Dy rreze që dalin prej saj formojnë një kënd. Vlera e tij mund të specifikohet si në radianë ashtu edhe në gradë. Tani, në një distancë nga pika qendrore, le të vizatojmë mendërisht një rreth. Masa e këndit, e shprehur në radianë, në këtë rast është raporti matematik i gjatësisë së harkut L, i ndarë me dy rreze, me vlerën e distancës midis pikës qendrore dhe vijës së rrethit (R), d.m.th. :
Nëse tani e imagjinojmë sistemin e përshkruar si material, atëherë në të mund të zbatohen jo vetëm konceptet e këndit dhe rrezes, por edhe nxitimi centripetal, rrotullimi etj. Shumica e tyre përshkruajnë sjelljen e një pike në një rreth rrotullues. Nga rruga, një disk i ngurtë mund të përfaqësohet gjithashtu nga një grup rrathësh, ndryshimi i të cilave është vetëm në distancë nga qendra.
Një nga karakteristikat e një sistemi të tillë rrotullues është periudha e revolucionit. Ai tregon kohën që i duhet një pike në një rreth arbitrar që të kthehet në pozicionin e saj origjinal ose, që është gjithashtu e vërtetë, të kthehet rreth 360 gradë. Me një shpejtësi konstante rrotullimi, korrespondenca është T = (2 * 3.1416) / Ug (në tekstin e mëtejmë, Ug është këndi).
Shpejtësia e rrotullimit tregon numrin e rrotullimeve të plota të kryera në 1 sekondë. Me një shpejtësi konstante, marrim v = 1 / T.
Varet nga koha dhe i ashtuquajturi kënd i rrotullimit. Kjo do të thotë, nëse marrim një pikë arbitrare A në rreth si origjinë, atëherë gjatë rrotullimit të sistemit kjo pikë do të zhvendoset në A1 në kohën t, duke formuar një kënd midis rrezeve A-qendra dhe A1-qendra. Duke ditur kohën dhe këndin, mund të llogarisni shpejtësinë këndore.
Dhe meqenëse ka një rreth, lëvizje dhe shpejtësi, atëherë ekziston edhe nxitimi centripetal. Është një nga komponentët që përshkruajnë lëvizjen në rastin e lëvizjes kurvilineare. Termat "normal" dhe "nxitim centripetal" janë identikë. Dallimi është se i dyti përdoret për të përshkruar lëvizjen në një rreth kur vektori i nxitimit drejtohet drejt qendrës së sistemit. Prandaj, është gjithmonë e nevojshme të dihet saktësisht se si lëviz trupi (pika) dhe nxitimi i tij centripetal. Përkufizimi i tij është si më poshtë: është shpejtësia e ndryshimit të shpejtësisë, vektori i së cilës është i drejtuar pingul me drejtimin e vektorit dhe ndryshon drejtimin e këtij të fundit. Enciklopedia tregon se Huygens ishte i angazhuar në studimin e kësaj çështjeje. Formula për nxitimin centripetal të propozuar prej tij duket si kjo:
Acs = (v*v) / r,
ku r është rrezja e lakimit të shtegut të përshkuar; v - shpejtësia e lëvizjes.
Formula me të cilën llogaritet nxitimi centripetal është ende i debatuar ashpër mes entuziastëve. Për shembull, një teori kurioze u shpreh kohët e fundit.
Huygens, duke marrë parasysh sistemin, u nis nga fakti se trupi lëviz në një rreth me rreze R me një shpejtësi v të matur në pikën fillestare A. Meqenëse vektori i inercisë është i drejtuar përgjatë, një trajektore në formën e një vije të drejtë AB është fituar. Megjithatë, forca centripetale e mban trupin në një rreth në pikën C. Nëse caktojmë qendrën si O dhe vizatojmë drejtëzat AB, BO (shuma e BS dhe CO), si dhe AO, marrim një trekëndësh. Sipas ligjit të Pitagorës:
BS=(a*(t*t)) / 2, ku a është nxitimi; t - koha (a * t * t - kjo është shpejtësia).
