akarndarjah -th dan sifat asasnya
Ijazah nombor sebenar A dengan penunjuk semula jadi P ada kerja P faktor, setiap satunya adalah sama A:
a1 = a; a2 =a·a; A n =
Sebagai contoh,
25 = 2 2 2 2 2 = 32,
5 kali
(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.
4 kali
Nombor sebenar A dipanggil asas ijazah, dan nombor asli n ialah eksponen.
Sifat asas kuasa dengan eksponen semula jadi mengikut terus daripada takrifan: kuasa nombor positif dengan sebarang P e N positif; Kuasa nombor negatif dengan eksponen genap adalah positif, dengan eksponen ganjil ia negatif.
Sebagai contoh,
(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.
Tindakan dengan darjah dilakukan seperti berikut: peraturan.
1. Untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, cukup untuk menambah eksponen dan meninggalkan asas yang sama, iaitu
Contohnya, p5∙ p3 = p5+3 =p8
2. Untuk membahagikan kuasa dengan asas yang sama, cukup untuk menolak eksponen pembahagi daripada indeks dividen dan meninggalkan asas yang sama, iaitu
https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif" width="95" height="44 src=">
2. Untuk menaikkan satu darjah ke satu kuasa, sudah cukup untuk mendarabkan eksponen, meninggalkan asas yang sama, iaitu
(ap)m = at·p. Contohnya, (23)2 = 26.
4. Untuk meningkatkan produk kepada kuasa, sudah cukup untuk meningkatkan setiap faktor kepada kuasa ini dan melipatgandakan hasilnya, iaitu
(A b)P= ap∙bP.
Sebagai contoh, (2у3)2= 4y6.
5. Untuk menaikkan pecahan kepada kuasa, cukup untuk menaikkan pengangka dan penyebut secara berasingan kepada kuasa ini dan membahagikan hasil pertama dengan yang kedua, iaitu
https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif" width="87" height="53 src=">
Ambil perhatian bahawa kadangkala berguna untuk membaca formula ini dari kanan ke kiri. Dalam kes ini mereka menjadi peraturan. Sebagai contoh, dalam kes 4, apvp= (av)hlm kita mendapat peraturan berikut: kepada untuk mendarab kuasa dengan eksponen yang sama, sudah cukup untuk mendarabkan asas, meninggalkan eksponen yang sama.
Menggunakan peraturan ini berkesan, sebagai contoh, apabila mengira produk berikut
(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif" width="25" height="23">+1)5=(( -1)( +1))5=( = 1.
Sekarang mari kita berikan definisi akar.
akar ijazah ke-n daripada nombor nyata A dipanggil nombor nyata X, kuasa ke-n yang sama dengan A.
Jelas sekali, selaras dengan sifat asas kuasa dengan eksponen semula jadi, dari mana-mana nombor positif terdapat dua nilai berlawanan punca kuasa genap, contohnya, nombor 4 dan -4 adalah punca kuasa dua 16, kerana ( -4)2 = 42 = 16, dan nombor 3 dan -3 ialah punca keempat bagi 81, kerana (-3)4 = 34 = 81.
Juga, tiada punca genap bagi nombor negatif kerana kuasa genap mana-mana nombor nyata adalah bukan negatif. Bagi punca ganjil, bagi sebarang nombor nyata hanya terdapat satu punca ganjil bagi nombor itu. Sebagai contoh, 3 ialah punca ketiga bagi 27, kerana 33 = 27, dan -2 ialah punca kelima bagi -32, kerana (-2)5 = 32.
Disebabkan kewujudan dua punca darjah genap bagi nombor positif, kami memperkenalkan konsep punca aritmetik untuk menghapuskan kekaburan punca ini.
Nilai bukan negatif punca ke-n bagi nombor bukan negatif dipanggil punca aritmetik.
Contohnya, https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif" width="13" height="16 src="> 0.
Perlu diingat bahawa apabila menyelesaikan persamaan tidak rasional, puncanya sentiasa dianggap sebagai aritmetik.
Mari kita perhatikan sifat utama akar ke-n.
