პრაქტიკული თვალსაზრისით, ყველაზე საინტერესოა წარმოებულის გამოყენება ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობის საპოვნელად. რასთან არის დაკავშირებული? მოგების მაქსიმიზაცია, ხარჯების მინიმიზაცია, აღჭურვილობის ოპტიმალური დატვირთვის განსაზღვრა... სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ცხოვრების ბევრ სფეროში უნდა გადაჭრას ზოგიერთი პარამეტრის ოპტიმიზაციის პრობლემა. და ეს არის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის პრობლემა.

უნდა აღინიშნოს, რომ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა ჩვეულებრივ მოიძებნება X ინტერვალზე, რომელიც არის ფუნქციის მთელი დომენი ან დომენის ნაწილი. თავად X ინტერვალი შეიძლება იყოს ხაზის სეგმენტი, ღია ინტერვალი , უსასრულო ინტერვალი .

ამ სტატიაში ვისაუბრებთ ერთი ცვლადის y=f(x) აშკარად მოცემული ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნაზე.

გვერდის ნავიგაცია.

ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა - განმარტებები, ილუსტრაციები.

მოდით მოკლედ ვისაუბროთ მთავარ განმარტებებზე.

ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა , რომელიც ნებისმიერისთვის უთანასწორობა მართალია.

ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა y=f(x) X ინტერვალზე ასეთ მნიშვნელობას უწოდებენ , რომელიც ნებისმიერისთვის უთანასწორობა მართალია.

ეს განმარტებები ინტუიციურია: ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობა არის ყველაზე დიდი (უმცირესი) მნიშვნელობა, რომელიც მიღებულია აბსცისთან განხილულ ინტერვალზე.

სტაციონარული წერტილებიარის არგუმენტის მნიშვნელობები, რომლებზეც ქრება ფუნქციის წარმოებული.

რატომ გვჭირდება სტაციონარული წერტილები უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნისას? ამ კითხვაზე პასუხს იძლევა ფერმას თეორემა. ამ თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ თუ დიფერენცირებად ფუნქციას აქვს უკიდურესი (ადგილობრივი მინიმალური ან ლოკალური მაქსიმუმი) რაღაც მომენტში, მაშინ ეს წერტილი სტაციონარულია. ამრიგად, ფუნქცია ხშირად იღებს თავის მაქსიმალურ (უმცირეს) მნიშვნელობას X ინტერვალზე ამ ინტერვალიდან ერთ-ერთ სტაციონარულ წერტილში.

ასევე, ფუნქციას ხშირად შეუძლია მიიღოს უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები იმ წერტილებში, სადაც ამ ფუნქციის პირველი წარმოებული არ არსებობს და თავად ფუნქცია არის განსაზღვრული.

მოდით დაუყოვნებლივ ვუპასუხოთ ერთ-ერთ ყველაზე გავრცელებულ კითხვას ამ თემაზე: „ყოველთვის შესაძლებელია თუ არა ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობის დადგენა“? არა ყოველთვის არა. ზოგჯერ X ინტერვალის საზღვრები ემთხვევა ფუნქციის დომენის საზღვრებს, ან X ინტერვალი უსასრულოა. და ზოგიერთ ფუნქციას უსასრულობაში და განსაზღვრების დომენის საზღვრებზე შეუძლია მიიღოს როგორც უსასრულოდ დიდი, ასევე უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობები. ამ შემთხვევაში, ფუნქციის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობაზე ვერაფერს ვიტყვით.

სიცხადისთვის, ჩვენ ვაძლევთ გრაფიკულ ილუსტრაციას. შეხედეთ სურათებს - და ბევრი რამ გახდება ნათელი.

სეგმენტზე

პირველ ფიგურაში ფუნქცია იღებს უდიდეს (max y) და უმცირეს (min y) მნიშვნელობებს სტაციონარული წერტილების სეგმენტის შიგნით [-6;6].

განვიხილოთ მეორე ფიგურაში ნაჩვენები შემთხვევა. შეცვალეთ სეგმენტი . ამ მაგალითში ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა მიიღწევა სტაციონარულ წერტილში, ხოლო ყველაზე დიდი - აბსცისის მქონე წერტილში, რომელიც შეესაბამება ინტერვალის მარჯვენა საზღვარს.