Nëse tani përdorim formulën e Pitagorës, atëherë:
R2+t2+v2 = R2+(a*t2*2*R) / 2+ (a*t2/2)2, ku R është rrezja dhe drejtshkrimi alfanumerik pa shenjën e shumëzimit është shkalla.
Huygens pranoi se, meqenëse koha t është e vogël, ajo mund të injorohet në llogaritjet. Pasi transformoi formulën e mëparshme, ajo erdhi në Acs të mirënjohur = (v * v) / r.
Megjithatë, duke qenë se koha është në katror, ndodh një progresion: sa më i madh t, aq më i lartë është gabimi. Për shembull, për 0.9, pothuajse vlera totale prej 20% nuk merret parasysh.
Koncepti i nxitimit centripetal është i rëndësishëm për shkenca moderne, por, padyshim, është shumë herët për t'i dhënë fund kësaj çështjeje.
Na lejon të ekzistojmë në këtë planet. Si mund ta kuptoni se çfarë përbën nxitimin centripetal? Përkufizimi i kësaj sasie fizike është paraqitur më poshtë.
Vëzhgimet
Shembulli më i thjeshtë i përshpejtimit të një trupi që lëviz në një rreth mund të vërehet duke rrotulluar një gur në një litar. Ju tërhiqni litarin dhe litari e tërheq shkëmbin drejt qendrës. Në çdo moment në kohë, litari i jep gurit një lëvizje të caktuar, dhe çdo herë në një drejtim të ri. Ju mund ta imagjinoni lëvizjen e litarit si një seri goditjesh të dobëta. Një hov - dhe litari ndryshon drejtimin e tij, një hov - një ndryshim tjetër, e kështu me radhë në një rreth. Nëse papritmas e lëshoni litarin, kërcitjet do të ndalen dhe bashkë me to edhe ndryshimi i drejtimit të shpejtësisë do të ndalet. Guri do të lëvizë në drejtimin tangjent me rrethin. Shtrohet pyetja: "Me çfarë nxitimi do të lëvizë trupi në këtë çast?"
formula për nxitimin centripetal
Para së gjithash, vlen të përmendet se lëvizja e trupit në një rreth është komplekse. Guri merr pjesë në dy lloje lëvizjesh në të njëjtën kohë: nën veprimin e një force lëviz drejt qendrës së rrotullimit dhe në të njëjtën kohë, tangjencialisht me rrethin, largohet nga kjo qendër. Sipas Ligjit të Dytë të Njutonit, forca që mban një gur në një varg drejtohet drejt qendrës së rrotullimit përgjatë atij vargu. Aty do të drejtohet edhe vektori i nxitimit.
Lëreni për ca kohë t, guri ynë, duke lëvizur në mënyrë të njëtrajtshme me një shpejtësi V, kalon nga pika A në pikën B. Supozoni se në momentin kur trupi kapërceu pikën B, forca qendrore pushoi së vepruari mbi të. Pastaj për një periudhë kohe do të godiste pikën K. Shtrihet në tangjentë. Nëse në të njëjtën kohë në trup do të vepronin vetëm forca centripetale, atëherë në kohën t, duke lëvizur me të njëjtin nxitim, ai do të përfundonte në pikën O, e cila ndodhet në një vijë të drejtë që përfaqëson diametrin e një rrethi. Të dy segmentet janë vektorë dhe i binden rregullit të mbledhjes së vektorit. Si rezultat i përmbledhjes së këtyre dy lëvizjeve për një periudhë kohore t, marrim lëvizjen që rezulton përgjatë harkut AB.
Nëse intervali kohor t merret në mënyrë të papërfillshme, atëherë harku AB do të ndryshojë pak nga korda AB. Kështu, është e mundur të zëvendësohet lëvizja përgjatë një harku me lëvizje përgjatë një korde. Në këtë rast, lëvizja e gurit përgjatë kordës do t'i bindet ligjeve të lëvizjes drejtvizore, domethënë, distanca e përshkuar AB do të jetë e barabartë me produktin e shpejtësisë së gurit dhe kohën e lëvizjes së tij. AB = V x t.