Saiz akar tidak akan berubah jika penunjuk akar dan darjah ungkapan radikal didarab atau dibahagikan dengan nombor asli yang sama, iaitu
Contoh 7. Kurangkan kepada penyebut biasa dan
Salam, kucing! Kali terakhir kita membincangkan secara terperinci apakah akar (jika anda tidak ingat, saya cadangkan membacanya). Imbasan utama dari pelajaran itu: hanya ada satu definisi universal akar, iaitu perkara yang perlu anda ketahui. Selebihnya mengarut dan membuang masa.
Hari ini kita pergi lebih jauh. Kami akan belajar untuk mendarab akar, kami akan mengkaji beberapa masalah yang berkaitan dengan pendaraban (jika masalah ini tidak diselesaikan, ia boleh membawa maut dalam peperiksaan) dan kami akan berlatih dengan betul. Jadi, sediakan stok popcorn, selesalah, dan mari kita mulakan.
Anda juga belum menghisapnya, bukan?
Pelajaran itu ternyata agak panjang, jadi saya membahagikannya kepada dua bahagian:
- Mula-mula kita akan melihat peraturan pendaraban. Cap nampaknya membayangkan: ini adalah apabila terdapat dua akar, di antara mereka terdapat tanda "darab" - dan kami ingin melakukan sesuatu dengannya.
- Kemudian mari kita lihat keadaan yang bertentangan: terdapat satu punca besar, tetapi kami tidak sabar-sabar untuk mewakilinya sebagai hasil daripada dua punca yang lebih mudah. Mengapa ini perlu, adalah soalan yang berasingan. Kami hanya akan menganalisis algoritma.
Bagi mereka yang tidak sabar untuk segera beralih ke bahagian kedua, anda dialu-alukan. Mari kita mulakan dengan yang lain mengikut urutan.
Peraturan Asas Pendaraban
Mari kita mulakan dengan perkara yang paling mudah - punca kuasa dua klasik. Yang sama yang dilambangkan dengan $\sqrt(a)$ dan $\sqrt(b)$. Semuanya jelas kepada mereka:
Peraturan pendaraban. Untuk mendarab satu punca kuasa dua dengan yang lain, anda hanya darabkan ungkapan radikalnya, dan tulis hasilnya di bawah radikal biasa:
\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]
Tiada sekatan tambahan dikenakan pada nombor di sebelah kanan atau kiri: jika faktor punca wujud, maka produk itu juga wujud.
Contoh. Mari lihat empat contoh dengan nombor sekaligus:
\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]
Seperti yang anda lihat, maksud utama peraturan ini adalah untuk memudahkan ungkapan tidak rasional. Dan jika dalam contoh pertama kita sendiri akan mengekstrak akar 25 dan 4 tanpa sebarang peraturan baru, maka keadaan menjadi sukar: $\sqrt(32)$ dan $\sqrt(2)$ tidak dipertimbangkan oleh mereka sendiri, tetapi hasil darab mereka menjadi kuasa dua sempurna, jadi puncanya adalah sama dengan nombor rasional.
Saya ingin menyerlahkan baris terakhir. Di sana, kedua-dua ungkapan radikal adalah pecahan. Terima kasih kepada produk, banyak faktor dibatalkan, dan keseluruhan ungkapan bertukar menjadi nombor yang mencukupi.
Sudah tentu, perkara tidak akan sentiasa begitu indah. Kadang-kadang akan ada kekacauan yang lengkap di bawah akar - tidak jelas apa yang perlu dilakukan dengannya dan bagaimana mengubahnya selepas pendaraban. Tidak lama kemudian, apabila anda mula mengkaji persamaan tidak rasional dan ketaksamaan, akan ada pelbagai pembolehubah dan fungsi. Dan selalunya, penulis masalah bergantung pada fakta bahawa anda akan menemui beberapa istilah atau faktor yang membatalkan, selepas itu masalah itu akan dipermudahkan berkali-kali.
