Dva lúče vychádzajúce z nej zvierajú uhol. Jeho hodnota môže byť definovaná v radiánoch aj stupňoch. Teraz, v určitej vzdialenosti od stredu, mentálne nakreslíme kruh. Miera uhla, vyjadrená v radiánoch, je potom matematickým pomerom dĺžky oblúka L, oddeleného dvoma lúčmi, k hodnote vzdialenosti medzi stredovým bodom a priamkou kružnice (R), teda:
Ak si teraz predstavíme opísaný systém ako materiál, tak naň môžeme aplikovať nielen pojem uhol a polomer, ale aj dostredivé zrýchlenie, rotáciu atď. Väčšina z nich popisuje správanie bodu umiestneného na rotujúcej kružnici. Mimochodom, pevný disk môže byť reprezentovaný aj súborom kruhov, ktorých rozdiel je len vo vzdialenosti od stredu.
Jednou z charakteristík takéhoto rotujúceho systému je jeho obežná doba. Označuje časovú hodnotu, počas ktorej sa bod na ľubovoľnej kružnici vráti do svojej pôvodnej polohy alebo, čo je tiež pravda, sa otočí o 360 stupňov. Pri konštantnej rýchlosti otáčania je splnená korešpondencia T = (2*3,1416) / Ug (ďalej Ug je uhol).
Rýchlosť otáčania udáva počet úplných otáčok vykonaných za 1 sekundu. Pri konštantnej rýchlosti dostaneme v = 1 / T.
Závisí od času a takzvaného uhla natočenia. To znamená, že ak vezmeme za počiatok ľubovoľný bod A na kružnici, potom keď sa systém otáča, tento bod sa posunie do A1 v čase t, pričom vytvorí uhol medzi polomermi A-stred a A1-stred. Keď poznáte čas a uhol, môžete vypočítať uhlovú rýchlosť.
A keďže existuje kruh, pohyb a rýchlosť, znamená to, že je prítomné aj dostredivé zrýchlenie. Predstavuje jednu zo zložiek, ktoré popisujú pohyb v prípade krivočiareho pohybu. Pojmy "normálne" a "centripetálne zrýchlenie" sú totožné. Rozdiel je v tom, že druhý sa používa na opis pohybu v kruhu, keď je vektor zrýchlenia nasmerovaný do stredu systému. Preto je vždy potrebné presne vedieť, ako sa teleso (bod) pohybuje a jeho dostredivé zrýchlenie. Jeho definícia je nasledovná: je to rýchlosť zmeny rýchlosti, ktorej vektor smeruje kolmo na smer vektora a mení jeho smer. Encyklopédia uvádza, že Huygens túto problematiku študoval. Vzorec pre dostredivé zrýchlenie, ktorý navrhol, vyzerá takto:
Acs = (v*v) / r,
kde r je polomer zakrivenia prejdenej dráhy; v - rýchlosť pohybu.
Vzorec používaný na výpočet dostredivého zrýchlenia stále vyvoláva búrlivé diskusie medzi nadšencami. Nedávno zaznela napríklad zaujímavá teória.
Huygens, berúc do úvahy systém, vychádzal zo skutočnosti, že teleso sa pohybuje po kružnici s polomerom R rýchlosťou v meranou v počiatočnom bode A. Pretože vektor zotrvačnosti smeruje pozdĺž, dostaneme trajektóriu vo forme priamky. AB. Dostredivá sila však drží teleso na kružnici v bode C. Ak označíme stred ako O a nakreslíme čiary AB, BO (súčet BS a CO), ako aj AO, dostaneme trojuholník. Podľa Pythagorovho zákona:
BS=(a*(t*t))/2, kde a je zrýchlenie; t - čas (a*t*t je rýchlosť).
Ak teraz použijeme pytagorovský vzorec, potom:
R2+t2+v2 = R2+(a*t2*2*R) / 2+ (a*t2/2)2, kde R je polomer a alfanumerický pravopis bez znamienka je stupeň.
Huygens pripustil, že keďže čas t je malý, možno ho vo výpočtoch ignorovať. Po premene predchádzajúceho vzorca dospela k známemu Acs = (v*v) / r.