Le ta shënojmë nxitimin e dëshiruar centripetal me shkronjën a. Pastaj rruga e përshkuar vetëm nën veprimin e nxitimit centripetal mund të llogaritet duke përdorur formulën e lëvizjes së përshpejtuar në mënyrë uniforme:
Distanca AB është e barabartë me produktin e shpejtësisë dhe kohës, d.m.th. AB = V x t,
AO - llogaritur më herët duke përdorur formulën e lëvizjes së përshpejtuar uniformisht për lëvizjen në një vijë të drejtë: AO = në 2/2.
Duke i zëvendësuar këto të dhëna në formulë dhe duke i transformuar ato, marrim një formulë të thjeshtë dhe elegante për nxitimin centripetal:
Me fjalë, kjo mund të shprehet si më poshtë: nxitimi centripetal i një trupi që lëviz në një rreth është i barabartë me herësin e pjesëtimit të shpejtësisë lineare në katror me rrezen e rrethit përgjatë të cilit trupi rrotullohet. Forca centripetale në këtë rast do të duket si në foton më poshtë.
Shpejtësia këndore
Shpejtësia këndore është e barabartë me shpejtësinë lineare të ndarë me rrezen e rrethit. E kundërta është gjithashtu e vërtetë: V = ωR, ku ω është shpejtësia këndore
Nëse e zëvendësojmë këtë vlerë në formulë, mund të marrim shprehjen për nxitimin centrifugal për shpejtësinë këndore. Do të duket kështu:
Nxitimi pa ndryshim shpejtësie
E megjithatë, përse një trup me nxitim të drejtuar drejt qendrës nuk lëviz më shpejt dhe nuk i afrohet qendrës së rrotullimit? Përgjigja qëndron në vetë formulimin e përshpejtimit. Faktet tregojnë se lëvizja rrethore është reale, por që kërkon nxitim drejt qendrës për ta mbajtur atë. Nën veprimin e forcës së shkaktuar nga ky nxitim, vërehet një ndryshim i momentit, si rezultat i të cilit trajektorja e lëvizjes është vazhdimisht e lakuar, duke ndryshuar gjatë gjithë kohës drejtimin e vektorit të shpejtësisë, por duke mos ndryshuar vlerën e tij absolute. Duke lëvizur në një rreth, guri ynë i shumëvuajtur nxiton nga brenda, përndryshe do të vazhdonte të lëvizte tangjencialisht. Në çdo moment të kohës, duke u larguar në një tangjente, guri tërhiqet nga qendra, por nuk bie në të. Një shembull tjetër i përshpejtimit centripetal do të ishte një skiator uji që bën rrathë të vegjël në ujë. Figura e atletit është e anuar; ai duket se po bie, duke vazhduar të lëvizë dhe të përkulet përpara.
Kështu, mund të konkludojmë se nxitimi nuk rrit shpejtësinë e trupit, pasi vektorët e shpejtësisë dhe nxitimit janë pingul me njëri-tjetrin. Shtuar në vektorin e shpejtësisë, nxitimi ndryshon vetëm drejtimin e lëvizjes dhe e mban trupin në orbitë.
U tejkalua kufiri i sigurisë
Në përvojën e mëparshme kishim të bënim me një litar ideal që nuk çahej. Por, le të themi se litari ynë është më i zakonshmi, dhe madje mund të llogarisni përpjekjen pas së cilës ai thjesht do të prishet. Për të llogaritur këtë forcë, mjafton të krahasohet kufiri i sigurisë së litarit me ngarkesën që ai përjeton gjatë rrotullimit të gurit. Duke e rrotulluar gurin me një shpejtësi më të madhe, ju i jepni më shumë lëvizje, dhe për rrjedhojë më shumë përshpejtim.