Di samping itu, sama sekali tidak perlu membiak tepat dua akar. Anda boleh mendarab tiga, empat, atau bahkan sepuluh sekaligus! Ini tidak akan mengubah peraturan. Tengoklah:
\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]
Dan sekali lagi nota kecil pada contoh kedua. Seperti yang anda lihat, dalam faktor ketiga di bawah akar terdapat pecahan perpuluhan - dalam proses pengiraan kami menggantikannya dengan yang biasa, selepas itu semuanya mudah dikurangkan. Jadi: Saya amat mengesyorkan agar anda menyingkirkan pecahan perpuluhan dalam sebarang ungkapan tidak rasional (iaitu mengandungi sekurang-kurangnya satu simbol radikal). Ini akan menjimatkan banyak masa dan saraf anda pada masa hadapan.
Tetapi ini adalah penyimpangan lirik. Sekarang mari kita pertimbangkan kes yang lebih umum - apabila eksponen akar mengandungi nombor arbitrari $n$, dan bukan hanya dua "klasik".
Kes penunjuk sewenang-wenangnya
Jadi, kami telah menyusun punca kuasa dua. Apa yang perlu dilakukan dengan kubik? Atau pun dengan akar darjah sewenang-wenangnya $n$? Ya, semuanya sama. Peraturannya tetap sama:
Untuk mendarab dua punca darjah $n$, sudah cukup untuk mendarabkan ungkapan radikalnya, dan kemudian menulis hasilnya di bawah satu radikal.
Secara umum, tidak ada yang rumit. Kecuali jumlah pengiraan mungkin lebih besar. Mari kita lihat beberapa contoh:
Contoh. Kira produk:
\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]
Dan sekali lagi, perhatian kepada ungkapan kedua. Kami mendarabkan punca kubus, menyingkirkan pecahan perpuluhan dan berakhir dengan penyebut sebagai hasil darab nombor 625 dan 25. Ini adalah angka yang agak besar - secara peribadi, saya sendiri tidak dapat mengetahui apa yang sama dengannya di atas. dari kepala saya.
Oleh itu, kami hanya mengasingkan kubus tepat dalam pengangka dan penyebut, dan kemudian menggunakan salah satu sifat utama (atau, jika anda lebih suka, definisi) akar $n$th:
\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\kanan|. \\ \end(align)\]
"Maksud" sedemikian boleh menjimatkan banyak masa anda pada peperiksaan atau ujian, jadi ingat:
Jangan tergesa-gesa untuk mendarab nombor menggunakan ungkapan radikal. Mula-mula, semak: bagaimana jika tahap sebenar mana-mana ungkapan "disulitkan" di sana?
Walaupun kenyataan ini jelas, saya harus mengakui bahawa kebanyakan pelajar yang tidak bersedia tidak melihat darjah yang tepat pada julat kosong. Sebaliknya, mereka mendarabkan segala-galanya secara langsung, dan kemudian tertanya-tanya: mengapa mereka mendapat nombor yang kejam :)
Namun, semua ini hanyalah cakap-cakap bayi berbanding apa yang akan kita kaji sekarang.
Mendarab punca dengan eksponen yang berbeza
Okay, sekarang kita boleh darabkan akar dengan penunjuk yang sama. Bagaimana jika penunjuk berbeza? Katakan, bagaimana untuk mendarab $\sqrt(2)$ biasa dengan beberapa omong kosong seperti $\sqrt(23)$? Adakah mungkin untuk melakukan ini?
Ya sudah tentu boleh. Semuanya dilakukan mengikut formula ini:
Peraturan untuk mendarabkan akar. Untuk mendarab $\sqrt[n](a)$ dengan $\sqrt[p](b)$, sudah cukup untuk melakukan transformasi berikut:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Walau bagaimanapun, formula ini hanya berfungsi jika ungkapan radikal adalah bukan negatif. Ini adalah nota yang sangat penting yang akan kami kembalikan sedikit kemudian.
Buat masa ini, mari kita lihat beberapa contoh:
\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]
Seperti yang anda lihat, tiada yang rumit. Sekarang mari kita fikirkan dari mana datangnya keperluan bukan negatif, dan apa yang akan berlaku jika kita melanggarnya.