Keďže sa však čas berie na druhú, vzniká postupnosť: čím väčšie t, tým väčšia chyba. Napríklad pre 0,9 nie je započítaná takmer celková hodnota 20 %.
Koncept dostredivého zrýchlenia je dôležitý pre moderná veda, ale na ukončenie tohto problému je, samozrejme, priskoro.
Umožňuje nám existovať na tejto planéte. Ako môžeme pochopiť, čo je dostredivé zrýchlenie? Definícia tejto fyzikálnej veličiny je uvedená nižšie.
Pozorovania
Najjednoduchší príklad zrýchlenia telesa pohybujúceho sa v kruhu možno pozorovať otáčaním kameňa na lane. Potiahnete lano a lano ťahá kameň smerom do stredu. V každom okamihu lano udeľuje kameňu určité množstvo pohybu a zakaždým v novom smere. Pohyb lana si môžete predstaviť ako sériu slabých trhnutí. Trhnutie - a lano zmení smer, ďalšie trhnutie - ďalšia zmena atď. v kruhu. Ak náhle lano uvoľníte, šklbanie prestane a s ním aj zmena smeru rýchlosti. Kameň sa bude pohybovať v smere dotyčnice ku kruhu. Vynára sa otázka: "Akým zrýchlením sa bude telo v tomto okamihu pohybovať?"
Vzorec pre dostredivé zrýchlenie
V prvom rade stojí za zmienku, že pohyb tela v kruhu je zložitý. Kameň sa súčasne podieľa na dvoch typoch pohybu: pod vplyvom sily sa pohybuje smerom k stredu otáčania a súčasne pozdĺž dotyčnice ku kruhu, pričom sa od tohto stredu pohybuje. Podľa druhého Newtonovho zákona sila, ktorá drží kameň na lane, smeruje k stredu otáčania pozdĺž lana. Tam bude smerovať aj vektor zrýchlenia.
Predpokladajme, že po určitom čase t sa náš kameň, pohybujúci sa rovnomerne rýchlosťou V, dostane z bodu A do bodu B. Predpokladajme, že v okamihu, keď teleso prešlo bodom B, prestala naň pôsobiť dostredivá sila. Potom by sa za určitý čas dostal do bodu K. Leží na dotyčnici. Ak by v tom istom čase na teleso pôsobili len dostredivé sily, potom by sa za čas t, pohybujúce sa s rovnakým zrýchlením, dostalo do bodu O, ktorý sa nachádza na priamke predstavujúcej priemer kružnice. Oba segmenty sú vektory a riadia sa pravidlom pridávania vektorov. Ako výsledok sčítania týchto dvoch pohybov za časový úsek t dostaneme výsledný pohyb po oblúku AB.
Ak sa časový interval t považuje za zanedbateľne malý, potom sa oblúk AB bude len málo líšiť od tetivy AB. Je teda možné nahradiť pohyb po oblúku pohybom po tetive. V tomto prípade bude pohyb kameňa po tetive dodržiavať zákony priamočiareho pohybu, to znamená, že prejdená vzdialenosť AB sa bude rovnať súčinu rýchlosti kameňa a času jeho pohybu. AB = V x t.
Označme požadované dostredivé zrýchlenie písmenom a. Potom je možné vypočítať dráhu prejdenú iba pod vplyvom dostredivého zrýchlenia pomocou vzorca pre rovnomerne zrýchlený pohyb:
Vzdialenosť AB sa rovná súčinu rýchlosti a času, teda AB = V x t,
AO - vypočítané skôr pomocou vzorca rovnomerne zrýchleného pohybu pre pohyb v priamom smere: AO = pri 2/2.
Nahradením týchto údajov do vzorca a jeho transformáciou dostaneme jednoduchý a elegantný vzorec pre dostredivé zrýchlenie:
Slovami sa to dá vyjadriť takto: dostredivé zrýchlenie telesa pohybujúceho sa v kruhu sa rovná kvocientu lineárnej rýchlosti na druhú s polomerom kružnice, po ktorej sa teleso otáča. Dostredivá sila v tomto prípade bude vyzerať ako na obrázku nižšie.