Me një diametër të litarit jute prej rreth 20 mm, forca e tij në tërheqje është rreth 26 kN. Vlen të përmendet se gjatësia e litarit nuk duket askund. Duke rrotulluar një ngarkesë prej 1 kg në një litar me një rreze prej 1 m, mund të llogarisim se shpejtësia lineare e nevojshme për ta thyer atë është 26 x 10 3 = 1 kg x V 2 / 1 m. Kështu, shpejtësia që është e rrezikshme të tejkalohet do të të jetë e barabartë me √ 26 x 10 3 \u003d 161 m / s.
Graviteti
Kur shqyrtonim eksperimentin, ne neglizhuam veprimin e gravitetit, pasi me shpejtësi kaq të larta ndikimi i tij është i papërfillshëm. Por ju mund të shihni se kur hapni një litar të gjatë, trupi përshkruan një trajektore më komplekse dhe gradualisht i afrohet tokës.
trupat qiellorë
Nëse i transferojmë ligjet e lëvizjes rrethore në hapësirë dhe i zbatojmë ato në lëvizjen e trupave qiellorë, mund të rizbulojmë disa formula të njohura prej kohësh. Për shembull, forca me të cilën një trup tërhiqet në Tokë njihet me formulën:
Në rastin tonë, faktori g është nxitimi shumë centripetal që është nxjerrë nga formula e mëparshme. Vetëm në këtë rast, rolin e një guri do ta luajë një trup qiellor i tërhequr nga Toka, dhe roli i një litari do të jetë forca e tërheqjes së tokës. Faktori g do të shprehet në terma të rrezes së planetit tonë dhe shpejtësisë së rrotullimit të tij.
Rezultatet
Thelbi i nxitimit centripetal është puna e vështirë dhe e pafalshme e mbajtjes së një trupi në lëvizje në orbitë. Një rast paradoksal vërehet kur, me nxitim të vazhdueshëm, trupi nuk e ndryshon shpejtësinë e tij. Për mendjen e patrajnuar, një deklaratë e tillë është mjaft paradoksale. Sidoqoftë, kur llogaritet lëvizja e një elektroni rreth bërthamës dhe kur llogaritet shpejtësia e rrotullimit të një ylli rreth një vrime të zezë, nxitimi centripetal luan një rol të rëndësishëm.
Meqenëse shpejtësia lineare ndryshon drejtimin në mënyrë të njëtrajtshme, atëherë lëvizja përgjatë rrethit nuk mund të quhet uniforme, ajo përshpejtohet në mënyrë të njëtrajtshme.
Shpejtësia këndore
Zgjidh një pikë në rreth 1 . Le të ndërtojmë një rreze. Për një njësi kohe, pika do të lëvizë në pikën 2 . Në këtë rast, rrezja përshkruan këndin. Shpejtësia këndore është numerikisht e barabartë me këndin e rrotullimit të rrezes për njësi të kohës.
Periudha dhe frekuenca
Periudha e rrotullimit Tështë koha që i duhet trupit për të bërë një revolucion.
RPM është numri i rrotullimeve për sekondë.
Frekuenca dhe periudha janë të lidhura nga relacioni
Lidhja me shpejtësinë këndore
Shpejtësia e linjës
Çdo pikë në rreth lëviz me një shpejtësi të caktuar. Kjo shpejtësi quhet lineare. Drejtimi i vektorit të shpejtësisë lineare përkon gjithmonë me tangjenten në rreth. Për shembull, shkëndijat nga poshtë një mulli lëvizin, duke përsëritur drejtimin e shpejtësisë së menjëhershme.
Konsideroni një pikë në një rreth që bën një revolucion, kohën që është shpenzuar - kjo është periudha T. Rruga e përshkuar nga një pikë është perimetri i një rrethi.
nxitimi centripetal
Kur lëvizni përgjatë një rrethi, vektori i nxitimit është gjithmonë pingul me vektorin e shpejtësisë, i drejtuar në qendër të rrethit.