Mendarabkan akar adalah mudah Mengapakah ungkapan radikal mesti bukan negatif?
Sudah tentu, anda boleh menjadi seperti guru sekolah dan memetik buku teks dengan pandangan yang bijak:
Keperluan bukan negatif dikaitkan dengan takrif akar genap dan darjah ganjil yang berbeza (sehubungan itu, domain takrifan mereka juga berbeza).
Nah, adakah ia menjadi lebih jelas? Secara peribadi, apabila saya membaca karut ini dalam gred 8, saya memahami sesuatu seperti berikut: "Keperluan bukan negatif dikaitkan dengan *#&^@(*#@^#)~%" - ringkasnya, saya tidak Tidak faham apa-apa pada masa itu.
Jadi sekarang saya akan menerangkan semuanya dengan cara biasa.
Mula-mula, mari kita ketahui dari mana datangnya formula pendaraban di atas. Untuk melakukan ini, izinkan saya mengingatkan anda tentang satu sifat penting akar:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Dalam erti kata lain, kita boleh dengan mudah menaikkan ungkapan radikal kepada mana-mana kuasa semula jadi $k$ - dalam kes ini, eksponen punca perlu didarab dengan kuasa yang sama. Oleh itu, kita boleh dengan mudah mengurangkan mana-mana akar kepada penunjuk keseluruhan, kemudian darab. Di sinilah formula pendaraban berasal:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Tetapi ada satu masalah yang mengehadkan penggunaan semua formula ini. Pertimbangkan nombor ini:
Mengikut formula yang baru diberikan, kita boleh menambah apa-apa ijazah. Mari cuba tambah $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\kiri(-5 \kanan))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
Kami mengeluarkan tolak dengan tepat kerana segi empat sama membakar tolak (seperti mana-mana darjah genap yang lain). Sekarang mari kita lakukan transformasi terbalik: "kurangkan" kedua-duanya dalam eksponen dan kuasa. Lagipun, sebarang kesamaan boleh dibaca dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri:
\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]
Tetapi kemudian ia ternyata menjadi semacam omong kosong:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
Ini tidak boleh berlaku, kerana $\sqrt(-5) \lt 0$, dan $\sqrt(5) \gt 0$. Ini bermakna untuk kuasa genap dan nombor negatif formula kami tidak lagi berfungsi. Selepas itu kita mempunyai dua pilihan:
- Untuk memukul dinding dan menyatakan bahawa matematik adalah sains yang bodoh, di mana "terdapat beberapa peraturan, tetapi ini tidak tepat";
- Memperkenalkan sekatan tambahan di mana formula akan berfungsi 100%.
Dalam pilihan pertama, kita perlu sentiasa menangkap kes "tidak berfungsi" - ia sukar, memakan masa dan secara amnya ugh. Oleh itu, ahli matematik memilih pilihan kedua.
Tetapi jangan risau! Dalam amalan, had ini tidak menjejaskan pengiraan dalam apa cara sekalipun, kerana semua masalah yang diterangkan hanya membimbangkan akar darjah ganjil, dan tolak boleh diambil daripadanya.
Oleh itu, mari kita rumuskan satu lagi peraturan, yang biasanya digunakan untuk semua tindakan dengan akar:
Sebelum mendarab punca, pastikan ungkapan radikal bukan negatif.
Contoh. Dalam nombor $\sqrt(-5)$ anda boleh mengeluarkan tolak dari bawah tanda akar - maka semuanya akan menjadi normal:
\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]
Adakah anda merasakan perbezaannya? Jika anda meninggalkan tolak di bawah akar, maka apabila ungkapan radikal kuasa dua, ia akan hilang dan omong kosong akan bermula. Dan jika anda mula-mula mengeluarkan tolak, maka anda boleh segi empat sama/mengalih sehingga muka anda menjadi biru - nombor itu akan kekal negatif :).
Oleh itu, cara yang paling betul dan paling boleh dipercayai untuk mendarabkan akar adalah seperti berikut:
- Buang semua negatif dari radikal. Tolak hanya wujud dalam akar kepelbagaian ganjil - ia boleh diletakkan di hadapan akar dan, jika perlu, dikurangkan (contohnya, jika terdapat dua tolak ini).
