Dari sudut pandangan praktikal, minat yang paling besar ialah menggunakan derivatif untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi. Apakah kaitan ini? Memaksimumkan keuntungan, meminimumkan kos, menentukan beban optimum peralatan... Dalam erti kata lain, dalam banyak bidang kehidupan kita perlu menyelesaikan masalah mengoptimumkan beberapa parameter. Dan ini adalah tugas mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi.

Perlu diingatkan bahawa nilai terbesar dan terkecil sesuatu fungsi biasanya dicari pada selang X tertentu, iaitu sama ada keseluruhan domain fungsi atau sebahagian daripada domain definisi. Selang X itu sendiri boleh menjadi segmen, selang terbuka , selang tak terhingga.

Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi yang ditakrifkan secara eksplisit bagi satu pembolehubah y=f(x) .

Navigasi halaman.

Nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi - definisi, ilustrasi.

Mari kita lihat secara ringkas definisi utama.

Nilai terbesar bagi fungsi tersebut itu untuk sesiapa sahaja ketidaksamaan adalah benar.

Nilai terkecil bagi fungsi tersebut y=f(x) pada selang X dipanggil nilai sedemikian itu untuk sesiapa sahaja ketidaksamaan adalah benar.

Takrifan ini adalah intuitif: nilai terbesar (paling kecil) bagi sesuatu fungsi ialah nilai terbesar (paling kecil) diterima pada selang yang dipertimbangkan di abscissa.

Titik pegun– ini adalah nilai hujah di mana terbitan fungsi menjadi sifar.

Mengapakah kita memerlukan titik pegun apabila mencari nilai terbesar dan terkecil? Jawapan kepada soalan ini diberikan oleh teorem Fermat. Daripada teorem ini, ia mengikuti bahawa jika fungsi boleh dibezakan mempunyai ekstrem (minimum tempatan atau maksimum tempatan) pada satu titik, maka titik ini adalah pegun. Oleh itu, fungsi selalunya mengambil nilai terbesar (terkecil) pada selang X pada salah satu titik pegun dari selang ini.

Juga, fungsi selalunya boleh mengambil nilai terbesar dan terkecil pada titik di mana terbitan pertama fungsi ini tidak wujud, dan fungsi itu sendiri ditakrifkan.

Mari kita jawab dengan segera salah satu soalan yang paling biasa mengenai topik ini: "Adakah sentiasa mungkin untuk menentukan nilai terbesar (terkecil) fungsi"? Tidak tidak selalu. Kadangkala sempadan selang X bertepatan dengan sempadan domain takrifan fungsi, atau selang X adalah tak terhingga. Dan beberapa fungsi pada infiniti dan di sempadan domain definisi boleh mengambil kedua-dua nilai infiniti besar dan infiniti kecil. Dalam kes ini, tiada apa yang boleh dikatakan tentang nilai terbesar dan terkecil fungsi tersebut.

Untuk kejelasan, kami akan memberikan ilustrasi grafik. Lihat gambar dan banyak lagi akan menjadi lebih jelas.

Pada segmen

Dalam rajah pertama, fungsi mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik pegun yang terletak di dalam segmen [-6;6].

Pertimbangkan kes yang digambarkan dalam rajah kedua. Jom tukar segmen kepada . Dalam contoh ini, nilai terkecil fungsi dicapai pada titik pegun, dan yang terbesar pada titik dengan absis sepadan dengan sempadan kanan selang.

Dalam Rajah 3, titik sempadan segmen [-3;2] ialah absis bagi titik yang sepadan dengan nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi.

Pada selang waktu terbuka

Dalam rajah keempat, fungsi mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik pegun yang terletak di dalam selang terbuka (-6;6).

Pada selang , tiada kesimpulan boleh dibuat tentang nilai terbesar.

Pada infiniti

Dalam contoh yang dibentangkan dalam rajah ketujuh, fungsi mengambil nilai terbesar (maks y) pada titik pegun dengan abscissa x=1, dan nilai terkecil (min y) dicapai pada sempadan kanan selang. Pada infiniti tolak, nilai fungsi secara asimptotik menghampiri y=3.

Sepanjang selang itu, fungsi tidak mencapai nilai terkecil mahupun terbesar. Apabila x=2 menghampiri dari kanan, nilai fungsi cenderung kepada tolak infiniti (garisan x=2 ialah asimtot menegak), dan kerana absis cenderung kepada tambah infiniti, nilai fungsi secara asymptotically menghampiri y=3. Ilustrasi grafik contoh ini ditunjukkan dalam Rajah 8.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi berterusan pada segmen.

