napísať progresiu vo všeobecnej forme? Žiaden problém! Každé číslo v rade je napísané ako písmeno. Na označenie aritmetického postupu sa zvyčajne používa písmeno a. Číslo člena je označené indexom vpravo dole. Termíny píšeme oddelené čiarkami (alebo bodkočiarkami) takto:

1, 2, 3, 4, 5, .....

1- toto je prvé číslo, a 3- tretí atď. Nič vymyslené. Táto séria sa dá stručne napísať takto: (a n).

Dejú sa pokroky konečný a nekonečný.

Ultimate postup má obmedzený počet členov. Päť, tridsaťosem, čokoľvek. Ale je to konečné číslo.

Nekonečné progresia - má nekonečný počet členov, ako by ste mohli hádať.)

Môžete napísať konečný postup cez sériu, ako je táto, všetky výrazy a bodka na konci:

1, 2, 3, 4, 5.

Alebo takto, ak je veľa členov:

1, 2, ... 14, 15.

V krátkom zázname budete musieť dodatočne uviesť počet členov. Napríklad (pre dvadsať členov) takto:

(a n), n = 20

Nekonečný postup možno rozpoznať podľa elipsy na konci riadku, ako v príkladoch v tejto lekcii.

Teraz môžete riešiť úlohy. Úlohy sú jednoduché, čisto na pochopenie významu aritmetického postupu.

Príklady úloh na aritmetický postup.

Pozrime sa podrobne na vyššie uvedenú úlohu:

1. Napíšte prvých šesť členov aritmetickej postupnosti (a n), ak a 2 = 5, d = -2,5.

Úlohu preložíme do zrozumiteľného jazyka. Je daný nekonečný aritmetický postup. Druhé číslo tohto postupu je známe: a 2 = 5. Rozdiel v postupe je známy: d = -2,5. Musíme nájsť prvý, tretí, štvrtý, piaty a šiesty termín tohto postupu.

Pre prehľadnosť zapíšem sériu podľa podmienok problému. Prvých šesť termínov, kde druhý termín je päť:

1, 5, 3, 4, 5, 6, ....

a 3 = a 2 + d

Nahradiť vo výraze a 2 = 5 A d = -2,5. Nezabudnite na mínus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Tretí termín sa ukázal byť menší ako druhý. Všetko je logické. Ak je číslo väčšie ako predchádzajúce negatívne hodnota, čo znamená, že samotné číslo bude menšie ako predchádzajúce. Progresia sa znižuje. Dobre, zoberme to do úvahy.) Počítame štvrtý termín našej série:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Vypočítali sa teda termíny od tretieho do šiesteho. Výsledkom sú nasledujúce série:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Zostáva nájsť prvý termín 1 podľa známeho druhého. Toto je krok opačným smerom, doľava.) Takže rozdiel v aritmetickej progresii d by sa nemalo pridávať a 2, A zobrať:

1 = a 2 - d

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

To je všetko. Odpoveď na zadanie:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Na okraj by som rád poznamenal, že sme túto úlohu vyriešili opakujúci spôsobom. Toto hrozné slovo znamená iba hľadanie člena progresie podľa predchádzajúceho (susedného) čísla. Na ďalšie spôsoby práce s progresiou sa pozrieme nižšie.

Z tejto jednoduchej úlohy možno vyvodiť jeden dôležitý záver.

Pamätajte:

Ak poznáme aspoň jeden člen a rozdiel aritmetickej progresie, môžeme nájsť ľubovoľný člen tejto progresie.

Pamätáš si? Tento jednoduchý záver vám umožňuje vyriešiť väčšinu problémov školského kurzu na túto tému. Všetky úlohy sa točia okolo tri hlavné parametre: člen aritmetického postupu, rozdiel postupu, číslo člena postupu. Všetky.

Samozrejme, všetka predchádzajúca algebra nie je zrušená.) Nerovnice, rovnice a ďalšie veci sú spojené s postupnosťou. ale podľa samotnej progresie- všetko sa točí okolo troch parametrov.

Ako príklad sa pozrime na niektoré obľúbené úlohy na túto tému.

2. Napíšte konečnú aritmetickú postupnosť ako rad, ak n = 5, d = 0,4 a a 1 = 3,6.

Všetko je tu jednoduché. Všetko už bolo dané. Musíte si zapamätať, ako sa počítajú členy aritmetického postupu, spočítajte ich a zapíšte si ich. V podmienkach úlohy je vhodné nevynechať slová: „konečná“ a „ n=5". Aby ste to nepočítali, kým nebudete úplne modrý v tvári.) V tomto postupe je len 5 (päť) členov:

a2 = a1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a3 = a2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Zostáva napísať odpoveď:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Ďalšia úloha:

3. Určte, či číslo 7 bude členom aritmetickej postupnosti (a n), ak a1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Kto vie? Ako niečo určiť?