Uhlová rýchlosť
Uhlová rýchlosť sa rovná lineárnej rýchlosti delenej polomerom kružnice. Platí aj opačné tvrdenie: V = ωR, kde ω je uhlová rýchlosť
Ak túto hodnotu dosadíme do vzorca, získame výraz pre odstredivé zrýchlenie pre uhlovú rýchlosť. Bude to vyzerať takto:
Zrýchlenie bez zmeny rýchlosti
A predsa, prečo sa teleso so zrýchlením nasmerovaným do stredu nepohybuje rýchlejšie a nepribližuje sa k stredu otáčania? Odpoveď spočíva v samotnej formulácii zrýchlenia. Fakty ukazujú, že kruhový pohyb je skutočný, ale jeho udržanie si vyžaduje zrýchlenie smerujúce do stredu. Pod vplyvom sily spôsobenej týmto zrýchlením dochádza k zmene množstva pohybu, v dôsledku čoho je trajektória pohybu neustále zakrivená, pričom sa neustále mení smer vektora rýchlosti, ale bez zmeny jeho absolútnej hodnoty. . Pohybujúc sa v kruhu, náš dlho trpiaci kameň sa ponáhľa dovnútra, inak by pokračoval v tangenciálnom pohybe. Každý okamih, idúc tangenciálne, je kameň priťahovaný do stredu, ale nespadá do neho. Ďalším príkladom dostredivého zrýchlenia by bol vodný lyžiar, ktorý robí malé kruhy na vode. Postava športovca je naklonená; zdá sa, že padá, pokračuje v pohybe a nakláňa sa dopredu.
Môžeme teda dospieť k záveru, že zrýchlenie nezvyšuje rýchlosť tela, pretože vektory rýchlosti a zrýchlenia sú navzájom kolmé. Pridané k vektoru rýchlosti, zrýchlenie iba mení smer pohybu a udržuje telo na obežnej dráhe.
Prekročenie bezpečnostného faktora
V predchádzajúcom experimente sme mali do činenia s dokonalým lanom, ktoré sa nepretrhlo. Povedzme však, že naše lano je najbežnejšie a môžete dokonca vypočítať silu, po ktorej sa jednoducho zlomí. Na výpočet tejto sily stačí porovnať silu lana so záťažou, ktorú zažíva pri otáčaní kameňa. Otáčaním kameňa vyššou rýchlosťou mu udelíte väčšie množstvo pohybu, a teda aj väčšie zrýchlenie.
Pri priemere jutového lana cca 20 mm je jeho pevnosť v ťahu cca 26 kN. Je pozoruhodné, že dĺžka lana sa nikde neobjavuje. Otočením 1 kg bremena na lane s polomerom 1 m môžeme vypočítať, že lineárna rýchlosť potrebná na jeho pretrhnutie je 26 x 10 3 = 1 kg x V 2 / 1 m. Teda rýchlosť, ktorá je nebezpečná pre prekročenie sa bude rovnať √ 26 x 10 3 = 161 m/s.
Gravitácia
Pri zvažovaní experimentu sme zanedbali vplyv gravitácie, keďže pri tak vysokých rýchlostiach je jej vplyv zanedbateľný. Môžete si ale všimnúť, že pri odvíjaní dlhého lana telo opisuje zložitejšiu trajektóriu a postupne sa približuje k zemi.
Nebeské telesá
Ak prenesieme zákony kruhového pohybu do priestoru a aplikujeme ich na pohyb nebeských telies, môžeme znovu objaviť niekoľko dávno známych vzorcov. Napríklad sila, ktorou je teleso priťahované k Zemi, je známa podľa vzorca:
V našom prípade je faktor g rovnaké dostredivé zrýchlenie, ktoré bolo odvodené z predchádzajúceho vzorca. Iba v tomto prípade bude úlohu kameňa hrať nebeské teleso priťahované k Zemi a úlohu lana bude hrať gravitačná sila. Faktor g bude vyjadrený polomerom našej planéty a rýchlosťou jej rotácie.
Výsledky
Podstatou dostredivého zrýchlenia je tvrdá a nevďačná práca udržať pohybujúce sa teleso na obežnej dráhe. Pozorujeme paradoxný prípad, keď pri konštantnom zrýchlení teleso nemení hodnotu svojej rýchlosti. Pre netrénovanú myseľ je takéto tvrdenie dosť paradoxné. Napriek tomu, ako pri výpočte pohybu elektrónu okolo jadra, tak aj pri výpočte rýchlosti rotácie hviezdy okolo čiernej diery, hrá dostredivé zrýchlenie dôležitú úlohu.