მე-3 ნახატზე [-3; 2] სეგმენტის სასაზღვრო წერტილები არის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობის შესაბამისი წერტილების აბსციები.

ღია დიაპაზონში

მეოთხე ფიგურაში ფუნქცია იღებს უდიდეს (max y) და უმცირეს (min y) მნიშვნელობებს სტაციონარულ წერტილებში ღია ინტერვალის ფარგლებში (-6;6).

ინტერვალზე არ შეიძლება დასკვნის გაკეთება ყველაზე დიდი მნიშვნელობის შესახებ.

უსასრულობაში

მეშვიდე ფიგურაში ნაჩვენები მაგალითში ფუნქცია იღებს უდიდეს მნიშვნელობას (max y ) სტაციონარულ წერტილში x=1 აბსციზათი, ხოლო უმცირესი მნიშვნელობა (min y) მიიღწევა ინტერვალის მარჯვენა საზღვარზე. მინუს უსასრულობაში, ფუნქციის მნიშვნელობები ასიმპტომურად უახლოვდება y=3.

ინტერვალზე ფუნქცია არ აღწევს არც უმცირეს და არც უდიდეს მნიშვნელობას. რამდენადაც x=2 მარჯვნივ მიისწრაფვის, ფუნქციის მნიშვნელობები მიდრეკილია მინუს უსასრულობამდე (სწორი ხაზი x=2 არის ვერტიკალური ასიმპტოტი), და რადგან აბსცისა მიდრეკილია პლუს უსასრულობისკენ, ფუნქციის მნიშვნელობები ასიმპტომურად უახლოვდება y=3. . ამ მაგალითის გრაფიკული ილუსტრაცია ნაჩვენებია 8-ში.

სეგმენტზე უწყვეტი ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის ალგორითმი.

ჩვენ ვწერთ ალგორითმს, რომელიც საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე.

1. ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის დომენს და ვამოწმებთ, შეიცავს თუ არა ის მთელ სეგმენტს.
2. ჩვენ ვპოულობთ ყველა წერტილს, რომლებშიც პირველი წარმოებული არ არსებობს და რომლებიც შეიცავს სეგმენტს (ჩვეულებრივ, ასეთი წერტილები გვხვდება ფუნქციებში არგუმენტით მოდულის ნიშნით და სიმძლავრის ფუნქციებში წილად-რაციონალური მაჩვენებლით). თუ ასეთი პუნქტები არ არის, გადადით შემდეგ პუნქტზე.
3. ჩვენ განვსაზღვრავთ ყველა სტაციონალურ წერტილს, რომელიც მოხვდება სეგმენტში. ამისათვის ვატოლებთ მას ნულს, ვხსნით მიღებულ განტოლებას და ვირჩევთ შესაბამის ფესვებს. თუ არ არის სტაციონარული წერტილები ან არცერთი მათგანი არ მოხვდება სეგმენტში, გადადით შემდეგ ეტაპზე.
4. ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს არჩეულ სტაციონალურ წერტილებზე (ასეთის არსებობის შემთხვევაში), იმ წერტილებში, სადაც პირველი წარმოებული არ არსებობს (ასეთის არსებობის შემთხვევაში), ასევე x=a და x=b ზე.
5. ფუნქციის მიღებული მნიშვნელობებიდან ვირჩევთ უდიდეს და უმცირესს - ისინი იქნება ფუნქციის სასურველი მაქსიმალური და უმცირესი მნიშვნელობები, შესაბამისად.

მოდით გავაანალიზოთ ალგორითმი სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის მაგალითის ამოხსნისას.

მაგალითი.

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა

• სეგმენტზე;
• ინტერვალზე [-4;-1].

გამოსავალი.

ფუნქციის დომენი არის რეალური რიცხვების მთელი ნაკრები, გარდა ნულისა, ანუ . ორივე სეგმენტი განეკუთვნება განმარტების სფეროს.

ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის წარმოებულს:

ცხადია, ფუნქციის წარმოებული არსებობს სეგმენტების ყველა წერტილში და [-4;-1].