Duke përdorur formulat e mëparshme, mund të nxjerrim relacionet e mëposhtme
Pikat që shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë që burojnë nga qendra e rrethit (për shembull, këto mund të jenë pika që shtrihen në folenë e timonit) do të kenë të njëjtat shpejtësi këndore, periodë dhe frekuencë. Kjo do të thotë, ata do të rrotullohen në të njëjtën mënyrë, por me shpejtësi të ndryshme lineare. Sa më larg të jetë pika nga qendra, aq më shpejt do të lëvizë.
Ligji i mbledhjes së shpejtësive vlen edhe për lëvizjen rrotulluese. Nëse lëvizja e një trupi ose kuadri referimi nuk është uniforme, atëherë ligji zbatohet për shpejtësitë e menjëhershme. Për shembull, shpejtësia e një personi që ecën përgjatë skajit të një karuseli rrotullues është e barabartë me shumën vektoriale të shpejtësisë lineare të rrotullimit të skajit të karuselit dhe shpejtësisë së personit.
Toka është e përfshirë në dy pjesë kryesore lëvizjet rrotulluese: ditore (rreth boshtit të vet) dhe orbitale (rreth Diellit). Periudha e rrotullimit të Tokës rreth Diellit është 1 vit ose 365 ditë. Toka rrotullohet rreth boshtit të saj nga perëndimi në lindje, periudha e këtij rrotullimi është 1 ditë ose 24 orë. Gjerësia gjeografike është këndi ndërmjet rrafshit të ekuatorit dhe drejtimit nga qendra e Tokës në një pikë në sipërfaqen e saj.
Sipas ligjit të dytë të Njutonit, shkaku i çdo nxitimi është një forcë. Nëse një trup në lëvizje përjeton nxitim centripetal, atëherë natyra e forcave që shkaktojnë këtë nxitim mund të jetë e ndryshme. Për shembull, nëse një trup lëviz në një rreth në një litar të lidhur me të, atëherë forcë aktiveështë forca elastike.
Nëse një trup i shtrirë në një disk rrotullohet së bashku me diskun rreth boshtit të tij, atëherë një forcë e tillë është forca e fërkimit. Nëse forca pushon së vepruari, atëherë trupi do të vazhdojë të lëvizë në një vijë të drejtë
Konsideroni lëvizjen e një pike në një rreth nga A në B. Shpejtësia lineare është e barabartë me v A Dhe v B përkatësisht. Nxitimi është ndryshimi i shpejtësisë për njësi të kohës. Le të gjejmë ndryshimin e vektorëve.
Lëreni pikën materiale të lëvizë në mënyrë të njëtrajtshme përgjatë rrethit. Atëherë moduli i shpejtësisë së tij nuk ndryshon ($v=const$). Por kjo nuk do të thotë se nxitimi i një pike materiale është zero. Vektori i shpejtësisë drejtohet tangjencialisht në trajektoren e pikës. Kur lëvizni në një rreth, shpejtësia ndryshon drejtimin e saj vazhdimisht. Pra, pika lëviz me nxitim.
Konsideroni pikat A dhe B që i përkasin trajektores së lëvizjes së trupit të konsideruar. Vektori i ndryshimit të shpejtësisë për këto pika është:
\[\Delta \overline(v)=(\overline(v))"-\overline(v)\left(1\djathtas).\]
Nëse koha e lëvizjes ndërmjet pikave A dhe B është e vogël, atëherë harku AB ndryshon pak nga korda AB. Trekëndëshat AOB dhe BMN janë të ngjashëm, prandaj:
\[\frac(\Delta v)(v)=\frac(\Delta l)(r)=\alfa \majtas(2\djathtas).\]
Ne gjejmë modulin mesatar të nxitimit si:
\[\majtas\langle a\djathtas\rangle =\frac(\Delta v)(\Delta t)=\frac(v\Delta l)(r\Delta t)\majtas(3\djathtas).\]
Vlera e nxitimit të menjëhershëm mund të merret duke shkuar në kufirin në $\Delta t\në 0\ $ nga $\left\langle a\djathtas\rangle $:
Vektori mesatar i nxitimit bën një kënd të barabartë me vektorin e shpejtësisë:
\[\beta =\frac(\pi +\alfa)(2)\majtas(5\djathtas).\]
Për $\Delta t\to 0\ $ këndi është $\alfa \në 0.$ Rezulton se vektori i nxitimit të menjëhershëm bën një kënd $\frac(\pi )(2)$ me vektorin e shpejtësisë.