Mari kita tulis algoritma yang membolehkan kita mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen.

Kami mencari domain takrifan fungsi dan menyemak sama ada ia mengandungi keseluruhan segmen.
Kami mendapati semua titik di mana terbitan pertama tidak wujud dan yang terkandung dalam segmen (biasanya titik tersebut ditemui dalam fungsi dengan hujah di bawah tanda modulus dan dalam fungsi kuasa dengan eksponen pecahan-rasional). Jika tiada mata seperti itu, maka teruskan ke titik seterusnya.
Kami menentukan semua titik pegun yang termasuk dalam segmen. Untuk melakukan ini, kami menyamakannya dengan sifar, menyelesaikan persamaan yang terhasil dan pilih punca yang sesuai. Jika tiada titik pegun atau tiada satu pun daripadanya jatuh ke dalam segmen, kemudian teruskan ke titik seterusnya.
Kami mengira nilai fungsi pada titik pegun terpilih (jika ada), pada titik di mana terbitan pertama tidak wujud (jika ada), serta pada x=a dan x=b.
Daripada nilai fungsi yang diperoleh, kami memilih yang terbesar dan terkecil - masing-masing akan menjadi nilai terbesar dan terkecil fungsi yang diperlukan.

Mari analisa algoritma untuk menyelesaikan contoh untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen.

Contoh.

Cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi

pada segmen;
pada segmen [-4;-1] .

Penyelesaian.

Domain definisi fungsi ialah keseluruhan set nombor nyata, kecuali sifar, iaitu. Kedua-dua segmen termasuk dalam domain definisi.

Cari terbitan bagi fungsi berkenaan dengan:

Jelas sekali, terbitan fungsi wujud di semua titik segmen dan [-4;-1].

Kami menentukan titik pegun daripada persamaan. Satu-satunya punca sebenar ialah x=2. Titik pegun ini jatuh ke dalam segmen pertama.

Untuk kes pertama, kami mengira nilai fungsi pada hujung segmen dan pada titik pegun, iaitu, untuk x=1, x=2 dan x=4:

Oleh itu, nilai terbesar fungsi dicapai pada x=1, dan nilai terkecil – pada x=2.

Untuk kes kedua, kami mengira nilai fungsi hanya pada hujung segmen [-4;-1] (kerana ia tidak mengandungi satu titik pegun):

Penyelesaian.

Mari kita mulakan dengan domain fungsi. Trinomial segi empat sama dalam penyebut pecahan tidak boleh hilang:

Adalah mudah untuk menyemak bahawa semua selang dari pernyataan masalah tergolong dalam domain definisi fungsi.

Mari bezakan fungsi:

Jelas sekali, terbitan wujud di seluruh domain definisi fungsi.

Mari cari titik pegun. Derivatif pergi ke sifar pada . Titik pegun ini berada dalam selang (-3;1] dan (-3;2).

Kini anda boleh membandingkan keputusan yang diperoleh pada setiap titik dengan graf fungsi. Garis putus-putus biru menunjukkan asimtot.

Pada ketika ini kita boleh selesaikan dengan mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi tersebut. Algoritma yang dibincangkan dalam artikel ini membolehkan anda mendapatkan hasil dengan tindakan yang minimum. Walau bagaimanapun, adalah berguna untuk menentukan terlebih dahulu selang peningkatan dan penurunan fungsi dan hanya selepas itu membuat kesimpulan tentang nilai terbesar dan terkecil fungsi pada sebarang selang. Ini memberikan gambaran yang lebih jelas dan justifikasi yang ketat untuk hasilnya.

Definisi. Jika fungsi f(x) ditakrifkan pada selang [ a, b], adalah selanjar pada setiap titik selang ( a, b), pada ketika itu a berterusan di sebelah kanan, pada titik b adalah berterusan di sebelah kiri, maka kita katakan bahawa fungsi f(x) berterusan pada segmen [a, b].

Dengan kata lain, fungsi f(x) adalah berterusan pada selang [ a, b], jika tiga syarat dipenuhi:

1) "x 0 Î( a, b): f(x) = f(x 0);

2) f(x) = f(a);

3) f(x) = f(b).

Untuk fungsi yang berterusan pada selang waktu, kami mempertimbangkan beberapa sifat, yang kami rumuskan dalam bentuk teorem berikut, tanpa menjalankan bukti.