სტაციონარული წერტილები განისაზღვრება განტოლებიდან. ერთადერთი რეალური ფესვი არის x=2. ეს სტაციონარული წერტილი ხვდება პირველ სეგმენტში.

პირველ შემთხვევაში, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და სტაციონარულ წერტილში, ანუ x=1, x=2 და x=4:

აქედან გამომდინარე, ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა მიიღწევა x=1 ზე და ყველაზე პატარა მნიშვნელობა – x=2-ზე.

მეორე შემთხვევაში, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს მხოლოდ სეგმენტის ბოლოებში [-4;-1] (რადგან ის არ შეიცავს ერთ სტაციონარულ წერტილს):

გამოსავალი.

დავიწყოთ ფუნქციის ფარგლებით. წილადის მნიშვნელში კვადრატული ტრინომი არ უნდა გაქრეს:

ადვილია იმის შემოწმება, რომ პრობლემის მდგომარეობიდან ყველა ინტერვალი ეკუთვნის ფუნქციის დომენს.

მოდით განვასხვავოთ ფუნქცია:

ცხადია, წარმოებული არსებობს ფუნქციის მთელ დომენზე.

მოდი ვიპოვოთ სტაციონარული წერტილები. წარმოებული ქრება ზე. ეს სტაციონარული წერტილი ხვდება (-3;1] და (-3;2) ინტერვალებში.

ახლა კი შეგიძლიათ შეადაროთ თითოეულ წერტილში მიღებული შედეგები ფუნქციის გრაფიკს. ლურჯი წერტილოვანი ხაზები მიუთითებს ასიმპტოტებზე.

ეს შეიძლება დასრულდეს ფუნქციის ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობების მოძიებით. ამ სტატიაში განხილული ალგორითმები საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ შედეგები მინიმალური მოქმედებებით. თუმცა, შეიძლება სასარგებლო იყოს ჯერ განსაზღვროთ ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალები და მხოლოდ ამის შემდეგ გამოვიტანოთ დასკვნები ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობის შესახებ ნებისმიერ ინტერვალზე. ეს იძლევა უფრო ნათელ სურათს და შედეგების მკაცრ დასაბუთებას.

განმარტება. თუ ფუნქცია ვ(x) განისაზღვრება ინტერვალზე [ ა, ბ], არის უწყვეტი ინტერვალის ყველა წერტილში ( ა, ბ), წერტილში აუწყვეტი მარჯვნივ, წერტილში ბარის უწყვეტი მარცხნივ, მაშინ ვამბობთ, რომ ფუნქცია ვ(x) უწყვეტი სეგმენტზე [ა, ბ].

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფუნქცია ვ(x) არის უწყვეტი სეგმენტზე [ ა, ბ] თუ დაკმაყოფილებულია სამი პირობა:

1) "x 0 Î( ა, ბ): ვ(x) = ვ(x 0);

2) ვ(x) = ვ(ა);

3) ვ(x) = ვ(ბ).

ინტერვალზე უწყვეტი ფუნქციებისთვის განვიხილავთ რამდენიმე თვისებას, რომელსაც ვაყალიბებთ შემდეგი თეორემების სახით მტკიცებულებების გარეშე.

თეორემა 1. თუ ფუნქცია ვ(x) არის უწყვეტი სეგმენტზე [ ა, ბ], შემდეგ ის აღწევს თავის უმცირეს და უდიდეს მნიშვნელობას ამ სეგმენტზე.

ეს თეორემა აცხადებს (ნახ. 1.15), რომ ინტერვალზე [ ა, ბ] არის ასეთი წერტილი x 1 რომ ვ(x 1) £ ვ(x) ნებისმიერისთვის xდან [ ა, ბ] და რომ არსებობს წერტილი x 2 (x 2 О[ ა, ბ]) ისეთივე როგორც " xÎ[ ა, ბ] (ვ(x 2) ³ ვ(x)).

მნიშვნელობა ვ(x 1) არის ყველაზე დიდი მოცემული ფუნქციისთვის [ ა, ბ], ა ვ(x 2) - ყველაზე პატარა. აღნიშნე: ვ(x 1) = მ, ვ(x 2) =მ. ვინაიდან ამისთვის ვ(x) მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: xÎ[ ა, ბ] მ£ ვ(x) £ მ, შემდეგ მივიღებთ შემდეგ დასკვნას თეორემა 1-დან.