Ne kemi marrë se një pikë materiale që lëviz në mënyrë të njëtrajtshme përgjatë një rrethi ka një nxitim të drejtuar në qendrën e trajektores së lëvizjes (pingule me vektorin e shpejtësisë), moduli i saj është i barabartë me shpejtësinë në katror të pjesëtuar me rrezen e rrethit. Të tillë nxitimi quhet centripetal ose normal, zakonisht shënohet me $(\overline(a))_n$.
ku $\omega $ është shpejtësia këndore e pikës materiale ($v=\omega \cdot r$).
Përkufizimi i nxitimit centripetal
Përkufizimi
Kështu që, nxitimi centripetal(në rastin e përgjithshëm) është një komponent i nxitimit të plotë të një pike materiale, i cili karakterizon se sa shpejt ndryshon drejtimi i vektorit të shpejtësisë gjatë lëvizjes lakorike. Komponenti tjetër i nxitimit total është nxitimi tangjencial, i cili është përgjegjës për ndryshimin e madhësisë së shpejtësisë.
Nxitimi centripetal është:
\[(\overline(a))_n=\frac(v^2)(r^2)\overline(r\ )\majtas(7\djathtas),\]
ku $e_r=\frac(\overline(r\ ))(r)$ është një vektor njësi i drejtuar nga qendra e lakimit të trajektores në pikën e konsideruar.
Për herë të parë, formulat e sakta për nxitimin centripetal u morën nga H. Huygens.
Njësia e nxitimit centripetal në Sistemin Ndërkombëtar të Njësive është metri i ndarë me një sekondë në katror:
\[\majtas=\frac(m)(s^2).\]
Shembuj të problemeve me një zgjidhje
Shembulli 1
Ushtrimi. Disku rrotullohet rreth një boshti fiks. Ligji i ndryshimit të këndit të rrotullimit të rrezes së diskut përcakton ekuacionin: $\varphi =5t^2+7\ (rad)$. Sa është nxitimi centripetal i pikës A të diskut, e cila ndodhet në një distancë prej $r=$0,5 m nga boshti i rrotullimit deri në fund të sekondës së katërt nga fillimi i rrotullimit?
Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim.
Moduli i nxitimit centripetal është i barabartë me: \
Shpejtësinë këndore të rrotullimit të një pike e gjejmë si:
\[\omega =\frac(d\varphi)(dt)\ (1.2)\]
ekuacioni për ndryshimin e këndit të rrotullimit në varësi të kohës:
\[\omega =\frac(d\majtas(5t^2+7\djathtas))(dt)=10t\ \left(1.3\djathtas).\]
Në fund të sekondës së katërt, shpejtësia këndore është:
\[\omega \left(t=4\djathtas)=10\cdot 4=40\ \left(\frac(rad)(c)\djathtas).\]
Duke përdorur shprehjen (1.1) gjejmë vlerën e nxitimit centripetal:
Përgjigju.$a_n=800\frac(m)(s^2)$.
Shembulli 2
Ushtrimi. Lëvizja e një pike materiale jepet nga ekuacioni: $\overline(r)\left(t\right)=0,5\ (\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline( j) (\sin (\omega t)\ )\ ))$, ku $\omega =2\ \frac(rad)(c)$. Sa është nxitimi normal i pikës?