Pretože lineárna rýchlosť rovnomerne mení smer, kruhový pohyb nemožno nazvať rovnomerným, je rovnomerne zrýchlený.
Uhlová rýchlosť
Vyberme si bod na kruhu 1 . Postavme polomer. Za jednotku času sa bod presunie do bodu 2 . V tomto prípade polomer opisuje uhol. Uhlová rýchlosť sa číselne rovná uhlu rotácie polomeru za jednotku času.
Obdobie a frekvencia
Obdobie rotácie T- to je čas, počas ktorého telo urobí jednu otáčku.
Frekvencia otáčania je počet otáčok za sekundu.
Frekvencia a obdobie sú vzájomne prepojené vzťahom
Vzťah s uhlovou rýchlosťou
Lineárna rýchlosť
Každý bod na kruhu sa pohybuje určitou rýchlosťou. Táto rýchlosť sa nazýva lineárna. Smer vektora lineárnej rýchlosti sa vždy zhoduje s dotyčnicou ku kružnici. Napríklad iskry spod brúsky sa pohybujú a opakujú smer okamžitej rýchlosti.
Zoberme si bod na kruhu, ktorý robí jednu otáčku, čas strávený je obdobie T. Dráha, ktorou bod prechádza, je obvod.
Dostredivé zrýchlenie
Pri pohybe po kružnici je vektor zrýchlenia vždy kolmý na vektor rýchlosti a smeruje k stredu kružnice.
Pomocou predchádzajúcich vzorcov môžeme odvodiť nasledujúce vzťahy
Body ležiace na rovnakej priamke vychádzajúcej zo stredu kruhu (napríklad by to mohli byť body, ktoré ležia na lúčoch kolesa) budú mať rovnaké uhlové rýchlosti, periódu a frekvenciu. To znamená, že sa budú otáčať rovnakým spôsobom, ale s rôznymi lineárnymi rýchlosťami. Čím ďalej je bod od stredu, tým rýchlejšie sa bude pohybovať.
Zákon sčítania rýchlostí platí aj pre rotačný pohyb. Ak pohyb telesa alebo vzťažnej sústavy nie je rovnomerný, potom zákon platí pre okamžité rýchlosti. Napríklad rýchlosť osoby kráčajúcej po okraji otáčajúceho sa kolotoča sa rovná vektorovému súčtu lineárnej rýchlosti otáčania okraja kolotoča a rýchlosti osoby.
Zem je zapojená do dvoch hlavných rotačné pohyby: denná (okolo svojej osi) a orbitálna (okolo Slnka). Doba rotácie Zeme okolo Slnka je 1 rok alebo 365 dní. Zem sa otáča okolo svojej osi zo západu na východ, doba tejto rotácie je 1 deň alebo 24 hodín. Zemepisná šírka je uhol medzi rovinou rovníka a smerom od stredu Zeme k bodu na jej povrchu.
Podľa druhého Newtonovho zákona je príčinou akéhokoľvek zrýchlenia sila. Ak pohybujúce sa teleso zažíva dostredivé zrýchlenie, potom povaha síl, ktoré toto zrýchlenie spôsobujú, môže byť odlišná. Napríklad, ak sa telo pohybuje v kruhu na lane, ktoré je k nemu priviazané, potom pôsobiaca sila je elastická sila.
Ak sa teleso ležiace na kotúči otáča s kotúčom okolo svojej osi, tak takáto sila je trecia sila. Ak sila zastaví svoje pôsobenie, telo sa bude ďalej pohybovať v priamom smere
Uvažujme pohyb bodu po kružnici z bodu A do bodu B. Lineárna rýchlosť sa rovná v A A v B resp. Zrýchlenie je zmena rýchlosti za jednotku času. Poďme nájsť rozdiel medzi vektormi.
Nechajte hmotný bod rovnomerne sa pohybovať po kruhu. Potom sa modul jeho rýchlosti nemení ($v=const$). To však neznamená, že zrýchlenie hmotného bodu je nulové. Vektor rýchlosti smeruje tangenciálne k trajektórii bodu. Pri pohybe po kruhu rýchlosť neustále mení svoj smer. To znamená, že bod sa pohybuje so zrýchlením.