შედეგი. თუ ფუნქცია ვ(x) არის უწყვეტი სეგმენტზე, შემდეგ შემოსაზღვრულია ამ სეგმენტზე.

თეორემა 2. თუ ფუნქცია ვ(x) არის უწყვეტი სეგმენტზე [ ა, ბ] და იღებს სხვადასხვა ნიშნის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში, მაშინ არის ასეთი შიდა წერტილი x 0 სეგმენტი [ ა, ბ], რომელშიც ფუნქცია გადადის 0-ზე, ე.ი. $ x 0 Î ( ა, ბ) (ვ(x 0) = 0).

ეს თეორემა ამბობს, რომ ფუნქციის გრაფიკი y=f(x), უწყვეტი სეგმენტზე [ ა, ბ], კვეთს ღერძს ოქსიერთხელ მაინც თუ ღირებულებები ვ(ა) და ვ(ბ) აქვს საპირისპირო ნიშნები. ასე რომ, (ნახ. 1.16) ვ(ა) > 0, ვ(ბ) < 0 и функция ვ(x) ქრება წერტილებში x 1 , x 2 , x 3 .

თეორემა 3. დაუშვით ფუნქცია ვ(x) არის უწყვეტი სეგმენტზე [ ა, ბ], ვ(ა) = ა, ვ(ბ) = ბდა ა¹ ბ. (სურ. 1.17). შემდეგ ნებისმიერი ნომრისთვის C, დადებული რიცხვებს შორის ადა ბ, არის ასეთი შინაგანი წერტილი x 0 სეგმენტი [ ა, ბ], რა ვ(x 0) = C.

შედეგი. თუ ფუნქცია ვ(x) არის უწყვეტი სეგმენტზე [ ა, ბ], მ- ყველაზე პატარა ღირებულება ვ(x), მ- ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა ვ(x) სეგმენტზე [ ა, ბ], მაშინ ფუნქცია იღებს (ერთხელ მაინც) ნებისმიერ მნიშვნელობას მშორის მდა მდა, შესაბამისად, სეგმენტი [ მ, მ] არის ფუნქციის ყველა მნიშვნელობის ნაკრები ვ(x) სეგმენტზე [ ა, ბ].

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ფუნქცია უწყვეტია ინტერვალზე ( ა, ბ) ან აქვს სეგმენტზე [ ა, ბ] შეწყვეტის წერტილის, მაშინ 1, 2, 3 თეორემები წყვეტენ ჭეშმარიტებას ასეთი ფუნქციისთვის.

დასასრულს, განიხილეთ თეორემა შებრუნებული ფუნქციის არსებობის შესახებ.

შეგახსენებთ, რომ ინტერვალი არის სეგმენტი, ინტერვალი ან სასრული ან უსასრულო ნახევარინტერვალი.

თეორემა 4. დაე ვ(x) არის უწყვეტი ინტერვალზე X, იზრდება (ან მცირდება) მიერ Xდა აქვს მნიშვნელობების სპექტრი ი. შემდეგ ფუნქციისთვის y=f(x) არის შებრუნებული ფუნქცია x= ჯ(წ) განსაზღვრულია ინტერვალზე ი, უწყვეტი და მზარდი (ან კლებადი) on იმრავალი მნიშვნელობით X.

კომენტარი. დაუშვით ფუნქცია x= ჯ(წ) არის შებრუნებული ფუნქციისთვის ვ(x). ვინაიდან არგუმენტი ჩვეულებრივ აღინიშნება x, და ფუნქცია მეშვეობით წ, შემდეგ შებრუნებულ ფუნქციას ვწერთ როგორც y=ჯ(x).

მაგალითი 1. ფუნქცია y=x 2 (სურ. 1.8, ა) ნაკრებზე X= თუ ის უწყვეტია ინტერვალზე (a , b), მარჯვნიდან უწყვეტი a წერტილში და უწყვეტი მარცხნივ b წერტილში.