Zgjidhje. Si bazë për zgjidhjen e problemit, marrim përkufizimin e nxitimit centripetal në formën:
Nga kushtet e problemit shihet se trajektorja e pikës është një rreth. Ekuacioni parametrik: $\overline(r)\left(t\right)=0.5\ (\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin (\omega t )\ )\ ))$, ku $\omega =2\ \frac(rad)(c)$ mund të përfaqësohet si:
\[\majtas\( \fillimi(array)(c) x=0.5(\cos \left(2t\right);;\ ) \\ y=0.5(\sin \left(2t\djathtas) .\ ) \ fundi (arriti) \djathtas.\]
Rrezja e trajektores mund të gjendet si:
Komponentët e shpejtësisë janë:
\ \
Merrni modulin e shpejtësisë:
Zëvendësojmë vlerën e shpejtësisë dhe rrezes së rrethit në shprehjen (2.2), kemi:
Përgjigju.$a_n=2\frac(m)(s^2)$.
nxitimi centripetal- komponenti i nxitimit të pikës, i cili karakterizon shpejtësinë e ndryshimit në drejtimin e vektorit të shpejtësisë për një trajektore me lakim (komponenti i dytë, nxitimi tangjencial, karakterizon ndryshimin në modulin e shpejtësisë). Drejtuar drejt qendrës së lakimit të trajektores, e cila është arsyeja e termit. Madhësia është e barabartë me katrorin e shpejtësisë pjesëtuar me rrezen e lakimit. Termi "nxitim centripetal" është i barabartë me termin " nxitimi normal". Ai komponent i shumës së forcave që shkakton këtë nxitim quhet forca centripetale.
Shembulli më i thjeshtë i nxitimit centripetal është vektori i nxitimit për lëvizje rrethore uniforme (drejtuar drejt qendrës së rrethit).
Nxitimi i shpejtë i projektuar në një rrafsh pingul me boshtin, ai shfaqet si një centripetal.
YouTube enciklopedik
-
1 / 5
A n = v 2 R (\displaystyle a_(n)=(\frac (v^(2))(R))\ ) a n = ω 2 R , (\displaystyle a_(n)=\omega ^(2)R\ ,)
Ku a n (\displaystyle a_(n)\ )- nxitimi normal (centripetal), v (\displaystyle v\ )- shpejtësia lineare (e menjëhershme) e lëvizjes përgjatë trajektores, ω (\displaystyle \omega \ )- shpejtësia këndore (e menjëhershme) e kësaj lëvizjeje në lidhje me qendrën e lakimit të trajektores, R (\displaystyle R\ )- rrezja e lakimit të trajektores në një pikë të caktuar. (Lidhja midis formulës së parë dhe të dytës është e qartë, e dhënë v = ω R (\displaystyle v=\omega R\ )).
Shprehjet e mësipërme përfshijnë vlera absolute. Ato mund të shkruhen lehtësisht në formë vektoriale duke i shumëzuar me e R (\displaystyle \mathbf (e) _(R))- vektori njësi nga qendra e lakimit të trajektores në pikën e saj të dhënë:
a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(R)= (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R) ) a n = ω 2 R . (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=\omega ^(2)\mathbf (R) .)Këto formula janë njëlloj të zbatueshme për rastin e lëvizjes me një shpejtësi konstante (në vlerë absolute) dhe për një rast arbitrar. Megjithatë, në të dytin, duhet pasur parasysh se nxitimi centripetal nuk është vektori i nxitimit të plotë, por vetëm përbërësi i tij pingul me trajektoren (ose, që është i njëjtë, pingul me vektorin e shpejtësisë së çastit); vektori i nxitimit total pastaj përfshin edhe komponentin tangjencial ( nxitimi tangjencial) a τ = d v / d t (\displaystyle a_(\tau)=dv/dt\ ), që përkon në drejtim me tangjenten me trajektoren (ose, që është e njëjtë, me shpejtësinë e menjëhershme) .
Motivimi dhe përfundimi
Që zbërthimi i vektorit të nxitimit në komponentë - një përgjatë vektorit tangjent me trajektoren (nxitimi tangjencial) dhe një tjetër ortogonal me të (nxitimi normal) - mund të jetë i përshtatshëm dhe i dobishëm, është mjaft e qartë në vetvete. Kur lëvizni me një shpejtësi modulore konstante, komponenti tangjencial bëhet i barabartë me zero, domethënë në këtë rast të rëndësishëm të veçantë, ai mbetet vetëm komponent normal. Përveç kësaj, siç mund të shihet më poshtë, secili prej këtyre komponentëve ka vetitë dhe strukturën e vet të theksuar, dhe nxitimi normal përmban një përmbajtje gjeometrike mjaft të rëndësishme dhe jo të parëndësishme në strukturën e formulës së tij. Për të mos përmendur rastin e rëndësishëm të veçantë të lëvizjes në një rreth.