Teorem 1. Jika fungsi f(x) adalah berterusan pada selang [ a, b], maka ia mencapai nilai minimum dan maksimum pada segmen ini.

Teorem ini menyatakan (Rajah 1.15) bahawa pada segmen [ a, b] ada perkara sedemikian x 1 itu f(x 1) £ f(x) bagi apa apa x daripada [ a, b] dan bahawa ada satu titik x 2 (x 2 О[ a, b]) seperti itu " xÎ[ a, b] (f(x 2)³ f(x)).

Maknanya f(x 1) adalah yang terbesar untuk fungsi tertentu pada [ a, b], A f(x 2) - yang terkecil. Mari kita nyatakan: f(x 1) = M, f(x 2) =m. Memandangkan f(x) ketidaksamaan memegang: " xÎ[ a, b] m£ f(x) £ M, maka kita memperolehi akibat berikut daripada Teorem 1.

Akibat. Jika fungsi f(x) adalah selanjar pada selang, maka ia dihadkan pada selang ini.

Teorem 2. Jika fungsi f(x) adalah berterusan pada selang [ a,b] dan di hujung segmen mengambil nilai tanda yang berbeza, maka terdapat titik dalaman sedemikian x 0 segmen [ a, b], di mana fungsi bertukar kepada 0, i.e. $ x 0 Î ( a, b) (f(x 0) = 0).

Teorem ini menyatakan bahawa graf bagi suatu fungsi y = f(x), berterusan pada selang [ a, b], bersilang dengan paksi lembu sekurang-kurangnya sekali jika nilai f(a) Dan f(b) mempunyai tanda yang berlawanan. Jadi, (Gamb. 1.16) f(a) > 0, f(b) < 0 и функция f(x) menjadi 0 pada titik x 1 , x 2 , x 3 .

Teorem 3. Biarkan fungsi f(x) adalah berterusan pada selang [ a, b], f(a) = A, f(b) = B Dan A¹ B. (Gamb. 1.17). Kemudian untuk sebarang nombor C, disertakan di antara nombor A Dan B, terdapat titik dalaman sedemikian x 0 segmen [ a, b], Apa f(x 0) = C.

Akibat. Jika fungsi f(x) adalah berterusan pada selang [ a, b], m– nilai terkecil f(x), M– nilai terbesar bagi fungsi tersebut f(x) pada segmen [ a, b], maka fungsi itu mengambil (sekurang-kurangnya sekali) sebarang nilai m, membuat kesimpulan antara m Dan M, dan oleh itu segmen [ m, M] ialah set semua nilai fungsi f(x) pada segmen [ a, b].

Ambil perhatian bahawa jika fungsi berterusan pada selang ( a, b) atau mempunyai pada segmen [ a, b] titik ketakselanjaran, maka Teorem 1, 2, 3 untuk fungsi sedemikian tidak lagi benar.

Kesimpulannya, pertimbangkan teorem kewujudan fungsi songsang.

Mari kita ingat bahawa dengan selang kita bermaksud segmen atau selang, atau selang separuh, terhingga atau tidak terhingga.

Teorem 4. biarlah f(x) adalah berterusan pada selang waktu X, bertambah (atau berkurang) sebanyak X dan mempunyai julat nilai Y. Kemudian untuk fungsi y = f(x) terdapat fungsi songsang x= j(y), ditakrifkan pada selang waktu Y, berterusan dan meningkat (atau menurun) oleh Y dengan pelbagai makna X.

Komen. Biarkan fungsi x= j(y) ialah songsangan bagi fungsi tersebut f(x). Oleh kerana hujah biasanya dilambangkan dengan x, dan fungsi melalui y, kemudian kita tulis fungsi songsang dalam bentuk y=j(x).

Contoh 1. Fungsi y = x 2 (Rajah 1.8, a) pada set X= jika selanjar pada selang (a, b), selanjar kanan pada titik a dan selanjar kiri pada titik b.

Fungsi itu dipanggil berterusan pada segmen, jika ia berterusan dalam selang waktu, berterusan di sebelah kanan pada titik, itu dia dan berterusan di sebelah kiri pada titik, itu dia .

Komen. Fungsi yang selanjar pada segmen [a, b] boleh terputus pada titik a dan b (Rajah 1)

Set fungsi berterusan pada selang [a, b] dilambangkan dengan simbol C[a, b].