ფუნქციას ეძახიან უწყვეტი სეგმენტზეთუ ის უწყვეტია ინტერვალში, უწყვეტი მარჯვნივ წერტილში, ანუ და უწყვეტი მარცხნივ წერტილში, ანუ .

კომენტარი.ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია სეგმენტზე [a, b] შეიძლება იყოს შეწყვეტილი a და b წერტილებში (ნახ. 1).

ფუნქციების სიმრავლე, რომლებიც უწყვეტია სეგმენტზე [a, b] აღინიშნება სიმბოლოთ C[a, b].

ძირითადი თეორემები უწყვეტი ფუნქციების შესახებ ინტერვალზე.

თეორემა 1(უწყვეტი ფუნქციის ზღვარზე). თუ ფუნქცია f (x) უწყვეტია სეგმენტზე [a, b], მაშინ იგი შემოსაზღვრულია ამ სეგმენტზე, ე.ი. არის რიცხვი C > 0 ისეთი, რომ " x 0 [a , b ] უტოლობა | f (x)| ≤ C .

თეორემა 2(ვაიერშტრასი). თუ ფუნქცია f (x) უწყვეტია სეგმენტზე [a, b], მაშინ ის აღწევს თავის მაქსიმალურ მნიშვნელობას M და მინიმალურ მნიშვნელობას m ამ ინტერვალზე, ე.ი. არის წერტილები α , β О [ a , b ] ისეთი, რომ m = f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) = M ყველა x О [ a , b ] (ნახ. 2).

M-ის უდიდესი მნიშვნელობა აღინიშნება max x სიმბოლოთი [a, b]-ის შესახებ f (x) და m-ის უმცირესი მნიშვნელობა არის სიმბოლო min x [a, b]-ის შესახებ f(x).
თეორემა 3(ნულის არსებობაზე). თუ ფუნქცია f (x) უწყვეტია სეგმენტზე [a, b] და იღებს სხვადასხვა ნიშნების არანულოვან მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში, მაშინ ინტერვალზე (a, b) არის მინიმუმ ერთი წერტილი. ξ, სადაც f (ξ) = 0.
თეორემის გეომეტრიული მნიშვნელობა არის ის, რომ ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც აკმაყოფილებს თეორემის პირობებს, აუცილებლად გადაკვეთს ღერძს. ოქსი(ნახ. 3).

კომენტარი.ეს თეორემა არის განტოლების სავარაუდო ამოხსნის მეთოდის საფუძველი

f(x) = 0,

(1)

ბისექციის (დიქოტომიის) მეთოდს ან ბისექციის მეთოდს უწოდებენ.

თეორემა 4(ბოლცანო-კოში). თუ ფუნქცია f (x) უწყვეტია [a, b] ინტერვალზე, მაშინ ის იღებს (a, b) ყველა შუალედურ მნიშვნელობას f (a) და f (b) შორის.
უწყვეტი ინვერსიული ფუნქციის არსებობა
y = f (x) ფუნქცია იყოს განსაზღვრული, მკაცრად მონოტონური და უწყვეტი [a, b] სეგმენტზე. შემდეგ [ α , β ] ინტერვალზე (α = f (a), β = f (ბ)) არსებობს შებრუნებული ფუნქცია x = g (y), რომელიც ასევე მკაცრად ერთფეროვანი და უწყვეტია ინტერვალზე (α , β). ).

განმარტება 4. ფუნქციას სეგმენტზე უწყვეტი ეწოდება, თუ ის უწყვეტია ამ სეგმენტის ყველა წერტილში (a წერტილში ის მარჯვნიდან უწყვეტია, ე.ი. და b წერტილში უწყვეტია მარცხნივ, ე.ი.).

ყველა ძირითადი ელემენტარული ფუნქცია უწყვეტია მათი განმარტების სფეროში.