Derivimi formal
Zgjerimi i nxitimit në komponentë tangjencialë dhe normalë (i dyti prej të cilëve është nxitimi centripetal ose normal) mund të gjendet duke diferencuar në lidhje me kohën e vektorit të shpejtësisë të paraqitur si v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau )) përmes vektorit tangjent njësi e τ (\displaystyle \mathbf (e) _(\tau )):
a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , (\displaystyle \mathbf (a) =( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( n)\ ,)Këtu përdorim shënimin për vektorin normal të njësisë në trajektoren dhe l (\displaystyle l\ )- për gjatësinë aktuale të trajektores ( l = l (t) (\stil ekrani l=l(t)\ )); tranzicioni i fundit përdor gjithashtu të dukshmen
d l / d t = v (\displaystyle dl/dt=v\ )dhe nga konsideratat gjeometrike,
d e τ d l = e n R . (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))=(\frac (\mathbf (e) _(n))(R)).) v 2 R e n (\style ekrani (\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ )Nxitimi normal (centripetal). Në të njëjtën kohë, kuptimi i tij, kuptimi i objekteve të përfshira në të, si dhe vërtetimi i faktit se ai është vërtet ortogonal me vektorin tangjent (d.m.th. e n (\displaystyle \mathbf (e) _(n)\ )- në të vërtetë një vektor normal) - do të rrjedhë nga konsideratat gjeometrike (megjithatë, fakti që derivati i çdo vektori me gjatësi konstante në lidhje me kohën është pingul me këtë vektor në vetvete është një fakt mjaft i thjeshtë; në këtë rast, ne zbatojmë këtë deklaratë te d e τ d t (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt)))
Vërejtje
Është e lehtë të shihet se vlera absolute e nxitimit tangjencial varet vetëm nga nxitimi i tokës, që përkon me vlerën e saj absolute, në ndryshim nga vlera absolute e nxitimit normal, e cila nuk varet nga nxitimi i tokës, por varet nga shpejtësia e tokës.
Metodat e paraqitura këtu, ose variacionet e tyre, mund të përdoren për të prezantuar koncepte të tilla si lakimi i një lakore dhe rrezja e lakimit të një lakore (sepse në rastin kur kurba është një rreth, R (\displaystyle R) përkon me rrezen e një rrethi të tillë; gjithashtu nuk është shumë e vështirë të tregosh se rrethi është në rrafsh e τ , e n (\displaystyle \mathbf (e) _(\tau ),\,e_(n)) të përqendruar në drejtim e n (\displaystyle e_(n)\ ) larg kësaj pike R (\displaystyle R) prej saj - do të përkojë me lakoren e dhënë - trajektoren - deri në rendin e dytë të vogëlsisë në distancë deri në pikën e dhënë).
Histori
Me sa duket, Huygens ishte i pari që mori formulat e sakta për nxitimin centripetal (ose forcën centrifugale). Praktikisht që nga ajo kohë, shqyrtimi i nxitimit centripetal ka qenë një teknikë e zakonshme për zgjidhjen e problemeve mekanike, etj.
Pak më vonë, këto formula luajtën një rol të rëndësishëm në zbulimin e ligjit të gravitetit universal (formula e nxitimit centripetal u përdor për të marrë ligjin e varësisë së forcës gravitacionale nga distanca deri te burimi i gravitetit, bazuar në Keplerin e tretë ligji që rrjedh nga vëzhgimet).
Nga shekulli i 19-të, shqyrtimi i përshpejtimit centripetal ishte bërë tashmë mjaft rutinë si për aplikimet e thjeshta të shkencës ashtu edhe për inxhinierinë.