Uvažujme body A a B patriace do trajektórie predmetného telesa. Vektor zmeny rýchlosti pre tieto body sa rovná:
\[\Delta \overline(v)=(\overline(v))"-\overline(v)\left(1\right).\]
Ak je čas pohybu medzi bodmi A a B krátky, potom sa oblúk AB len málo líši od tetivy AB. Trojuholníky AOB a BMN sú podobné, preto:
\[\frac(\Delta v)(v)=\frac(\Delta l)(r)=\alpha \left(2\right).\]
Priemerný akceleračný modul nájdeme ako:
\[\left\langle a\right\rangle =\frac(\Delta v)(\Delta t)=\frac(v\Delta l)(r\Delta t)\left(3\vpravo).\]
Veľkosť okamžitého zrýchlenia možno získať prechodom na limit pri $\Delta t\to 0\ $ z $\left\langle a\right\rangle $:
Priemerný vektor zrýchlenia vytvára uhol rovný vektoru rýchlosti:
\[\beta =\frac(\pi +\alpha )(2)\vľavo(5\vpravo).\]
Pri $\Delta t\to 0\ $ uhol $\alpha \to 0.$ Ukazuje sa, že vektor okamžitého zrýchlenia zviera uhol $\frac(\pi )(2)$ s vektorom rýchlosti.
Zistili sme, že hmotný bod pohybujúci sa rovnomerne po kružnici má zrýchlenie nasmerované do stredu trajektórie pohybu (kolmé na vektor rýchlosti), jeho veľkosť sa rovná druhej mocnine rýchlosti delenej polomerom kružnice. Toto zrýchlenie sa nazýva dostredivé alebo normálne, zvyčajne sa označuje ako $(\overline(a))_n$.
kde $\omega $ je uhlová rýchlosť pohybu hmotného bodu ($v=\omega \cdot r$).
Definícia dostredivého zrýchlenia
Definícia
takže, dostredivé zrýchlenie(vo všeobecnom prípade) je zložka celkového zrýchlenia hmotného bodu, ktorá charakterizuje, ako rýchlo sa mení smer vektora rýchlosti pri krivočiarom pohybe. Ďalšou zložkou celkového zrýchlenia je tangenciálne zrýchlenie, ktoré je zodpovedné za zmenu rýchlosti.
Dostredivé zrýchlenie sa rovná:
\[(\overline(a))_n=\frac(v^2)(r^2)\overline(r\ )\left(7\right),\]
kde $e_r=\frac(\overline(r\))(r)$ je jednotkový vektor nasmerovaný od stredu zakrivenia trajektórie k uvažovanému bodu.
Prvýkrát správne vzorce pre dostredivé zrýchlenie získal H. Huygens.
Jednotkou medzinárodného systému jednotiek dostredivého zrýchlenia je meter delený druhou druhou:
\[\left=\frac(m)(s^2).\]
Príklady problémov s riešeniami
Príklad 1
Cvičenie. Disk sa otáča okolo pevnej osi. Zákon o zmene uhla natočenia polomeru disku stanovuje rovnicu: $\varphi =5t^2+7\ (rad)$. Aké je dostredivé zrýchlenie bodu A disku, ktorý sa nachádza vo vzdialenosti $r=$0,5 m od osi rotácie do konca štvrtej sekundy od začiatku rotácie?
Riešenie. Urobme si kresbu.
Modul dostredivého zrýchlenia sa rovná: \
Uhlovú rýchlosť otáčania bodu nájdeme ako:
\[\omega =\frac(d\varphi )(dt)\ (1.2)\]
rovnica pre zmenu uhla natočenia v závislosti od času:
\[\omega =\frac(d\vľavo(5t^2+7\vpravo))(dt)=10t\ \vľavo(1,3\vpravo).\]
Na konci štvrtej sekundy je uhlová rýchlosť:
\[\omega \left(t=4\right)=10\cdot 4=40\ \left(\frac(rad)(s)\right).\]
Pomocou výrazu (1.1) zistíme hodnotu dostredivého zrýchlenia:
Odpoveď.$a_n=800\frac(m)(s^2)$.