უწყვეტი ფუნქციების თვისებები სეგმენტზე:

• 1) თუ ფუნქცია უწყვეტია სეგმენტზე, მაშინ ის შემოიფარგლება ამ სეგმენტზე (ვაიერშტრასის პირველი თეორემა).
• 2) თუ ფუნქცია უწყვეტია სეგმენტზე, მაშინ ამ სეგმენტზე ის აღწევს თავის მინიმალურ მნიშვნელობას და მაქსიმალურ მნიშვნელობას (ვაიერშტრასის მეორე თეორემა) (იხ. ნახ. 2).
• 3) თუ ფუნქცია სეგმენტზე უწყვეტია და მის ბოლოებზე იღებს სხვადასხვა ნიშნის მნიშვნელობებს, მაშინ სეგმენტის შიგნით არის სულ მცირე ერთი წერტილი ისეთი (ბოლცანო-კოშის თეორემა).

ფუნქციების წყვეტის წერტილები და მათი კლასიფიკაცია

ფუნქციის უწყვეტობის წერტილის სეგმენტი

წერტილებს, რომლებშიც უწყვეტობის პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, ამ ფუნქციის შეწყვეტის წერტილებს უწოდებენ. თუ არის ფუნქციის შეწყვეტის წერტილი, მაშინ მასში არ არის დაკმაყოფილებული 1, 2 განმარტებებში მითითებული ფუნქციის უწყვეტობის სამი პირობა მაინც, კერძოდ:

1) ფუნქცია განსაზღვრულია წერტილის სიახლოვეს, მაგრამ არ არის განსაზღვრული თავად წერტილში. ასე რომ, მაგალითში 2 ა) განხილულ ფუნქციას აქვს შესვენება წერტილში, რადგან ის ამ ეტაპზე არ არის განსაზღვრული.

2) ფუნქცია განსაზღვრულია წერტილში და მის სამეზობლოში, არის ცალმხრივი საზღვრები და, მაგრამ ისინი არ არიან ერთმანეთის ტოლები: . მაგალითად, ფუნქცია 2 ბ) მაგალითიდან არის განსაზღვრული წერტილისა და მის სამეზობლოში, მაგრამ, ვინაიდან, a.

3) ფუნქცია განსაზღვრულია წერტილსა და მის შემოგარენში, არის ცალმხრივი საზღვრები და, ისინი ერთმანეთის ტოლია, მაგრამ არა ტოლი ფუნქციის მნიშვნელობის წერტილში: . მაგალითად, ფუნქცია. აქ არის შესვენების წერტილი: ამ მომენტში ფუნქცია არის განსაზღვრული, არის ცალმხრივი საზღვრები და ერთმანეთის ტოლი, მაგრამ, ე.ი.

ფუნქციის წყვეტის წერტილები კლასიფიცირდება შემდეგნაირად.

განმარტება 5. წერტილს ეწოდება პირველი სახის ფუნქციის უწყვეტობის წერტილი, თუ არსებობს სასრული საზღვრები და ამ წერტილში, მაგრამ ისინი არ არიან ერთმანეთის ტოლები: . რაოდენობას მაშინ უწოდებენ ფუნქციის ნახტომს წერტილში.

განმარტება 6 . წერტილს ეწოდება ფუნქციის მოხსნადი შეწყვეტის წერტილი, თუ ამ წერტილში არის სასრული ზღვრები და, ისინი ერთმანეთის ტოლია: , მაგრამ ფუნქცია თავისთავად არ არის განსაზღვრული წერტილში, ან არის განსაზღვრული, მაგრამ.

განმარტება 7. წერტილს ეწოდება მეორე სახის ფუნქციის უწყვეტობის წერტილი, თუ ამ მომენტში არ არსებობს ცალმხრივი ზღვრებიდან (ან) მაინც, ან უდრის უსასრულობას.

მაგალითი 3. იპოვეთ შემდეგი ფუნქციების წყვეტის წერტილები და დაადგინეთ მათი ტიპი: ა) ბ)

გამოსავალი. ა) ფუნქცია განსაზღვრული და უწყვეტია u ინტერვალებზე, ვინაიდან თითოეულ ამ ინტერვალზე იგი მოცემულია უწყვეტი ელემენტარული ფუნქციებით. მაშასადამე, მოცემული ფუნქციის წყვეტის წერტილები შეიძლება იყოს მხოლოდ ის წერტილები, რომლებზეც ფუნქცია ცვლის თავის ანალიტიკურ მინიჭებას, ე.ი. წერტილები ი. მოდი ვიპოვოთ ფუნქციის ცალმხრივი საზღვრები წერტილში:

ვინაიდან ცალმხრივი საზღვრები არსებობს და სასრულია, მაგრამ ერთმანეთის ტოლი არ არის, წერტილი არის პირველი ტიპის უწყვეტობის წერტილი. ფუნქციის ნახტომი:

ერთი წერტილისთვის ვპოულობთ.