Ako-ako... Zapíšte si postup vo forme série a uvidíte, či tam bude sedmička alebo nie! Počítame:

a2 = a1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a3 = a2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Teraz je jasne vidieť, že máme len sedem prekĺzol medzi 6,5 a 7,7! Sedmička nespadla do nášho číselného radu, a preto sedmička nebude členom daného postupu.

odpoveď: nie.

A tu je problém založený na skutočnej verzii GIA:

4. Je napísaných niekoľko po sebe nasledujúcich členov aritmetického postupu:

...; 15; X; 9; 6; ...

Tu je séria napísaná bez konca a začiatku. Žiadne čísla členov, žiadny rozdiel d. Je to v poriadku. Na vyriešenie problému stačí pochopiť význam aritmetickej progresie. Pozrime sa a uvidíme, čo je možné vedieť z tejto série? Aké sú tri hlavné parametre?

Čísla členov? Nie je tu ani jedno číslo.

Ale sú tam tri čísla a - pozor! - slovo "konzistentný" v stave. To znamená, že čísla sú prísne v poriadku, bez medzier. Sú v tomto rade dvaja? susedný známe čísla? Áno, mám! Toto je 9 a 6. Preto môžeme vypočítať rozdiel aritmetickej progresie! Odpočítajte od šiestich predchádzajúcečíslo, t.j. deväť:

Zostávajú len maličkosti. Aké číslo bude predchádzajúce pre X? Pätnásť. To znamená, že X možno ľahko nájsť jednoduchým sčítaním. Pridajte rozdiel aritmetickej progresie na 15:

To je všetko. odpoveď: x=12

Nasledujúce problémy riešime sami. Poznámka: tieto problémy nie sú založené na vzorcoch. Čisto preto, aby sme pochopili význam aritmetického postupu.) Len si zapíšeme sériu čísel a písmen, pozrieme sa a prídeme na to.

5. Nájdite prvý kladný člen aritmetickej progresie, ak a 5 = -3; d = 1,1.

6. Je známe, že číslo 5,5 je členom aritmetickej postupnosti (a n), kde a 1 = 1,6; d = 1,3. Určte číslo n tohto člena.

7. Je známe, že v aritmetickej postupnosti a 2 = 4; a 5 = 15,1. Nájdite 3.

8. Je napísaných niekoľko po sebe nasledujúcich členov aritmetického postupu:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Nájdite člen progresie označený písmenom x.

9. Vlak sa začal pohybovať zo stanice a rovnomerne zvýšil rýchlosť o 30 metrov za minútu. Aká bude rýchlosť vlaku po piatich minútach? Odpoveď uveďte v km/hod.

10. Je známe, že v aritmetickej postupnosti a 2 = 5; a6 = -5. Nájdite 1.

Odpovede (v neporiadku): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Všetko vyšlo? Úžasný! Môžete ovládať aritmetický postup na viac vysoký stupeň, v nasledujúcich lekciách.

Nevyšlo všetko? Žiaden problém. V špeciálnej sekcii 555 sú všetky tieto problémy vytriedené kúsok po kúsku.) A samozrejme je opísaná jednoduchá praktická technika, ktorá okamžite jasne, zreteľne, na prvý pohľad zvýrazní riešenie takýchto úloh!

Mimochodom, v skladačke vlaku sú dva problémy, o ktoré ľudia často zakopnú. Jedna je čisto z hľadiska postupu a druhá je všeobecná pre akékoľvek problémy v matematike a fyzike. Toto je preklad dimenzií z jednej do druhej. Ukazuje, ako by sa tieto problémy mali riešiť.

V tejto lekcii sme sa pozreli na základný význam aritmetickej progresie a jej hlavné parametre. To stačí na vyriešenie takmer všetkých problémov na túto tému. Pridať d k číslam napíš sériu, všetko sa vyrieši.

Riešenie prstov funguje dobre pre veľmi krátke kúsky v rade, ako v príkladoch v tejto lekcii. Ak je séria dlhšia, výpočty sú komplikovanejšie. Napríklad, ak v probléme 9 v otázke nahradíme "päť minút" na "tridsaťpäť minút" problém sa výrazne zhorší.)

A existujú aj úlohy, ktoré sú v podstate jednoduché, ale z hľadiska výpočtov absurdné, napríklad:

Je daná aritmetická progresia (a n). Nájdite 121, ak a 1 = 3 a d = 1/6.

Tak čo, pridáme 1/6 veľa, veľa krát?! Môžete sa zabiť!?

Môžete.) Ak nepoznáte jednoduchý vzorec, podľa ktorého takéto úlohy vyriešite za minútu. Tento vzorec bude v ďalšej lekcii. A tam je tento problém vyriešený. O minútu.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.