Príklad 2
Cvičenie. Pohyb hmotného bodu je špecifikovaný pomocou rovnice: $\overline(r)\left(t\right)=0,5\ (\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline( j) (\sin (\omega t)\ )\ ))$, kde $\omega =2\ \frac(rad)(s)$. Aká je veľkosť normálneho zrýchlenia bodu?
Riešenie. Ako základ pre riešenie problému vezmeme definíciu dostredivého zrýchlenia v tvare:
Z podmienok úlohy je zrejmé, že trajektóriou bodu je kružnica. V parametrickom tvare je rovnica: $\overline(r)\left(t\right)=0,5\ (\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\ sin (\omega t)\ )\ ))$, kde $\omega =2\ \frac(rad)(s)$ môže byť reprezentované ako:
\[\left\( \begin(pole)(c) x=0.5(\cos \left(2t\right);;\ ) \\ y=0.5(\sin \left(2t\right) .\ ) \ koniec(pole) \vpravo.\]
Polomer trajektórie možno nájsť ako:
Zložky rýchlosti sú rovnaké:
\ \
Zoberme si modul rýchlosti:
Dosaďte hodnotu rýchlosti a polomer kruhu do výrazu (2.2), máme:
Odpoveď.$a_n=2\frac(m)(s^2)$.
Dostredivé zrýchlenie- zložka zrýchlenia bodu, charakterizujúca rýchlosť zmeny v smere vektora rýchlosti pre dráhu so zakrivením (druhá zložka, tangenciálne zrýchlenie, charakterizuje zmenu rýchlostného modulu). Smeruje k stredu zakrivenia trajektórie, odkiaľ tento výraz pochádza. Hodnota sa rovná druhej mocnine rýchlosti delenej polomerom zakrivenia. Pojem "dostredivé zrýchlenie" je ekvivalentom pojmu " normálne zrýchlenie" Tá zložka súčtu síl, ktorá spôsobuje toto zrýchlenie, sa nazýva dostredivá sila.
Väčšina jednoduchý príklad dostredivé zrýchlenie je vektor zrýchlenia počas rovnomerného kruhového pohybu (nasmerovaného do stredu kruhu).
Prudké zrýchlenie v projekcii na rovinu kolmú na os sa javí ako dostredivá.
Encyklopedický YouTube
-
1 / 5
A n = v 2 R (\displaystyle a_(n)=(\frac (v^(2))(R))\ ) a n = ω 2 R , (\displaystyle a_(n)=\omega ^(2)R\,)
Kde a n (\displaystyle a_(n)\ )- normálne (dostredivé) zrýchlenie, v (\displaystyle v\ )- (okamžitá) lineárna rýchlosť pohybu pozdĺž trajektórie, ω (\displaystyle \omega \ )- (okamžitá) uhlová rýchlosť tohto pohybu vzhľadom na stred zakrivenia trajektórie, R (\displaystyle R\ )- polomer zakrivenia trajektórie v danom bode. (Spojenie medzi prvým a druhým vzorcom je zrejmé, dané v = ω R (\displaystyle v=\omega R\ )).
Vyššie uvedené výrazy zahŕňajú absolútne hodnoty. Môžu byť jednoducho zapísané vo vektorovej forme násobením e R (\displaystyle \mathbf (e)_(R))- jednotkový vektor od stredu zakrivenia trajektórie do jej daného bodu:
a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(R)= (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R) ) a n = co2R. (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=\omega ^(2)\mathbf (R) .)Tieto vzorce sú rovnako použiteľné pre prípad pohybu s konštantnou rýchlosťou (v absolútnej hodnote) a pre ľubovoľný prípad. V druhom však treba mať na pamäti, že dostredivé zrýchlenie nie je vektor plného zrýchlenia, ale iba jeho zložka kolmá na trajektóriu (alebo, čo je to isté, kolmá na vektor okamžitej rýchlosti); vektor plného zrýchlenia potom zahŕňa aj tangenciálnu zložku ( tangenciálne zrýchlenie) a τ = d v / d t (\displaystyle a_(\tau )=dv/dt\ ) v smere zhodnom s dotyčnicou trajektórie (alebo, čo je to isté, s okamžitou rýchlosťou).