ელემენტარული ფუნქციების უწყვეტობა

ფუნქციების უწყვეტობის თეორემები პირდაპირ გამომდინარეობს შესაბამისი ლიმიტის თეორემებიდან.

თეორემა.ორი უწყვეტი ფუნქციის ჯამი, ნამრავლი და კოეფიციენტი არის უწყვეტი ფუნქცია (რაოდენობისთვის, გარდა არგუმენტის იმ მნიშვნელობებისა, რომლებშიც გამყოფი არის ნული).

თეორემა.დაუშვით ფუნქციები u= φ (x) წერტილში უწყვეტია X 0 და ფუნქცია წ = ვ(u) წერტილში უწყვეტია u 0 = φ (X 0). მერე რთული ფუნქცია ვ(φ (x)) უწყვეტი ფუნქციებისაგან შემდგარი წერტილში უწყვეტია x 0 .

თეორემა.თუ ფუნქცია ზე = ვ(X) არის უწყვეტი და მკაცრად ერთფეროვანი [ ა; ბ] ღერძი ოჰ, შემდეგ შებრუნებული ფუნქცია ზე = φ (X) ასევე უწყვეტი და ერთფეროვანია შესაბამის სეგმენტზე [ გ;დ] ღერძი OU(მტკიცებულება არ არის).

ინტერვალზე უწყვეტ ფუნქციებს აქვთ რამდენიმე მნიშვნელოვანი თვისება. ჩვენ ვაყალიბებთ მათ თეორემების სახით დამტკიცების გარეშე.

თეორემა (ვეიერშტრასი). თუ ფუნქცია უწყვეტია სეგმენტზე, მაშინ ის აღწევს მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს ამ სეგმენტზე.

ფუნქცია ნაჩვენებია სურათზე 5 ზე = ვ(x) არის უწყვეტი სეგმენტზე [ ა; ბ], იღებს მის მაქსიმალურ მნიშვნელობას მწერტილში x 1 და ყველაზე ნაკლებად მ-წერტილში X 2. Ვინმესთვის X [ა; ბ] მ ≤ ვ(x) ≤ მ.

შედეგი.თუ ფუნქცია უწყვეტია ინტერვალზე, მაშინ ის შემოიფარგლება ამ ინტერვალზე.

თეორემა (ბოლზანო - კოში).თუ ფუნქცია ზე= ვ(x) არის უწყვეტი სეგმენტზე [ ა; ბ] და იღებს არათანაბარ მნიშვნელობებს მის ბოლოებში ვ(ა) = ადა ვ(ბ) = =AT, შემდეგ ამ სეგმენტზე ის ასევე იღებს ყველა შუალედურ მნიშვნელობას შორის მაგრამდა AT.

გეომეტრიულად თეორემა აშკარაა (იხ. სურ. 6).

ნებისმიერი ნომრისთვის FROMშორის დადებული მაგრამდა AT, არის აზრი თანამ სეგმენტის შიგნით ისეთი რომ ვ(თან) = FROM. პირდაპირ ზე = FROMკვეთს ფუნქციის გრაფიკს ერთ წერტილში მაინც.

შედეგი.თუ ფუნქცია ზე = ვ(x) არის უწყვეტი სეგმენტზე [ ა; ბ] და იღებს სხვადასხვა ნიშნის მნიშვნელობებს მის ბოლოებში, შემდეგ სეგმენტის შიგნით [ ა; ბ] არის ერთი წერტილი მაინც თან, რომელშიც ეს ფუნქცია ვ(x) ქრება: ვ(თან) = 0.

თეორემის გეომეტრიული მნიშვნელობა: თუ უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკი გადის ღერძის ერთი მხრიდან ოჰმეორეზე, შემდეგ ის კვეთს ღერძს ოქსი(იხ. სურ. 7).

ბრინჯი. 7.