Teorem asas tentang fungsi berterusan pada selang waktu.

Teorem 1(pada sempadan fungsi berterusan). Jika fungsi f (x) adalah selanjar pada selang [a, b], maka ia dihadkan pada selang ini, i.e. terdapat nombor C > 0 sehingga "x O [a, b] ketaksamaan | f (x)| ≤ C berlaku.

Teorem 2(Weierstrasse). Jika fungsi f (x) adalah selanjar pada selang [a, b], maka ia mencapai nilai terbesarnya M dan nilai terkecilnya m pada selang ini, i.e. terdapat titik α, β O [a, b] sehingga m = f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) = M untuk semua x O [a, b] (Rajah 2).

Nilai terbesar M ditunjukkan oleh simbol maks x O [a, b] f (x), dan nilai terkecil bagi m ialah simbol min x O [a, b] f(x).
Teorem 3(tentang kewujudan sifar). Jika fungsi f (x) berterusan pada selang [a, b] dan mengambil nilai bukan sifar tanda yang berbeza di hujung segmen, maka pada selang (a, b) terdapat sekurang-kurangnya satu titik ξ di mana f (ξ) = 0.
Maksud geometri teorem ialah graf fungsi yang memenuhi syarat teorem itu semestinya akan bersilang dengan paksi. OX(Gamb. 3).

Komen. Kaedah penyelesaian anggaran persamaan adalah berdasarkan teorem ini

f(x) = 0,

(1)

dipanggil kaedah belah dua (dikotomi), atau kaedah belah dua.

Teorem 4(Bolzano–Cauchy). Jika fungsi f (x) adalah selanjar pada selang [a, b], maka ia mengambil (a, b) semua nilai perantaraan antara f (a) dan f (b).
Kewujudan fungsi songsang berterusan
Biarkan fungsi y = f (x) ditakrifkan, monoton dan berterusan pada selang [a, b]. Kemudian pada selang [α, β] (α = f (a), β = f (b)) wujud fungsi songsang x = g (y), yang juga monotonik dan berterusan pada selang (α, β ).

Definisi 4. Fungsi dipanggil selanjar pada segmen jika ia selanjar pada setiap titik segmen ini (pada titik a ia selanjar di sebelah kanan, iaitu, dan pada titik b ia berterusan di sebelah kiri, iaitu).

Semua fungsi asas asas adalah berterusan dalam domain definisinya.

Sifat fungsi berterusan pada selang waktu:

1) Jika suatu fungsi selanjar pada selang, maka ia disempadani pada selang ini (teorem pertama Weierstrass).
2) Jika fungsi berterusan pada segmen, maka pada segmen ini ia mencapai nilai minimum dan nilai maksimumnya (teorem kedua Weierstrass) (lihat Rajah 2).
3) Jika fungsi berterusan pada segmen dan mengambil nilai tanda yang berbeza di hujungnya, maka di dalam segmen terdapat sekurang-kurangnya satu titik sedemikian (teorem Bolzano-Cauchy).

Titik putus fungsi dan klasifikasinya

segmen titik kesinambungan fungsi

Titik di mana keadaan kesinambungan tidak dipenuhi dipanggil titik putus fungsi ini. Jika ialah titik ketakselanjaran fungsi, maka sekurang-kurangnya satu daripada tiga syarat untuk kesinambungan fungsi yang dinyatakan dalam Takrif 1, 2 tidak dipenuhi, iaitu:

1) Fungsi ditakrifkan dalam kejiranan titik, tetapi tidak ditakrifkan pada titik itu sendiri. Jadi fungsi yang dipertimbangkan dalam contoh 2 a) mempunyai ketakselanjaran pada satu titik, kerana ia tidak ditakrifkan pada ketika ini.

2) Fungsi ditakrifkan pada satu titik dan sekelilingnya, terdapat had satu sisi dan, tetapi ia tidak sama antara satu sama lain: . Sebagai contoh, fungsi daripada contoh 2 b) ditakrifkan pada satu titik dan persekitarannya, tetapi, sejak a.

3) Fungsi ditakrifkan pada titik dan sekelilingnya, terdapat had satu sisi dan ia adalah sama antara satu sama lain, tetapi tidak sama dengan nilai fungsi pada titik: . Sebagai contoh, fungsi. Berikut ialah titik putus: pada ketika ini fungsi ditakrifkan, terdapat had satu sisi dan, sama antara satu sama lain, tetapi, iaitu.