- Lakukan pendaraban mengikut peraturan yang dibincangkan di atas dalam pelajaran hari ini. Jika penunjuk akar adalah sama, kita hanya mendarabkan ungkapan radikal. Dan jika mereka berbeza, kami menggunakan formula jahat \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
- 3.Nikmati keputusan dan gred yang baik. :)
Nah? Adakah kita akan berlatih?
Contoh 1: Permudahkan ungkapan:
\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \kanan)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(align)\]
Ini adalah pilihan paling mudah: akarnya sama dan ganjil, satu-satunya masalah ialah faktor kedua adalah negatif. Kami mengambil tolak ini daripada gambar, selepas itu semuanya mudah dikira.
Contoh 2: Permudahkan ungkapan:
\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\kiri(((2)^(5)) \kanan))^(3))\cdot ((\kiri(((2)^(2)) \kanan))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( selaraskan)\]
Di sini, ramai yang akan keliru dengan fakta bahawa output ternyata menjadi nombor tidak rasional. Ya, ia berlaku: kami tidak dapat menyingkirkan akar sepenuhnya, tetapi sekurang-kurangnya kami memudahkan ungkapan itu dengan ketara.
Contoh 3: Permudahkan ungkapan:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \kanan))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]
Saya ingin menarik perhatian anda kepada tugasan ini. Terdapat dua perkara di sini:
- Akar bukan nombor atau kuasa tertentu, tetapi pembolehubah $a$. Pada pandangan pertama, ini agak luar biasa, tetapi pada hakikatnya, apabila menyelesaikan masalah matematik, anda paling kerap perlu berurusan dengan pembolehubah.
- Pada akhirnya, kami berjaya "mengurangkan" penunjuk radikal dan tahap dalam ekspresi radikal. Ini berlaku agak kerap. Dan ini bermakna bahawa adalah mungkin untuk memudahkan pengiraan dengan ketara jika anda tidak menggunakan formula asas.
Sebagai contoh, anda boleh melakukan ini:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \kanan))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(align)\]
Malah, semua transformasi dilakukan hanya dengan radikal kedua. Dan jika anda tidak menerangkan secara terperinci semua langkah perantaraan, maka pada akhirnya jumlah pengiraan akan berkurangan dengan ketara.
Sebenarnya, kami telah pun menghadapi tugas yang sama di atas apabila kami menyelesaikan contoh $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Kini ia boleh ditulis dengan lebih mudah:
\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\kiri(((5)^(2))\cdot 3 \kanan))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\kiri(75 \kanan))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]
Nah, kami telah menyelesaikan pendaraban akar. Sekarang mari kita pertimbangkan operasi terbalik: apa yang perlu dilakukan apabila terdapat produk di bawah akar?
Bahan dalam artikel ini harus dipertimbangkan sebagai sebahagian daripada transformasi topik ungkapan tidak rasional. Di sini kita akan menggunakan contoh untuk menganalisis semua kehalusan dan nuansa (yang terdapat banyak) yang timbul apabila melakukan transformasi berdasarkan sifat akar.
Navigasi halaman.
Mari kita ingat sifat-sifat akar
Memandangkan kita akan menangani transformasi ungkapan menggunakan sifat akar, tidak ada salahnya untuk mengingati yang utama, atau lebih baik lagi, tuliskannya di atas kertas dan letakkannya di hadapan anda.
Pertama, punca kuasa dua dan sifat berikut dikaji (a, b, a 1, a 2, ..., a k ialah nombor nyata):
Dan kemudian idea akar diperluaskan, takrif akar darjah ke-n diperkenalkan, dan sifat-sifat berikut dipertimbangkan (a, b, a 1, a 2, ..., a k ialah nombor nyata, m, n, n 1, n 2, ... , n k - nombor asli):
Menukar ungkapan dengan nombor di bawah tanda radikal
Seperti biasa, mereka mula-mula belajar untuk bekerja dengan ungkapan berangka, dan hanya selepas itu mereka beralih kepada ungkapan dengan pembolehubah. Kami akan melakukan perkara yang sama, dan mula-mula kami akan berurusan dengan transformasi ungkapan tidak rasional yang mengandungi hanya ungkapan berangka di bawah tanda akar, dan kemudian dalam perenggan seterusnya kami akan memperkenalkan pembolehubah di bawah tanda akar.