Motivácia a záver
Skutočnosť, že rozklad vektora zrýchlenia na zložky - jednu pozdĺž dotyčnice k trajektórii vektora (tangenciálne zrýchlenie) a druhú k nej kolmú (normálne zrýchlenie) - môže byť pohodlná a užitočná, je sama o sebe celkom zrejmá. Pri pohybe konštantnou modulovou rýchlosťou sa tangenciálna zložka rovná nule, to znamená, že v tomto dôležitom konkrétnom prípade zostáva iba normálna zložka. Okrem toho, ako je možné vidieť nižšie, každá z týchto zložiek má jasne definované vlastnosti a štruktúru a normálne zrýchlenie obsahuje dosť dôležitý a netriviálny geometrický obsah v štruktúre svojho vzorca. Nehovoriac o dôležitom špeciálnom prípade kruhového pohybu.
Formálny záver
Rozklad zrýchlenia na tangenciálnu a normálovú zložku (druhá z nich je dostredivé alebo normálové zrýchlenie) možno nájsť časovou diferenciáciou vektora rýchlosti, ktorý je uvedený vo forme v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau )) cez jednotkový tangentový vektor e τ (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau )):
a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t \ e τ\f d t e τ\f fra 2 R thbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau)))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( n)\ ,)Tu používame označenie pre jednotkový vektor kolmý na trajektóriu a l (\displaystyle l\ )- pre aktuálnu dĺžku trajektórie ( l = l (t) (\displaystyle l=l(t)\ )); posledný prechod tiež používa zrejmé
d l / d t = v (\displaystyle dl/dt=v\ )a z geometrických úvah,
d e τ d l = e n R . (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau))(dl))=(\frac (\mathbf (e) _(n))(R)).) v 2 R e n (\displaystyle (\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ )Normálne (dostredivé) zrýchlenie. Okrem toho jeho význam, význam objektov v ňom zahrnutých, ako aj dôkaz toho, že je skutočne ortogonálny k vektoru dotyčnice (to znamená, že e n (\displaystyle \mathbf (e)_(n)\ )- skutočne normálny vektor) - bude vyplývať z geometrických úvah (avšak skutočnosť, že derivácia akéhokoľvek vektora konštantnej dĺžky vzhľadom na čas je kolmá na tento vektor samotný, je pomerne jednoduchý fakt; v tomto prípade toto tvrdenie aplikujeme na d e τ d t (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt)))
Poznámky
Je ľahké si všimnúť, že absolútna hodnota tangenciálneho zrýchlenia závisí iba od zrýchlenia zeme, zhoduje sa s jeho absolútnou hodnotou, na rozdiel od absolútnej hodnoty normálneho zrýchlenia, ktoré nezávisí od zrýchlenia zeme, ale závisí od pozemná rýchlosť.
Tu prezentované metódy alebo ich variácie sa môžu použiť na zavedenie pojmov, ako je zakrivenie krivky a polomer zakrivenia krivky (keďže v prípade, že krivkou je kruh, R (\displaystyle R) sa zhoduje s polomerom takého kruhu; tiež nie je príliš ťažké ukázať, že kruh je v rovine e τ , e n (\displaystyle \mathbf (e) _(\tau ),\,e_(n)) so stredom v smere e n (\displaystyle e_(n)\ ) z daného bodu na diaľku R (\displaystyle R) od nej - bude sa zhodovať s danou krivkou - trajektóriou - až do druhého rádu malosti vo vzdialenosti k danému bodu).
Príbeh
Prvý, kto získal správne vzorce pre dostredivé zrýchlenie (alebo odstredivú silu), bol zjavne Huygens. Takmer od tejto doby sa zohľadnenie dostredivého zrýchlenia stalo súčasťou bežnej techniky riešenia mechanických problémov atď.
O niečo neskôr zohrali tieto vzorce významnú úlohu pri objavení zákona univerzálnej gravitácie (vzorec dostredivého zrýchlenia bol použitý na získanie zákona o závislosti gravitačnej sily od vzdialenosti od zdroja gravitácie na základe tretieho Keplerovho zákona odvodené z pozorovaní).
V 19. storočí sa úvaha o dostredivom zrýchlení stala úplne rutinou pre čistú vedu aj pre inžinierske aplikácie.