Titik putus fungsi dikelaskan seperti berikut.

Definisi 5. Titik dipanggil titik ketakselanjaran bagi jenis fungsi pertama jika pada titik ini terdapat had terhingga dan, tetapi ia tidak sama antara satu sama lain: . Kuantiti itu dipanggil lompatan fungsi pada satu titik.

Definisi 6. Titik dipanggil titik ketakselanjaran boleh alih fungsi jika pada titik ini terdapat had terhingga dan, ia adalah sama antara satu sama lain: , tetapi fungsi itu sendiri tidak ditakrifkan pada titik, atau ditakrifkan, tetapi.

Definisi 7. Titik dipanggil titik ketakselanjaran bagi jenis fungsi kedua jika pada titik ini sekurang-kurangnya satu daripada had sebelah (atau) tidak wujud atau sama dengan infiniti.

Contoh 3. Cari titik putus bagi fungsi berikut dan tentukan jenisnya: a) b)

Penyelesaian. a) Fungsi ditakrifkan dan berterusan pada selang, dan, oleh kerana pada setiap selang ini ia ditakrifkan oleh fungsi asas berterusan. Akibatnya, titik putus fungsi tertentu hanya boleh menjadi titik di mana fungsi mengubah tugas analisisnya, i.e. mata dan Mari cari had satu sisi fungsi pada titik:

Memandangkan had sebelah pihak wujud dan terhingga, tetapi tidak sama antara satu sama lain, titik tersebut ialah titik ketakselanjaran jenis pertama. Lompatan fungsi:

Untuk perkara yang kita dapati.

Kesinambungan fungsi asas

Teorem mengenai kesinambungan fungsi mengikuti terus dari teorem yang sepadan mengenai had.

Teorem. Jumlah, hasil darab dan hasil bagi dua fungsi selanjar ialah fungsi selanjar (untuk hasil bagi, kecuali bagi nilai hujah yang pembahaginya adalah sifar).

Teorem. Biarkan fungsi u= φ (x) adalah berterusan pada titik X 0 dan fungsi y = f(u) adalah berterusan pada titik u 0 = φ (X 0). Kemudian fungsi kompleks f(φ (x)) terdiri daripada fungsi berterusan, adalah selanjar pada titik x 0 .

Teorem. Jika fungsi di = f(X) berterusan dan monoton pada [ A; b] kapak Oh, kemudian fungsi songsang di = φ (X) juga berterusan dan monotonik pada segmen yang sepadan [ c;d] kapak OU(tiada bukti).

Fungsi yang berterusan pada selang waktu mempunyai beberapa sifat penting. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorem tanpa memberikan bukti.

Teorem (Weierstrass). Jika fungsi berterusan pada segmen, maka ia mencapai nilai maksimum dan minimum pada segmen ini.

Fungsi yang ditunjukkan dalam Rajah 5 di = f(x) adalah berterusan pada selang [ A; b], mengambil nilai maksimumnya M pada titik x 1 dan yang terkecil m- pada titik X 2. Untuk sesiapa X [A; b] ketidaksamaan berlaku m ≤ f(x) ≤ M.

Akibat. Jika fungsi adalah selanjar pada selang, maka ia dihadkan pada selang ini.

Teorem (Bolzano - Cauchy). Jika fungsi di= f(x) adalah berterusan pada selang [ a; b] dan mengambil nilai yang tidak sama pada hujungnya f(a) = A Dan f(b) = =DALAM, maka pada segmen ini ia mengambil semua nilai perantaraan antara A Dan DALAM.

Secara geometri, teorem adalah jelas (lihat Rajah 6).

Untuk sebarang nombor DENGAN, membuat kesimpulan antara A Dan DALAM, ada betulnya Dengan dalam segmen ini sedemikian rupa f(Dengan) = DENGAN. Lurus di = DENGAN memotong graf fungsi sekurang-kurangnya pada satu titik.

Akibat. Jika fungsi di = f(x) adalah berterusan pada selang [ A; b] dan pada hujungnya mengambil nilai tanda yang berbeza, kemudian di dalam segmen [ A; b] terdapat sekurang-kurangnya satu titik Dengan, di mana fungsi ini f(x) pergi ke sifar: f(Dengan) = 0.

Makna geometri teorem: jika graf fungsi selanjar melepasi satu sisi paksi Oh kepada yang lain, kemudian ia bersilang dengan paksi lembu(lihat Rajah 7).

nasi. 7.