Bagaimanakah ini boleh digunakan untuk mengubah ungkapan? Ia sangat mudah: sebagai contoh, kita boleh menggantikan ungkapan tidak rasional dengan ungkapan atau sebaliknya. Iaitu, jika ungkapan yang ditukar mengandungi ungkapan yang sepadan dengan rupa ungkapan dari bahagian kiri (kanan) mana-mana sifat akar yang disenaraikan, maka ia boleh digantikan dengan ungkapan yang sepadan dari bahagian kanan (kiri). Ini ialah transformasi ungkapan menggunakan sifat akar.
Mari kita berikan beberapa contoh lagi.
Mari kita permudahkan ungkapan 
. Nombor 3, 5 dan 7 adalah positif, jadi kita boleh menggunakan sifat akar dengan selamat. Di sini anda boleh bertindak dengan cara yang berbeza. Sebagai contoh, punca berdasarkan sifat boleh diwakili sebagai , dan punca menggunakan sifat dengan k=3 - sebagai , dengan pendekatan ini penyelesaiannya akan kelihatan seperti ini: 
Seseorang boleh melakukannya secara berbeza dengan menggantikan dengan , dan kemudian dengan , yang mana penyelesaiannya akan kelihatan seperti ini: 
Penyelesaian lain mungkin, contohnya:
Mari kita lihat penyelesaian kepada contoh lain. Mari kita ubah ekspresi. Melihat senarai sifat akar, kami memilih daripadanya sifat yang kami perlukan untuk menyelesaikan contoh; adalah jelas bahawa dua daripadanya berguna di sini dan , yang sah untuk mana-mana . Kami ada: 
Sebagai alternatif, seseorang boleh terlebih dahulu mengubah ungkapan radikal menggunakan 
dan kemudian gunakan sifat-sifat akar
Sehingga tahap ini, kami telah menukar ungkapan yang hanya mengandungi punca kuasa dua. Sudah tiba masanya untuk bekerja dengan akar yang mempunyai penunjuk yang berbeza.
Contoh.
Tukarkan ungkapan tidak rasional 
.
Penyelesaian.
Dengan harta 
faktor pertama produk tertentu boleh digantikan dengan nombor −2: 
Teruskan. Berdasarkan harta itu, faktor kedua boleh diwakili sebagai , dan tidak ada salahnya untuk menggantikan 81 dengan kuasa empat kali ganda tiga, kerana dalam faktor selebihnya nombor 3 muncul di bawah tanda-tanda akar: 
Adalah dinasihatkan untuk menggantikan punca pecahan dengan nisbah punca bentuk , yang boleh diubah lagi: 
. Kami ada
Selepas melakukan operasi dengan dua, ungkapan yang terhasil akan berbentuk , dan yang tinggal hanyalah mengubah hasil darab akar.
Untuk mengubah produk akar, mereka biasanya dikurangkan kepada satu penunjuk, yang mana adalah dinasihatkan untuk mengambil penunjuk semua akar. Dalam kes kami, LCM(12, 6, 12) = 12, dan hanya punca perlu dikurangkan kepada penunjuk ini, kerana dua punca lain sudah mempunyai penunjuk sedemikian. Kesaksamaan, yang diterapkan dari kanan ke kiri, membolehkan kami menangani tugas ini. Jadi . Mengambil kira keputusan ini, kami ada 
Kini produk akar boleh digantikan oleh akar produk dan melakukan transformasi yang tinggal, sudah jelas: 
Mari tulis versi pendek penyelesaian: 
Jawapan:
.
Kami menekankan secara berasingan bahawa untuk menggunakan sifat akar, perlu mengambil kira sekatan yang dikenakan pada nombor di bawah tanda akar (a≥0, dsb.). Mengabaikan mereka boleh menyebabkan keputusan yang salah. Sebagai contoh, kita tahu bahawa harta itu dipegang untuk bukan negatif a . Berdasarkan itu, kita boleh dengan mudah bergerak, contohnya, dari ke, kerana 8 ialah nombor positif. Tetapi jika kita mengambil punca bermakna bagi nombor negatif, sebagai contoh, dan, berdasarkan sifat yang ditunjukkan di atas, gantikannya dengan , maka kita sebenarnya menggantikan −2 dengan 2. Memang, ah. Iaitu, untuk negatif a kesamaan mungkin tidak betul, sama seperti sifat akar lain mungkin tidak betul tanpa mengambil kira syarat yang ditentukan untuknya.
Tetapi apa yang dikatakan dalam perenggan sebelumnya tidak bermakna sama sekali bahawa ungkapan dengan nombor negatif di bawah tanda akar tidak boleh diubah menggunakan sifat akar. Mereka hanya perlu "disediakan" terlebih dahulu dengan menggunakan peraturan untuk beroperasi dengan nombor atau menggunakan definisi punca ganjil bagi nombor negatif, yang sepadan dengan kesamaan , di mana −a ialah nombor negatif (manakala a positif). Sebagai contoh, ia tidak boleh digantikan dengan serta-merta dengan , kerana −2 dan −3 ialah nombor negatif, tetapi ia membolehkan kita beralih dari punca ke , dan kemudian menggunakan sifat punca produk: 
. Dan dalam salah satu contoh sebelumnya, adalah perlu untuk bergerak dari akar ke akar darjah kelapan belas bukan seperti ini, tetapi seperti ini 
.
Jadi, untuk mengubah ungkapan menggunakan sifat akar, anda perlukan
- pilih harta yang sesuai daripada senarai,
- pastikan nombor di bawah akar memenuhi syarat untuk harta yang dipilih (jika tidak, anda perlu melakukan transformasi awal),
- dan melaksanakan transformasi yang dimaksudkan.
Menukar ungkapan dengan pembolehubah di bawah tanda radikal
Untuk mengubah ungkapan tidak rasional yang mengandungi bukan sahaja nombor tetapi juga pembolehubah di bawah tanda akar, sifat akar yang disenaraikan dalam perenggan pertama artikel ini mesti digunakan dengan berhati-hati. Ini kebanyakannya disebabkan oleh syarat yang mesti dipenuhi oleh nombor yang terlibat dalam formula. Sebagai contoh, berdasarkan formula, ungkapan boleh digantikan dengan ungkapan hanya untuk nilai x yang memenuhi syarat x≥0 dan x+1≥0, kerana formula yang ditentukan ditentukan untuk a≥0 dan b ≥0.
Apakah bahaya mengabaikan syarat-syarat ini? Jawapan kepada soalan ini jelas ditunjukkan oleh contoh berikut. Katakan kita perlu mengira nilai ungkapan pada x=−2. Jika kita segera menggantikan nombor −2 dan bukannya pembolehubah x, kita akan mendapat nilai yang kita perlukan 
. Sekarang mari kita bayangkan bahawa, berdasarkan beberapa pertimbangan, kami menukar ungkapan yang diberikan kepada bentuk , dan hanya selepas itu kami memutuskan untuk mengira nilai. Kami menggantikan nombor −2 untuk x dan tiba pada ungkapan 
, yang tidak masuk akal.
Mari lihat apa yang berlaku kepada julat nilai yang dibenarkan (APV) pembolehubah x apabila beralih daripada ungkapan ke ungkapan. Bukan secara kebetulan kami menyebut ODZ, kerana ini adalah alat yang serius untuk memantau kebolehterimaan transformasi yang dibuat, dan perubahan dalam ODZ selepas mengubah ungkapan harus, sekurang-kurangnya, menaikkan bendera merah. Mencari ODZ untuk ungkapan ini tidaklah sukar. Untuk ungkapan ODZ ditentukan daripada ketaksamaan x·(x+1)≥0, penyelesaiannya memberikan set berangka (−∞, −1]∪∪∪)
